资料简介
2020 年开学摸底考八年级数学（苏教版）
B 卷
一．选择题
1．下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形．
故共 2 个中心对称图形．
故选：B．
2．不透明袋子中有除颜色外完全相同的 4 个黑球和 2 个白球，从袋子中随机摸出 3 个球，
下列事件是必然事件的是（ ）
A．3 个都是黑球 B．2 个黑球 1 个白球
C．2 个白球 1 个黑球 D．至少有 1 个黑球
【解答】A 袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，
所以 A 不是必然事件；
B．C．袋子中有 4 个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C 有可能不发生，所以 B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D 正
确．
故选：D．
3．如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四
边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝CD，AO＝CO
【解答】A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形
ABCD 是平行四边形；
B、根据 AB∥CD 可得：∠ABC+∠BCD＝180°，∠BAD+∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠
BCD 可得：∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形 ABCD 是平行四边
形；
D、AB＝CD，AO＝CO 不能证明四边形 ABCD 是平行四边形．
故选：D．
4．如图是一张靶纸，共三圈，投中内圈得 10 环，投中中圈得 8 环，投中外圈得 6 环，小明
两次投中概率最大的环数是（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】①投中 2 个 10 环，共 20 环；
②投中 2 个 8 环，共得 16 环；
③投中 2 个 6 环，共得 12 环；
④投中 1 个 10 环、1 个 8 环，共得 18 环；
⑤投中 1 个 10 环、1 个 6 环，共得 16 环；
⑥投中 1 个 8 环、1 个 6 环，共得 14 环；
在以上所列 5 种结果中，小明两次投中 16 环次数最多，
所以小明两次投中概率最大的环数是 16 环，
故选：C．
5．将分式 푥2푦
푥 ― 푦中的 x，y 的值同时扩大为原来的 3 倍，则分式的值（ ）
A．扩大 6 倍 B．扩大 9 倍 C．不变 D．扩大 3 倍
【解答】∵把分式 푥2푦
푥 ― 푦中的 x 与 y 同时扩大为原来的 3 倍，
∴原式变为： 27푥2푦
3푥 ― 3푦 =
9푥2푦
푥 ― 푦 = 9 × 푥2푦
푥 ― 푦，
∴这个分式的值扩大 9 倍．
故选：B．
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形B．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【解答】A、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故正确；
B、一条对角线平分一组对角的平行四边形能判定是菱形，故正确；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是梯形．故错误；
故选：D．
7．一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用
时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速
为 x 千米/时，则可列方程（ ）
A． 100
푥 + 30 =
60
30 ― 푥 B． 100
푥 + 30 =
60
푥 ― 30
C． 100
30 ― 푥 =
60
30 + 푥 D． 100
푥 ― 30 =
60
푥 + 30
【解答】设江水的流速为 x 千米/时，
100
푥 + 30 =
60
30 ― 푥．故选：A．
8．如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1，连
结 AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD 与△A1C1D1 重叠部分的面积
为 s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当 x＝1 时，四边形 ABC1D1 是菱形 ③当 x＝
2 时，△BDD1 为等边三角形 ④s =
3
2 （x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】∵AC＝A1C1，
∴AA1＝CC1
∵BC＝D1A1，∠AA1D1＝∠BCC1，
∴△A1AD1≌△CC1B，故①正确，
在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝30°，AB＝1，
∴AC＝A1C1＝2，
当 x＝1 时，AC1＝CC1＝1，
∴AC1＝AB，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC1 是等边三角形，
同法可证：△AD1C1 是等边三角形，
∴AB＝BC1＝AC1＝AD1＝C1D1，
∴四边形 ABC1D1 是菱形，故②正确，
当 x＝2 时，BD＝AC＝2，DD1＝2，∠BDD1＝60°，
∴△BDD1 是等边三角形，故③正确，
当 0＜x＜2 时，S = 1
2•1
2（2﹣x）•
3
2 （2﹣x） =
3
8 （2﹣x）2，故④错误．
故选：C．
二．填空题
9．要使分式 3
2 ― 푥有意义，则 x 的取值范围是 x≠2 ．
【解答】根据题意得，2﹣x≠0，
解得 x≠2．故答案为：x≠2．
10．分式 3
2푎3푏2푐
与 푎 ― 푏
6푎2푏4푐
的最简公分母是 6a3b4c ．
【解答】分式 3
2푎3푏2푐
与 푎 ― 푏
6푎2푏4푐
的最简公分母是 6a3b4c，
故答案为：6a3b4c．
11．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，点 E 为 AB 边上的中点，OE＝2.5cm，
则 AD＝ 5 cm．
【解答】四边形 ABCD 为▱ABCD
∵点 E 为 AB 边上的中点
∴OE∥BC
∴在△AEO 和△ABC 中，△AEO∽△ABC，
∵点 E 为 AB 边上的中点
∴BC＝2EO＝5cm
故答案为 5．
12．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC 绕点 A
逆时针旋转后得到△P′AB．给出下列四个结论：①P 到 P′的距离为 6； ②∠APB＝
150°；③S△ABC＝36+25 3；其中正确结论的有 ①②③ ．（填序号）【解答】①连接 PP′，过点 A 作 AD⊥BP 于点 D，如图，
由旋转性质可知，△APC≌△AP'B，
∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10，
∵∠P'AP＝60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP＝6，故①正确；
②∵PB＝8，
∴P'B2＝PB2+P'P2，
∴△PP'B 是直角三角形，
∴∠P'PB＝90°，
∵∠P'PA＝60°，
∴∠APB＝150°，故②正确；
③由②得：∠APD＝30°，
∴AD = 1
2AP＝3，PD＝3 3，∴BD＝8+3 3，
在 Rt△ABD 中，AB2＝AD2+BD2＝100+48 3，
∴S△ABC =
3
4 AB2＝36+25 3，故③正确．
故答案为：①②③．
13．小明掷一枚骰子，骰子朝上的面的点数是 6 的素因数的可能性大小是 1
3 ．
【解答】小明掷一枚骰子有 1、2、3、4、5、6 这 6 种等可能结果，其中朝上的面的点数
是 6 的素因数的有 2、3 这 2 种结果，
所以骰子朝上的面的点数是 6 的素因数的可能性大小是2
6 =
1
3，
故答案为：1
3．
14．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，∠AOD＝60°，AC＝4，则 AD 的长是
2 ．
【解答】∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD = 1
2AC＝2，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD 是等边三角形，
∴AD＝OA＝2，
故答案为：2
15．如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，则菱形 ABCD 的面积是 8 3cm2 ．
【解答】∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∠BOC＝90°，
∵OC＝2cm，
∴OB＝2 3cm，
∴S△퐵푂퐶 =
1
2푂퐵 ⋅ 푂퐶 =
1
2 × 2 3 × 2 = 2 3cm2．
∴菱形 ABCD 的面积为 2 3 × 4 = 8 3cm2．
故答案为：8 3cm2．
16．若푎
푏 =
푐
푑 =
푒
푓 =
1
2，则푎 + 푐 + 푒
푏 + 푑 + 푓 = 1
2 ．
【解答】∵푎
푏 =
푐
푑 =
푒
푓 =
1
2，
∴푎 + 푏 + 푐
푏 + 푑 + 푓 =
푎
푏 =
1
2．
故答案为1
2．
17．半期考试来临，元元到文具店购买考试用的铅笔，签字笔和钢笔，其中铅笔每支 8 元，
签字笔每支 10 元，钢笔每支 20 元，若他一共用了 122 元，那么他最多能买钢笔 4
支．
【解答】设购买 x 支钢笔，y 支铅笔，z 支签字笔，
依题意，得：20x+8y+10z＝122∴x = 122 ― 8푦 ― 10푧
20 =
61 ― 4푦 ― 5푧
10
由题意可知 x，y，z 均为正整数
∴当 y＝1，z＝1 时，x＝5.2，不符合题意；
当 y＝2，z＝1 时，x＝4.8，不符合题意；
当 y＝3，z＝1 时，x＝4.4，不符合题意；
当 y＝2，z＝2 时，由奇偶性可知，分子为奇数，不符合题意；
当 y＝4，z＝1 时，x＝4，符合题意．
故答案为：4．
18．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC 与∠ACD 互补，CD＝5，则 BC
的长为 10 ．
【解答】延长 AB、CD 交于点 E，如图：
∵AD 平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE 和△ADC 中，{∠EAD = ∠CAD
퐴퐷 = 퐴퐷
∠퐴퐷퐸 = ∠퐴퐷퐶
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC 与∠ACD 互补，∠ABC 与∠CBE 互补，∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝2CD＝10，
故答案为：10．
三．解答题
19．化简：(푥2 ―4)(
1
푥 + 2 ―
1
푥 ― 2 ―1)
【解答】(푥2 ―4)(
1
푥 + 2 ―
1
푥 ― 2 ―1)
＝x﹣2﹣（x+2）﹣（x2﹣4）
＝x﹣2﹣x﹣2﹣x2+4
＝﹣x2．
20．解方程： 푥
푥 ― 3 +
6
푥 + 3 = 1
【解答】方程两边乘 （x﹣3）（x+3），
得 x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，
解得：x＝1，
检验：当 x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x＝1．
21．“2018 年西安女子半程马拉松”的赛事有两项：A“女子半程马拉松”；B、“5 公里女子
健康跑”．小明对部分参赛选手作了如下调查：调查总人数 50 100 200 300 400 500
参加“5 公里女子健康跑”人数 18 45 79 120 160 b
参加“5 公里女子健康跑”频率 0.360 a 0.395 0.400 0.400 0.400
（1）计算表中 a，b 的值；
（2）在图中，画出参赛选手参加“5 公里女子健康跑“的频率的折线统计图；
（3）从参赛选手中任选一人，估计该参赛选手参加“5 公里女子健康跑”的概率（精确
到 0.1）．
【解答】（1）a＝45÷100＝0.45、b＝500×0.4＝200；
（2）折线图如下：
（3）估计该参赛选手参加“5 公里女子健康跑”的概率为 0.40．
22．如图 1，OA＝2，OB＝4，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 Rt△ABC（1）求 C 点的坐标．
（2）如图 2，在平面内是否存在一点 H，使得以 A、C、B、H 为顶点的四边形为平行四
边形？若存在，请写出 H 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）过点 C 作 CD⊥x 轴，
∵△ABC 是等腰直角三角形
∴AC＝AB，∠CAB＝90°
∵∠DAC+∠DCA＝90°，∠DAC+∠OAB＝90°
∴∠DAC＝∠OAB，且 AC＝AB，∠CDA＝∠AOB＝90°
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴OA＝CD＝2，AD＝OB＝4
∴OD＝6
∴点 C（﹣6，﹣2）
（2）设点 H（x，y）
∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），点 B（0，﹣4），
若四边形 ABHC 是平行四边形，
∴AH 与 BC 互相平分
∴ ―6 + 0
2 =
―2 + 푥
2 ， ―2 ― 4
2 =
0 + 푦
2
∴x＝﹣4，y＝﹣6
∴点 H 坐标（﹣4，﹣6）
若四边形 ABCH 是平行四边形
∴AC 与 BH 互相平分
∴ ―2 ― 6
2 =
푥 + 0
2 ， ―2 + 0
2 =
―4 + 푦
2
∴x＝﹣8，y＝2
∴点 H 坐标（﹣8，2）
若四边形 CAHB 是平行四边形
∴AB 与 CH 互相平分
∴ ―2 + 0
2 =
―6 + 푥
2 ， ―4 + 0
2 =
―2 + 푦
2
∴x＝4，y＝﹣2
∴点 H 坐标（4，﹣2）
综上所述：点 H 坐标为（﹣4，﹣6）或（﹣8，2）或（4，﹣2）
23．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线，AF、DE 交于点 O．
求证： OA＝OF，OD＝OE ．
证明： 连接 DF、EF，∵D、F 分别是 AB、BC 的中点，
∴DF∥AC，
同理可得：EF∥AB，
∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，
即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 ．
【解答】求证：OA＝OF，OD＝OE，
证明：连接 DF、EF，
∵D、F 分别是 AB、BC 的中点，
∴DF∥AC，
同理可得：EF∥AB，
∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，
即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
24．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%，将某种果汁饮料每瓶价格下调了 5%，
已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料调价前每瓶各多少元？
【解答】设碳酸饮料在调价前每瓶的价格为 x 元，果汁饮料调价前每瓶的价格为 y 元，
根据题意得：{x + y = 7
3(1 + 10%)푥 + 2(1 ― 5%)푦 = 17.5，
解得：{x = 3
푦 = 4 ．
答：调价前碳酸饮料每瓶的价格为 3 元，果汁饮料每瓶的价格为 4 元．
25．如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点，PO 的延长线交 BC
于 Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若 AD＝8 厘米，AB＝6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与
D 重合）．设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD
是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
又∵O 为 BD 的中点，
∴OB＝OD，
在△POD 与△QOB 中，
∵{∠PDO = ∠QBO
푂퐵 = 푂퐷
∠푃푂퐷 = ∠푄푂퐵∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）PD＝8﹣t，
∵四边形 PBQD 是菱形，
∴PD＝BP＝8﹣t，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°，
在 Rt△ABP 中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，
即 62+t2＝（8﹣t）2，
解得：t = 7
4，
即运动时间为7
4秒时，四边形 PBQD 是菱形．
26．如图，两个等腰直角△ABC 和△CDE 中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图 1，点 E 在 BC 上，线段 AE 与 BD 的数量关系是 AE＝BD ，位置
关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE 绕直角顶点 C 旋转到图 2 的位置，（1）中的结论还成立吗？说
明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE 绕点 C 在平面内自由旋转，若 AC＝BC＝13，DE＝10，当 A、
E、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．
【解答】（1）如图 1 中，延长 AE 交 BD 于 H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即 AE⊥BD，
故答案为 AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图 2 中，延长 AE 交 BD 于 H，交 BC 于 O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即 AE⊥BD．
（3）①当射线 AD 在直线 AC 的上方时，作 CH⊥AD 用 H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH = 1
2DE＝5，
在 Rt△ACH 中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH = 132 ― 52 = 12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线 AD 在直线 AC 的下方时时，作 CH⊥AD 用 H．
同法可得：AH＝12，故 AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的 AD 的值为 17 或 7．
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