资料简介
北师大版九年级数学上册
第四章检测题
时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列四条线段成比例的是 C
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝ 2，b＝3，c＝2，d＝ 3
C．a＝2.5，b＝ 5，c＝ 15，d＝2 3 D．a＝12，b＝8，c＝15，d＝11
2．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD
DB
＝1
2
，则下列结论中正确的是 C
A.AE
AC
＝1
2
B.DE
BC
＝1
2
C. △ ADE的周长
△ ABC的周长
＝1
3
D. △ ADE的面积
△ ABC的面积
＝1
3
,第 2 题图) ,第 3 题图)
,第 5 题图) ,第 7 题图)
3．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N 都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点)，
要使△DEF 与△ABC 相似(其中 AB 与 DE 是一组对应边)，则点 F 应是 G，H，M，N 四点中
的 C
A．H 或 N B．G 或 H C．M 或 N D．G 或 M
4．点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC.下列说法中正确的有 C
①AC＝ 5－1
2
AB；②AC＝3－ 5
2
AB；③AB∶AC＝AC∶BC；④AC≈0.618AB.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，
GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是 D
A.AB
AE
＝AG
AD
B.DF
CF
＝DG
AD
C.FG
AC
＝EG
BD
D.AE
BE
＝CF
DF
6．(2018·潍坊)在平面直角坐标系中，点 P(m，n)是线段 AB 上一点，以原点 O 为位
似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为 B
A．(2m，2n) B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(1
2
m，1
2
n) D．(1
2
m，1
2
n)或(－1
2
m，－1
2
n)
7．(2018·泸州)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交
于 G，若 AE＝3ED，DF＝CF，则AG
GF
的值是 C
A.4
3
B.5
4
C.6
5
D.7
6
8．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在边 BC，AD 上，且 AD 为∠BAC 的平分线．若∠
ABE＝∠C，AE∶ED＝2∶1，则△BDE 与△ABC 的面积比为 D
A．1∶6 B．1∶9 C．2∶13 D．2∶15
,第 8 题图) ,第 9 题图)
,第 10 题图)
9．如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴
上，正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O′为中心的位似图形．已知 AC＝
3 2，若点 A′的坐标为(1，2)，则正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 的相似比是 B
A.1
6
B.1
3
C.1
2
D.2
3
10．(2018·达州)如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE＝CF＝ 1
4
AC.连接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则S △ ADG
S △ BGH
的值为 C
A.1
2
B.2
3
C.3
4
D．1
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．已知：a
b
＝4
3
，则a－2b
a＋2b
的值是－1
5
.
12．在△ABC 中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，另一个与它相似的△A
′B′C′的周长为 18 cm，则△A′B′C′各边长分别为 4 cm，6 cm，8 cm.
13．(2018·邵阳)如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接
AE，交 CD 于点 F，连接 BF.写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF.
,第 13 题图) ,第 14 题图)
,第 15 题图)
14．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原
点 O 是位似中心．若 AB＝1.5，则 DE＝4.5.
15．(2018·北京)如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC
于点 F，若 AB＝4，AD＝3，则 CF 的长为10
3
.
16．如图，阳光通过窗口 AB 照到室内，在地面上留下一个亮区 ED，已知亮区一边到
窗下的墙脚距离 CE＝2.7 m，窗高 AB＝0.8 m，窗口底边离地面的高度 BC＝1 m，则亮区
宽度 ED＝1.2m.
,第 16 题图) ,第 17 题图)
,第 18 题图)
17．直线 l1∥l2∥l3，且 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 2，把∠ACB＝30°的直角三
角板如图放置，顶点 A，B，C 恰好落在三条直线上，则线段 AB 的长为 7.
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN 中，∠MPN＝
90°，点 P 在 AC 上，PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE＝2PF 时，AP＝3.
点拨：如图作 PQ⊥AB 于 Q，PR⊥BC 于 R，∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边
形 PQBR 是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴PQ
PR
＝PE
PF
＝
2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，设 PQ＝4x，
则 AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3，∴x＝3
5
，∴AP＝5x＝3
三、解答题(共 66 分)
19．(10 分)如图，已知点 D，E 分别在△ABC 的边 BA，CA 的延长线上，且 AE＝3，AC
＝6，AD＝2，AB＝4.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若 BC＝5，求 ED 的长．
解：(1)∵AE＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4，∴AD
AB
＝1
2
，AE
AC
＝1
2
，∴AD
AB
＝AE
AC
，∴DE∥BC
(2)∵DE∥BC，∴△EAD∽△CAB，∴ED
BC
＝AE
AC
，∵BC＝5，∴ED
5
＝1
2
，∴ED＝2.5
20．(10 分)(2018·杭州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB
于点 E.
(1)求证：△BDE∽△CAD.
(2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△
BDE∽△CAD
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2＝12，∵1
2
AD·BD＝1
2
AB·DE，∴DE＝60
13
21．(10 分)(2018·安徽)如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网
格中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段
A1B1(点 A，B 的对应点分别为 A1，B1)，画出线段 A1B1；
(2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1，画出线段 A2B1；
(3)以 A，A1，B1，A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是 20 个平方单位．
解：(1)如图所示，线段 A1B1 即为所求
(2)如图所示，线段 A2B1 即为所求
(3)由图可得，四边形 AA1B1A2 为正方形，∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22＋42)2＝
( 20)2＝20
22．(10 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段
AM 绕点 M 顺时针旋转 90°得到线段 MN，在 CD 边上取点 P，使 CP＝BM，连接 NP，
BP.
(1)求证：四边形 BMNP 是平行四边形；
(2)线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若△MCQ∽△AMQ，则 BM 与 MC 存在怎样
的数量关系？请说明理由．
解：(1)在正方形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，在△ABM 和△BCP 中，{
AB＝BC，
∠ABC＝∠C，
BM＝CP，
∴△ABM≌△BCP(SAS)，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠
AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵线段 AM 绕点 M 顺时针旋转 90°得到线段 MN，∴AM⊥MN，
且 AM＝MN，∴MN∥BP，MN＝BP，∴四边形 BMNP 是平行四边形
(2)BM＝MC，理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠
CMQ，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴ AB
MC
＝AM
MQ
，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△
ABM，∴AB
BM
＝AM
MQ
，∴ AB
MC
＝AB
BM
，∴BM＝MC
23．(12 分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如图，
当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿
AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB
＝1.25 m，已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高 CD 的长．
解：设 CD 长为 x 米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴
EC＝CD＝x 米，∴△ABN∽△ACD，∴BN
CD
＝AB
AC
，即1.75
x
＝ 1.25
x－1.75
，解得 x＝6.125.经检验，
x＝6.125 是原方程的解，∴路灯高 CD 为 6.125 米
24．(14 分)如图①所示，在△ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB，BC
的延长线分别相交于点 M，N.
【问题引入】
(1)若点 O 是 AC 的中点，AM
BM
＝1
3
，求CN
BN
的值；
(温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G.)
【探索研究】
(2)若点 O 是 AC 上任意一点(不与 A，C 重合)，求证：AM
MB
·BN
NC
·CO
OA
＝1；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点 P 是△ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC，AB 于
点 D，E，F，若AF
BF
＝1
3
，BD
CD
＝1
2
，求AE
CE
的值．
解：(1)过点 A 作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G，∴NG
BN
＝AM
MB
，同理，在△ACG 和△OCN
中，NG
CN
＝AO
CO
，∴CO
AO
＝CN
NG
，∵O 为 AC 中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN，∴CN
BN
＝NG
BN
＝AM
BM
＝
1
3
(2)由(1)知，NG
BN
＝AM
MB
，CO
AO
＝CN
NG
，∴AM
MB
·BN
NC
·CO
OA
＝NG
BN
·BN
NC
·CN
NG
＝1
(3)在△ABD 中，点 P 是 AD 上的一点，过点 P 的直线与 AC，BD 的延长线相交于点
C，由(2)得AF
BF
·BC
CD
·DP
PA
＝1，在△ACD 中，点 P 是 AD 上一点 ，过点 P 的直线与 AC，AD 的
延长线分别相交于点 E，B，由(2)得 AE
EC
·CB
BD
·DP
PA
＝1，∴ AF
BF
·BC
CD
·DP
PA
＝AE
EC
·CB
BD
·DP
PA
，∴AE
EC
＝
AF
BF
·BC
CD
·BD
CB
＝AF
FB
·BD
CD
＝1
3
×1
2
＝1
6
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