天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 人教A版（2019） / 必修第一册 / 第二章 一元二次函数、方程和不等式 / 本章综合 / 一元三次函数性质总结
资料简介
1
三次函数的图像及性质
形如 的函数叫做三次函数，其中 是
自变量， 是常数。它具有以下性质：
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数， ，它的零点
个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对
应的导函数全部共六种图像：
3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠ x
, , ,a b c d
2( ) 3 2f x ax bx c′ = + +
( )f x ( )f x ( )f x
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
x x x
( )f x ( )f x ( )f x
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
x x x
0a >
0a 1x 2x
( )f x
1 2( ) ( ) 0f x f x⋅ > ( )f x
x
( )f x
x
( )f x
x
( )f x x
( )f x
1 2( ) ( ) 0f x f x⋅ = ( )f x
x
( )f x
x
( )f x
x
( )f x
x
( )f x
1 2( ) ( ) 0f x f x⋅ < ( )f x3
3、对称中心
三次函数 一定有对称中心。其对称
中心的横坐标为 。（三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心
在其导函数 f＇(x)=3ax2+2bx+c 的图象对称轴上．若三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值，
那么它的对称中心是两个极值点的中点．）
4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
x
( )f x
x
( )f x
3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠
3
bx a
= −
3条
2条
1条
3条1条
1条
2条4
三次函数的三大性质初探
随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的
性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性
质.
1 单调性
三次函数 ,
(1) 若 ，则 在 上为增函数；
(2) 若 ，则 在 和 上为增函数， 在 上为减
)0()( 23 >+++= adcxbxaxxf
032 ≤− acb )(xf ),( +∞−∞
032 >− acb )(xf ),( 1x−∞ ),( 2 +∞x )(xf ),( 21 xx5
函数，其中 .
证明 , △= ，
(1) 当 即 时， 在 R 上恒成立， 即 在 为增
函数.
(2) 当 即 时，解方程 ，得
或 在 和 上为增函数.
在 上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数 ,
结论 1：若 ，则 在 R 上无极值；
结论 2：若 ，则 在 R 上有两个极值；且 在 处取得极大值，在
处取得极小值.
2 根的性质
三次函数
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
a
acbbxa
acbbx 3
3,3
3 2
2
2
1
−+−=−−−=
cbxaxxf ++= 23)(' 2 )3(4124 22 acbacb −=−
0≤∆ 032 ≤− acb 0)(' ≥xf )(xf ),( +∞−∞
0>∆ 032 >− acb 0)(' =xf
a
acbbxa
acbbx 3
3,3
3 2
2
2
1
−+−=−−−=
0)(' >xf ⇒ 1xx < 2xx > ⇒ )(xf ),( 1x−∞ ),( 2 +∞x
⇒< 0)(' xf 21 xxx +++= adcxbxaxxf
032 ≤− acb )(xf
032 >− acb )(xf )(xf 1xx =
2xx =
)0()( 23 ≠+++= adcxbxaxxf
032 ≤− acb 0)( =xf6
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
证明： (1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 X 轴只相交一次，即
在 R 上 为 单 调 函 数 或 两 极 值 同 号 ， 所 以 或 ， 且
.
(3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 X 轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以 ，且 .
(4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 X 轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
由上易得以下结论：
三次函数 在 上恒正的充分必要条件是
(m≥x2),或 且 (m− acb 0)()( 21 >⋅ xfxf 0)( =xf
032 >− acb 0)()( 21 =⋅ xfxf 0)( =xf
032 >− acb 0)()( 21 − acb
0)()( 21 >⋅ xfxf
0)( =xf )(xfy =
032 >− acb 0)()( 21 =⋅ xfxf
0)( =xf )(xfy =
)(xf 032 >− acb 0)()( 21 +++= adcxbxaxxf ),[ +∞m 0)( >mf
0)( >mf 0)( 2 >xf7
3 对称性
三 次 函 数 的 图 象 关 于 点 对 称 ， 并 且
在 处取得最小值，其图象关于直线 对称.
证 1
易 知 是 奇 函 数 ， 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 则 关 于 点
对称.
， 当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 显 然
图象关于 对称.
证 2 设 的图象关于点 对称，任取 图象上点 ，则 A 关于
的 对 称 点 也 在 图 象 上
,
由上又可得以下结论：
结论 1： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象
)0()( 23 >+++= adcxbxaxxf ))3(,3( a
bfa
b −−
)(' xf a
bx 3
−=
a
bx 3
−=
)3()3)(3()3()(
2
323
a
bfa
bxa
bca
bxadcxbxaxxf −++−++=+++=
xa
bcaxxg )3()(
2
3 −+= )(xf
))3(,3( a
bfa
b −−
cbxaxxf ++= 23)(' 2
0>a ∴
a
bx 3
−= )(' xf
)(' xfy =
a
bx 3
−=
)(xfy = ),( nm )(xfy = ),( yxA
),( nm )2,2(' ynxmA −− )(xfy =
dxmcxmbxmayn +−+−+−=− )2()2()2(2 23
)2248()412()6( 23223 mdmcbmamxcmbamxbmaaxy −+++−++++−=∴
−=
−=
⇒
−+++−=
++=
−−=
∴
)3(
3
)2248(
412
6
23
2
a
bfn
a
bm
ndmbbmamd
cmbamc
bmab
)(xfy = )(xfy = ),( nm )(' xfy =8
关于直线 对称.
证明 的图象关于 对称，则
， 图象关于直线 对称.
结论 2：若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
证明 图象关于直线 对称，则 ，
∵ 푓′(푥) = 푙푖푚
훥푥→0
푓(푥 + 훥푥) ― 푓(푥)
훥푥 ∴ 푓′(2푚 ― 푥) = 푙푖푚
훥푥→0
푓(2푚 ― 푥 + 훥푥) ― 푓(2푚 ― 푥)
훥푥 = 푙푖푚
훥푥→0
푓(푥 ― 훥푥) ― 푓(푥)
훥푥 = ―푓′(푥)，
， 图象关于点 对称.
掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.
【常用结论】
1． （重点）三次函数的单调性由 a 来决定；b、c 决定函数有没有极值。d 确定函数图象与
y 轴交点。
2． （重点）函数 f(x)的极值由导函数 f＇(x)=3ax2+2bx+c 的判别式△决定：
①△≤0 无极值，单调区间为 R
②△＞0 既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。
3．（了解）三次函数图象的对称性：
mx =
)(xfy = ),( nm ,2)2()( nxmfxf =−+
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+=
→∆
)()(lim)('
0
x
xfnxxfn
x
xmfxxmfxmf
xx ∆
+−∆−−=∆
−−∆+−=−∴
→∆→∆
)(2)(2lim)2()2(lim)2('
00
)(')()(lim
0
xfx
xxfxf
x
=∆
∆−−=
→∆
∴ )(' xfy = mx =
)(xfy = mx = )(' xfy = )0,(m
)(xfy = mx = )2()( xmfxf −=
0)(')2(' =+−∴ xfxmf ∴ )(' xfy = )0,(m9
三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是中心对称图形，其对称中心是
（ ）．（三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象经过平移后能得到奇函数
图象，可以用待定系数法求得）
三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数
f＇(x)=3ax2+2bx+c 的图象对称轴上．
若三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中
点．
例题1： 设函数 ，求函数푓(푥)的单调区间。
解析： 的定义域为 R，
,此时为 的单调递增区间；
，此时为 的单调递减区间。
变式1： 设函数 ，求函数푓(푥)的单调区间。
)3(,3 a
bfa
b −−
13-3
1)( 23 ++= xxxxf
)(xf 3-2)( 2 xxxf +=′
03-2)( 2 >+=′ xxxf ⇒ ），或（ ∞1,-3)∞-( +∈x )(xf
03-2)( 2 +=′ xxxf ⇒ ），或（ ∞1,-3)∞-( +∈x )(xf
03-2)( 2 1m < 2( ) 2 0f x x x m′ = + + =
21 xx < 2( ) 2 0f x x x m′ = + + >
⇒ )(xf
2( ) 2 0f x x x m′ = + + < ⇒ )(xf
1m ≥ ( )f x R 1m <
Δ
13
1)( 23 +++= xmxxxf ∈x ∞ ∞
2( ) 2 1f x x mx′ = + +11
小结：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2 函数求导后为含参数的二次函数，
二次函数图像开口向上，所以只能满足 （- ，+ ）上 ，所以要
变式4： 设函数 ，求函数 的单调区间。
解析：依题意可得 ，
令 ， ，
（1）m 1, ,即 为单调递增， 为单调递减；
（2）m=1, ,即 ，所以函数 在 上单调递增;
（3）m 1, ,即 为单调递增， 为单调递减；
小结：由于 m 的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道
分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等
时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为 m=1,m>1,m 12 xx >
12 xx = 0)( ≥′ xf ( )f x R
< 12 xx <
Δ
cxxmxxf +++= 23
2
1
3
1)( )(xf
≠m
Δ12
变式6： 设函数 ，求函数 的单调区间。
解析：依题意可得 ，
（1）m=0, ,所以函数 在 单调递减，在 单调递增；
（2）m , =0,
m , , 单调递减， 单调递增
， ， 单调递增， 单调递减；
m=1, ,所以在 R 上为单调递增；
, , 单调递增， 单调递减；
综上可知 m , 单调递减， 单调递增；
m=0, , 单调递减，在 单调递增；
， 单调递增， 单调递减；
m=1,所以在 R 上为单调递增；
,, 单调递增， 单调递减；
【小结】这道题目与变式 4 区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界
点为 m=0，然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。
- , 1)∞ −（ -1, )+∞（
1 2
11,x x m
= − = −
1( , 1) - , )m
−∞ − +∞或（ 1( 1, )m
− −
1( , ) -1, )m
−∞ − +∞或（ 1( , 1)m
− −
1( , 1) - , )m
−∞ − +∞或（ 1( 1, )m
− −
1( , 1) - , )m
−∞ − +∞或（ 1( 1, )m
− −
- , 1)∞ −（ -1, )+∞（
1( , ) -1, )m
−∞ − +∞或（ 1( , 1)m
− −
1( , 1) - , )m
−∞ − +∞或（ 1( 1, )m
− −
cxxmmxxf ++++= 23 )1(2
1
3
1)( )(xf
2( ) ( 1) 1 ( 1)( 1)f x mx m x mx x′ = + + + = + +
( ) 1f x x′ = + ( )f x
0≠ 2( ) ( 1) 1 ( 1)( 1)f x mx m x mx x′ = + + + = + +
0< 12 xx >
10
0<
10 )(xf
(2 1, 1)m m− + m
0>m )(xf ′ )(xf
x )3,( m−−∞ m3− ),3( mm− m ),( +∞m
( )3 23( ) 1 3 12f x x a x ax= − + + + ( )f x ( )1 , 4 a
( ) ( ) ( )( )23 3 1 3 3 1f x x a x a x x a′ = − − + = − − ( )f x ( )1 , 4
(4) 0f ′ ≤ [ )4 ,a∈ + ∞14
+ 0 — 0 +
单调增 极大值 单调减 极小
值
单调增
所以函数 的单调递增区间是 和 .
变式8： 已知函数 当 时，若 在区间
上不单调，求 的取值范围．
解析：因为函数 在区间 不单调，所以函数 在 上存在零点．而
的 两 根 为 ， ， 区 间 长 为 ， ∴ 在 区 间 上 不 可 能 有 2 个 零 点 ． 所 以
， 即 ． ∵ ， ∴ 又 ∵
，∴
变式9：
，
若 在 上存在单调递增区间，求 的取
值范围；
)(' xf
)(xf
)(xf ( , 3 )m−∞ − ( , )m +∞
axxxxf 22
1
3
1)( 23 ++−= )(xf ),3
2( +∞ a
3 2 21( ) ( 1) ( , )3f x x ax a x b a b= − + − + ∈R 0a ≠ ( )f x ( 1,1)−
a
( )f x ( 1,1)− ( )f x′ ( 1,1)− ( ) 0f x′ =
1a − 1a + 2 ( 1,1)−
( 1) (1) 0f f′ ′− < 2 ( 2)( 2) 0a a a+ − < 2 0a > ( 2)( 2) 0, 2 2a a a+ − < − < <
0a ≠ ( 2,0) (0,2)a∈ − 15
解析： 在 上存单调递增区间
例题3： 【例题 2】：设函数 ，求 的极值。
解析：定义域为 ，依据题意可知 ，令 ，
-1 3
)(xf ),( +∞
3
2
3 21( ) 3 13f x x x x= − − + ( )f x
x R∈ 2( ) 2 3f x x x′ = − − 2( ) 2 3 0f x x x′ = − − =
1 21, 3x x= − =
x ( , 1)−∞ − ( 1,3)− (3, )+∞16
>0 0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
附图：
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x
8( 1) 3f − = (3) 8f = −17
例题4： 【例题 3】：设函数 ，求 在[0,4]的最值。
解析：定义域为 ，依据题意可知 ，令 ，
（舍）
0 3 4
0
单调递减 极小值 单调递增
通过表格可以发现，最大值为 ，最小值
【小结】本题主要注意求出 导数值为零点时， 不在给定范围。
附图：
3 21( ) 3 13f x x x x= − − + ( )f x
x R∈ 2( ) 2 3f x x x′ = − − 2( ) 2 3 0f x x x′ = − − =
1 1x = − 2 3x =
x (0,3) (3,4)
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x (0) 1f =
(3) 8f = −
7(4) 3f = −
(0) 1f = (3) 8f = −
1 1x = −18
【变式 1】：【2005 高考北京文第 19 题改编】 已知函数 f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, 若 f(x)
在区间[－2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
解析： 依据题意， ， ， （舍）
-2 -1 2
0
单调递减 单调递增
由表可知 f(x)的最大值为 =20，所以 =-2.f(x)的最小值为 =-7.
附图：
2( ) 3 6 9f x x x′ = − + + ( ) 0f x′ = 1 21, 3x x= − =
x ( 2, 1)− − ( 1,2)−
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x ( 2) 2f a− = + ( 1) 5f a− = − + (2) 22f a= +
(2) 22f a= + a ( 1) 5f a− = − +19
【 变 式 2 】 ： 【 2012 高 考 北 京 文 第 19 题 改 编 】 已 知 函 数 ，
。
当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。
解 析 ： 依 据 题 意 ， ， ，
-3 -1 2
>0 0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
结合函数单调性可知，要使 最大值为 ，必须使 。
3 2( ) ( ) ( ) 3 9 1h x f x g x x x x= + = + − + 2( ) 3 6 9h x x x′ = + −
1 2( ) 0, 1, 3h x x x′ = = = −
x ( , 3)−∞ − ( 3,1)− ( 1,2)−
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x
( 3) 28f − = ( 1) 12f − =
(2) 3f =
( )h x 3k ≤ −
2( ) 1( 0)f x ax a= + >
3( )g x x bx= +
3, 9a b= = − ( ) ( )f x g x+ [ ,2]k 28 k
2820
【小结】在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像（如下
图),通过图像一目了然就可以观察出 。
例题5： 【例题 4】：设函数 ， 在[0,4]的满足 恒成
立，求 c 的取值范围。
解析：定义域为 ，依据题意可知 ，令 ，
（舍）
0 3 4
0
单调递减 极小值 单调递增
3k ≤ −
3 21( ) 3 13f x x x x= − − + ( )f x ( )f x c≤
x R∈ 2( ) 2 3f x x x′ = − − 2( ) 2 3 0f x x x′ = − − =
1 1x = − 2 3x =
x (0,3) (3,4)
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x (0) 1f = 7(4) 3f = −21
通过表格可以发现，最大值为 ，最小值
在[0,4]的满足 恒成立，必须使 c 1.
【变式】：设函数 ， 在[0,4]的满足 恒成立，求 c 的
取值范围。
(3) 8f = −
(0) 1f = (3) 8f = −
( )f x c≤ ≥
3 21( ) 3 13f x x x x= − − + ( )f x ( )f x c≥22
解析：定义域为 ，依据题意可知 ，令 ，
（舍）
0 3 4
0
单调递减 极小值 单调递增
通过表格可以发现，最大值为 ，最小值
在[0,4]的满足 恒成立，必须使 c .
【小结】此类题目为恒成立问题，可以总结为 恒成立，满足 ；
恒成立，满足 。
x R∈ 2( ) 2 3f x x x′ = − − 2( ) 2 3 0f x x x′ = − − =
1 1x = − 2 3x =
x (0,3) (3,4)
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x (0) 1f =
(3) 8f = −
7(4) 3f = −
(0) 1f = (3) 8f = −
( )f x c≥ 8≤ −
( )f x c≥ min ( )f x c≥ ( )f x c≤
max ( )f x c≤23
例题6： 【例题 5】：【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 .若过点
存在 3 条直线与曲线 相切，求 t 的取值范围；
方法一：
3( ) 2 3f x x x= −
(1, )P t ( )y f x=24
方法二：
，设 ， ，则“过点 存在 3 条直
线与曲线 相切”等价于“ 图像有三个交点”。g′(x)＝12x2－12x
＝12x(x－1)．当 x 变化时，g(x)与 g′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 单调递增 3
单调递减
1 单调递增
所以，g(0)＝3 是 g(x)的极大值，g(1)＝1 是 g(x)的极小值．
结合图像知，当 y=g(x)与 有 3 个不同交点时，有 1x 0363)( 2 >++=′ xaxxf
0a > ( )f x
0a < ( )f x (1) 0f ′ ≥ (2) 0f ′ ≥
5 04 a− ≤ <
a 5[ ,0) (0, )4
− +∞
2 3( ) 1 (1 )f x a x x x= + + − − 0a > ( )f x
[0,1]x∈ ( )f x x
( )f x ( , )−∞ +∞ 2( ) 1 2 3f x a x x′ = + − −
( ) 0f x′ = 1 2 1 2
1 4 3 1 4 3, ,3 3
a ax x x x
− − + − + += = <
1 2( ) 3( )( )f x x x x x′ = − − −
1x x< 2x x> ( ) 0f x′ < 1 2x x x< < ( ) 0f x′ >
( )f x 1 2( , ) ( , )x x−∞ +∞和 1 2( , )x x30
（Ⅱ）因为 ，所以
（ⅰ）当 时， ，由（Ⅰ）知， 在[0，1]上单调递增，
所以 在 和 处分别取得最小值和最大值
（ⅱ）当 时， ，由（Ⅰ）知， 在[0， ]上单调递增，在[ ，
1]
上单调递减，因此 在 处取得最大值
又 ，所以
当 时， 在 处取得最小值；
当 时， 在 和 处同时取得最小值；
当 时， 在 处取得最小值。
例 4.（14 年天津文科 19,满分 14 分）已知函数
（1） 求 的单调区间和极值；（2）若对于任意的 ，都存在
，使得 ，求 的取值范围
解：（Ⅰ）由已知，有
0a > 1 20, 0x x< >
4a ≥ 2 1x ≥ ( )f x
( )f x 0x = 1x =
0 4a< < 2 1x < ( )f x 2x 2x
( )f x 2
1 4 3
3
ax x
− + += =
(0) 1, (1)f f a= =
0 1a< < ( )f x 1x =
1a = ( )f x 0x = 1x =
0 4a< < ( )f x 0x =
2 32( ) ( 0),3f x x ax a x R= − > ∈
( )f x 1 (2, )x ∈ +∞
2 (1, )x ∈ +∞ 1 2( ) ( ) 1f x f x⋅ = a
2( ) 2 2 ( 0)f x x ax a′ = − >31
令 ，解得 或
当 变化时， 的变化情况如下表：
0
- 0 + 0 -
0
所以， 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ， ，
当 时， 有极小值，且极小值 ；
当 时， 有极大值，且极大值
（Ⅱ）解：由 及（Ⅰ）知，当 时， ；当 时，
设集合 ，集合 ，
则“对于任意的 ，都存在 ，使得 ”等价于
，显然， .
下面分三种情况讨论：
（1）当 ，即 时，由 可知， ，而 ，所以 不是
的子集。
（2）当 ，即 时，有 ，且此时 在 上单调递减，
( ) 0f x′ = 0x = 1x a
=
x ( ), ( )f x f x′
x ( ,0)−∞ 10, a
1
a
1 ,a
+∞
( )f x′
( )f x 2
1
3a
( )f x 10, a
( ,0)−∞ 1 ,a
+∞
0x = ( )f x (0) 0f =
1x a
= ( )f x 2
1 1
3f a a
=
3(0) 02f f a
= =
30, 2x a
∈
( ) 0f x > 3 ,2x a
∈ +∞
( ) 0f x < { ( ) | (2, )}A f x x= ∈ +∞ 1{ | (1, ), ( ) 0}( )B x f xf x
= ∈ +∞ ≠
1 (2, )x ∈ +∞ 2 (1, )x ∈ +∞ 1 2( ) ( ) 1f x f x⋅ =
A B⊆ 0 B∉
3 22a
> 30 4a< < 3 02f a
= 0 A∈ 0 B∉ A B
31 22a
≤ ≤ 3 3
4 2a≤ ≤ (2) 0f ≤ ( )f x (2, )+∞32
故 ，因而 ；
由 ，有 在 上的取值范围包含 ，则 所以，
（3）当 ，即 时，有 ，且此时 在 上单调递减，
故 ，所以 不是 的子集。
综上， 的取值范围是
( , (2))A f= −∞ ( ,0)A ⊆ −∞
(1) 0f ≥ ( )f x (1, )+∞ ( ,0)−∞ ( ,0) B−∞ ⊆
A B⊆
3 12a
< 2
3a > (1) 0f < ( )f x (1, )+∞
1 ,0 , ( , (2))(1)B A ff
= = −∞ A B
a 3 3,4 2
33
课后练习、作业
1.设 .
(1)若 在 上存在单调递增区间,求 的取值范围；
(2)当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区间上的最大值.
解：（1）已知 ， ，函数 在
上
存在单调递增区间，即导函数在 上存在函数值大于零的部分
（2）已知 , 在 上取到最小值 ，而 的图像
开口
向 下 ， 且 对 轴 轴 为 ，
.22
1
3
1)( 23 axxxxf ++−=
)(xf ),3
2( +∞ a
20 ⇒>++−=′∴ aaf
20 =++−=′∴ aaf
( ) ,012224164 +=++−= aaf ( ) aaf 83
408162
1643
14 +−=+×+×−=∴
( ) 02
27122
2766
1283
40)1(4 7
4a≥
0),(,)1(3
1)( 223 >∈−++−= mRxxmxxxf 其中
时，1=m ））（，在点（ 11)( fxfy =
1)1(,2)(,3
1)(1 '2/23 =+=+== fxxxfxxxfm 故时，
））（，在点（ 11)( fxfy =
12)( 22' −++−= mxxxf 0)(' =xf mxmx +=−= 1,1
mmm −>+> 11,0 所以
)(),( ' xfxf
x )1,( m−−∞ m−1 )1,1( mm +−
m+1 ),1( +∞+ m
)(' xf
)(xf
)(xf )1,( m−−∞ ),1( +∞+ m )1,1( mm +−36
函数 在 处取得极大值 ，且 =
函数 在 处取得极小值 ，且 =
（3）解：由题设，
所 以 方 程 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 ， 故 ， 且
，解得
因为
若 ，而 ，不合题意
若 则对任意的 有
则 又 ，所以函数 在 的最
小 值 为 0 ， 于 是 对 任 意 的 ， 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
,
解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上，m 的取值范围是
)(xf mx += 1 )1( mf + )1( mf +
3
1
3
2 23 −+ mm
)(xf mx −= 1 )1( mf − )1( mf −
3
1
3
2 23 −+− mm
))((3
1)13
1()( 21
22 xxxxxmxxxxf −−−=−++−=
13
1 22 −++− mxx 21, xx 321 =+ xx
0)1(3
41 2 >−+=∆ m 2
1)(2
1 >−< mm ，舍
12
3,32, 221221 >>=+>< xxxxxx 故所以
0)1)(1(3
1)1(,1 2121 ≥−−−= ( )f x
( 1 1 , 1 1 )x a a∈ − − − − + − ( ) 0f x′ < ( )f x
( 1 1 , )x a∈ − + − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1a ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞
1a < ( )f x ( , 1 1 ),( 1 1 , )a a−∞ − − − − + − +∞
( )f x ( 1 1 , 1 1 )a a− − − − + −
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 12 3 3 2 2 2f x f x x ax a − = + + + − + + +
3 3 2 2
0 0 0
1 1 1 1( ) ( ) ( )3 2 2 2x x a x = − + − + −
2 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )3 2 2 4 2 2 2
xx x x x a x = − + + + − + + −
2
0 0
0 0
1 1 1( )( )2 3 6 12 2
x xx x a= − + + + + +
2
0 0 0
1 1( )(4 14 7 12 )12 2x x x a= − + + +
0
1 1(0, ) ( ,1)2 2x ∈ 0
1( ) ( )2f x f= 2
0 04 14 7 12 0x x a+ + + =
1 1(0, ) ( ,1)2 2
20, 14 16(7 12 ) 4(21 48 ) 0a a a< ∴∆ = − + = − >
14 2 21 48 7 21 48
8 4
a a− ± − − ± −=
0 0x > 0x 7 21 48
4
a− + −41
依题意， ，即
所以 ，即
又由 ，得 ，故欲使满足题意的 存在，则
所以，当 时，存在唯一的 满足
当 时，不存在 使得
7+ 21 480 14
a− −< < 7 21 48 11a< − <
49 21 48 121a< − < 25 7
12 12a− < < −
7+ 21 48 1=4 2
a− − 5
4a = − 0x 5
4a ≠ −
25 5 5 7( , ) ( , )12 4 4 12a∈ − − − − 0
1 1(0, ) ( ,1)2 2x ∈ 0
1( ) ( )2f x f=
25 7 5( , ] [ ,0)12 12 4a ∈ −∞ − − − 0
1 1(0, ) ( ,1)2 2x ∈ 0
1( ) ( )2f x f=42
6.已知函数 .(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 在 单调增加，在 单调减少，证明: ＜
6.
（21）解：(09 海南宁夏理 21)（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）当 时， ，故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 当
从而 单调减少.
(Ⅱ)
由 从 而
因为
所以
3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e−= + + + 3a b= = − ( )f x
( )f x ( , ),(2, )α β−∞ ( ,2),( , )α β +∞ β α−
3a b= = − 3 2( ) ( 3 3 3) xf x x x x e−= + − −
3 2 2'( ) ( 3 3 3) (3 6 3)x xf x x x x e x x e− −= − + − − + + − 3( 9 )xe x x− −= − −
( 3)( 3) xx x x e−= − − +
3x < − 或 0 3 '( ) 0;x f x< < >时， 3 0 3 '( ) 0.x x f x− < < > 1 2x< < ' ( ) 0f x < 2x > ' ( ) 0f x >
1x = ( )f x 5(1) 2f a= −44
当 时, 取极小值 ;
故当 或 时, 方程 仅有一个实根. 解得 或 .
2x = ( )f x (2) 2f a= −
(2) 0f > (1) 0f < ( ) 0f x = 2a < 5
2a >45
8.已知函数 ，曲线 在点（0,2）处的切线与 轴交
点的横坐标为-2.（1）求 ；（2）证明：当 时，曲线 与直线
只有一个交点。
解：（14 年新课标文 21，本小题满分 12 分）
（Ⅰ） ， 曲线 在点（0，2）处的切线方程为
由题设得 ，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设
由题设知
当 时 ， ， 单 调 递 增 ，
，所以 在 有唯一实根。
当 时，令 ，则
在 单调递减，在 单调递增，所以
故 在 没有实根
综上 在 R 由唯一实根，即曲线 与直线 只有一个交点。
3 2( ) 3 2f x x x ax= − + + ( )y f x= x
a 1k < ( )y f x= 2y kx= −
2( ) 3 6f x x x a′ = − + (0)f a′ = ( )y f x=
2y ax= +
2 2a
− = − 1a =
3 2( ) 3 2f x x x x= − + + 3 2( ) ( ) 2 3 (1 ) 4g x f x kx x x k x= − + = − + − +
1 0k− >
0x ≤ 2( ) 3 6 1 0g x x x k′ = − + − > ( )g x
( 1) 1 0, (0) 4g k g− = − < = ( ) 0g x = ( ,0]−∞
0x > 3 2( ) 3 4h x x x= − + ( ) ( ) (1 ) ( )g x h x k x h x= + − >
2( ) 3 6 3 ( 2), ( )h x x x x x h x′ = − = − (0,2) (2, )+∞
( ) ( ) (2) 0g x h x h> ≥ = ( ) 0g x = (0, )+∞
( ) 0g x = ( )y f x= 2y kx= −
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