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正方形探索式教学 教学引入 师:教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话:把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条,按动画所示进行折叠处理。 动画演示: 场景一:正方形折叠演示 师:这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规,我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。 [学生活动:各自测量。] 鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较,找出共同点。 讲授新课 找一两个学生表述其结论,表述是要注重纠正其语言的规范性。 动画演示: 场景二:正方形的性质 师:这些性质里那些是矩形的性质? [学生活动:寻找矩形性质。] 动画演示: 场景三:矩形的性质 师:同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。 [学生活动;寻找菱形性质。] 动画演示: 场景四:菱形的性质 师:这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。 及时提出问题,引导学生进行思考。 师:根据这些性质,我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义? [学生活动:积极思考,有同学做跃跃欲试状。] 师:请同学们回想矩形与菱形的定义,可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。 学生应能够向出十种左右的定义方式,其余作相应鼓励,把以下三种板书: “有一组邻边相等的矩形叫做正方形。” “有一个角是直角的菱形叫做正方形。” “有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。” [学生活动:讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。] 师:根据定义,我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。 动画演示: 场景五:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 场景六:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系 师:当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图(图1)表示: 图1 师:请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。 例题讲解 例1 在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE 分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证实线段相等,与图形可以证实二个三角形全等,即只需证实△ABG≌△AEC. 证实:∵四边形ABDE和ACFG都是正方形 ∴AB=AE,AG=AC ∠BAE=∠CAG=90° ∴∠BAE ∠BAC=∠CAG ∠BAC 即∠BAG=∠EAC ∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE 图2 说明:应用正方形的性质,可以为证实全等提供条件,要注重等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。 巩固练习 巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。 讲解新课 师:正方形是非凡的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形? 生:证一组邻边相等。 师:怎么判定一个菱形是正方形? 生:证有一个角是直角。 师:怎么判定一个平行四边形是正方形? 生:根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。 师:那么,刚才的结论假如用图来表示,是不是如图2所示? 师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全? [学生活动:积极思考,部分学生迷惑不解。] 师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。 生恍然大悟。 学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。 就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例,并说出相应证实思路。 为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题: (1)对角线相等的菱形是正方形吗? (2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗? (3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件? (4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?” (5)四个角都相等的四边形是正方形吗? 小结:证实正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;碰到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静,学会去分析。 动画演示: 场景七:正方形的判定 例题讲解 例2 如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M, 求证:AD=AM。 分析:欲证AD=AM,只需证实∠1=∠2,但要根据题目条件直接证实∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,轻易证实得:△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4 ∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证实A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。 证实:略。 说明:将此题中的中点E、F进行变化:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中经常出现,要注重隐含的这个垂直条件。 课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
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