天天资源网 / 初中数学 / 一轮复习 / 中考数学复习专题讲与练勾股定理及其逆定理
资料简介
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勾股定理及其逆定理
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以
后，恐怕会吃不消的。”
“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”
另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻
松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。
成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。
例 1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边
AB；
例 2：在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=60°，CD= ，求线段 AB 的长。
B A
C
D
3天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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例 3： 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放
的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
例 4：如图，南北向 MN 为我国领域，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分，
我反走私 A 艇发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通
知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是
5 海里；反走私艇测得离 C 艇的距离是 12 海里.若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间
进入我国领海？
A 组
1．已知两条线段的长为 5cm 和 12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这
三条线段能组成一个直角三角形.
B 组
2．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4, c=5
3、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 的两个实数根，
第三边 BC＝5。
（1） 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；
（2） 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
4.图①是一个边长为 的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①
E
B
CA
M
N
023)32( 22 =++++− kkxkx
k
k
( )m n+天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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和图②能验证的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图 6，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O
于 C，AB＝3cm，PB＝4cm，则 BC＝ ．
6．已知：如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直
角三角形．若斜边 AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
7．如图，过原点的直线 l 与反比例函数 的图象交于 M，N 两点，1y x
= −
2 2( ) ( ) 4m n m n mn+ − − =
2 2 2( ) ( ) 2m n m n mn+ − + =
2 2 2( ) 2m n mn m n− + = +
2 2( )( )m n m n m n+ − = −
图① 图②
第 4 题图天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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根据图象猜想线段 MN 的长的最小值是___________．
8．长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如图所示），则梯子
的顶端沿墙面升高了 m．
9．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，
高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短
需要 cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 圈到达点 B，那么所用
细线最短需要 cm．
10、如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点 D 是线
段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 ＝－ ＋ 交折线 OAB 于点 E．
（1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式；
（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探
究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；
若改变，请说明理由.
n
B
A
6cm
3cm
1cm
y 1
2 x b
b
C D B
AEO x
y天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B 组
1. 以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．平行四边形的四条边相等
2. 如图，⊙O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切⊙O 于 A 点，则 PA= ．
3. 如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下
列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2，
4. 如图，已知∠AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，
则 OM=（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点 M、N 分别在 AB、
AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则 tan∠MCN=（ ）天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A． B． C． D． ﹣2
6. 如图 1，有一个“顽皮虫”想从点A 沿棱长为 1cm 的正方体的表面爬到点 B，求它所爬过
的最短路程．
7. 在△ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm，求 AC
8. 已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求 S△ABC。
9. 判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形
（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15
10. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以
灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”
来证明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
D
C
BA天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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勾股定理及其逆定理
例 1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边
AB；
解：（1）S△ABC=
（2）
例 2：在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=60°，CD= ，求线段 AB 的长。
B A
C
D
( )21 1 2.1 2.8 2.942 2AC BC cm• • = × × =
( )cmBCACAB 5.325.1284.741.48.21.2 2222 ==+=+=+=
3
2 2
90 60
130 2
2 3 3
90
130 2
BCA A
B CD BC
BC BD BC CD
CD AB CDA
DCA AD AC
∠ = ∠ =
∴∠ = ∴ =
∴ = ∴ = − =
⊥ ∴∠ =
∴∠ = ∴ =
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分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是
常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可解。
例 3：如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放
的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
解答 如图，当搅拌棒在 AB 位置时最长，过 B 画底面直径 BC，则在 Rt△ABC 中，AC＝
15cm， BC＝4×2＝8cm
根据勾股定理得
所以可放的最长搅拌棒为 17cm．
例 4：如图，南北向 MN 为我国领域，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分，
我反走私 A 艇发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通
知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是
5 海里；反走私艇测得离 C 艇的距离是 12 海里.若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间
进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC
是什么类型的三角形？（2）走私艇 C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇 C 最早会
( )cmBCACAB 17815 2222 =+=+=
E
B
CA
M
N
2 2 2
, 2
(2 ) ( 3)
1
AD x AC x
x x
x
= =
= +
=
设 则
2 3 1AB BD AD= + = +
2
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在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.
解：设 MN 交 AC 于 E，则∠BEC=900.
又 AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=900.
又∵MN⊥CE，∴走私艇 C 进入我领海的最近距离是 CE，
则 CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得 26CE=288，
∴CE= . ÷ ≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.
9 时 50 分+51 分=10 时 41 分.
答：走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海.
1．【答案】13 或
2．【答案】A
3、【答案】（1）2；（2） ＝4 或 3，当 ＝4 时，面积为 12。
4.【答案】B
5．【答案】
6． 【答案】 ．
7．【答案】
8．【答案】
9．【答案】10， （或 ）
10、
【答案】（1）由题意得 B（3，1）．
若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝
12
5
2
9
2 2
2( 3 2)−
22 9 16n+ 236 64n+
13
144
13
144
169
144
119
k k
C D B
AEO x
y
3
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若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝
若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1
1.若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a，
此时 E（2b，0）
∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b
②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 ＜b＜ ，如图 2
此时 E（3， ），D（2b－2，1）
∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝
∴
（2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与矩形
OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形
5
2
3
2
D
E
x
y
C B
AO
图 2
1
2
1
2
3
2
5
2
3
2b −
1
2
1
2
5
2 b− 1
2
3
2b − 25
2 b b−
2
31 2
5 3 5
2 2 2
b b
S
b b b
< ≤=
− <
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