资料简介
【人教版八年级数学(下)单元测试】
第十七章 勾股定理单元测试
(题数：20 道 测试时间：45 分钟 总分：100 分)
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、单选题（每小题 3 分，共 24 分）
1．在△ABC 中，AB= ，BC= ，AC= ，则（ ）
A. ∠A=90° B. ∠B=90° C. ∠C=90° D. ∠A=∠B
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为
（ ）
A. 16π B. 12π C. 10π D. 8π
第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图
3．如图在 中， ，AD 平分 ，AC=6，BC=8，则 CD 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．已知 中， ，则它的三条边之比为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm，
则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A. 169cm2 B. 196cm2 C. 338cm2 D. 507cm2
6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线
的长是（ ）
A. B. C. D. 2
7．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4，则第三边是（ ）
A. 1 B. 5 C. D. 5 或
8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰
直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，…，按照此规律继续下去，则 S9 的
值为（ ）
A．（ ）6 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）7
2 5 3
Rt ABC 90C∠ = ° CAB∠
ABC
1 1
2 3A B C∠ = ∠ = ∠
1:1: 2 1: 3 : 2 1: 2 : 3 1: 4:1
2 3 5
7 7
1
2
1
2
2
2
2
2
第 6 题图 第 8 题图
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
9．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC= ，则 BC=__________；
10．如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为 6cm，高为 16cm.现将一根长度为 25cm
的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是_______cm.
第 10 题图 第 11 题图 第 13 题图
11 ． 如 图 ， ， ， ， ， 垂 足 分 别 为 ， ，
， ，则 _____.
12．若△ABC 的三边 a、b、c 满足 ，则△ABC 的面积为____．
13．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿 AB 长 2.5 米，顶点 A 在 AC 上滑动，量
得滑竿下端 B 距 C 点的距离为 1.5 米，当端点 B 向右移动 0.5 米时，滑竿顶端 A 下滑________米．
14．如图，数轴上点 A 所表示的实数是______________．
第 14 题图
三、解答题（共 52 分）
15．（8 分）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑
筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉
到离旗杆底端 5 米处，发现此时绳子底端距离打结处约 1 米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．
90ACB∠ = AC BC= BE CE⊥ AD CE⊥ E D
13AC = 5BE = DE =
2-5 ( -12) -13 0a b c+ + =
16．（8 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边
形 ABCD 的面积.
17 ．（ 8 分 ） 已 知 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 满 足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.
18．（8 分）已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13,
求证：△ACD 是直角三角形．
5
19．（10 分）如图所示，某公路一侧有 A、B 两个送奶站，C 为公路上一供奶站，CA 和 CB 为供奶路
线，现已测得 AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从 C 处出发，沿公路边向右行
走，速度为 2.5km/h，问：多长时间后这个人距 B 送奶站最近？
20．（10 分）如图，点 O 为等边三角形 ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，以 OB 为一边作∠OBM＝
60°，且 BO＝BM，连接 CM，OM.
(1)判断 AO 与 CM 的大小关系并证明；
(2)若 OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC 的形状并证明．
参考答案
1．A
【解析】∵AB2+AC2=BC2，∴∠A=90°.
故选 A.
2．D
【解析】在直角三角形中，AB= =8,
所以 S= .故选 D.
3．C
【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，
∴CD=DE，
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
由勾股定理得，AB= =10，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设 CD=DE=x，则 BD=8-x，
在 Rt△BDE 中，DE2+BE2=BD2，
x2+42=（8-x）2，
解得 x=3，
即 CD 的长为 3．
故选 C.
4．B
【解析】∵△ABC 中，∠A ∠B= ∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
AD AD
CD DE
＝
＝
2 2AC BC+
= 1
2
1
3
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，
∴∠B=60°，∠C=90°，
设 BC= ，则 AB= ，由勾股定理可得：AC= ，
∴△ABC 的三边之比为：BC:AC:AB= .
故选 B.
5．D
【解析】如图，
∵ ， ， ，
∴所有正方形的面积之和
= = =
=507（cm2）．
故选 D．
6．C
【解析】∵展开后由勾股定理得：AB2=12+（1+1）2=5，
∴AB= ，
故选 C．
7．D
【解析】当 4 是斜边时，由勾股定理得第三边为 ；
当第三边是斜边时，由勾股定理得第三边为 .
故选 D.
8．A．
【解析】如图所示．
x 2x 3x
1: 3 : 2
2A BS S S+ = 3C DS S S+ = 2 3 1S S S+ =
1 2 3A B C DS S S S S S S+ + + + + + 1 2 32 2S S S+ + 2
13 3 13S = ×
5
2 24 3 7− =
2 23 4 5+ =
∵正方形 ABCD 的边长为 2，△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，
由此可得 Sn=（ ）n﹣3．
当 n=9 时，S9=（ ）9﹣3=（ ）6，
故选 A．
9．1
【解析】作 CD⊥AB，
∵∠A=30°，AC= ，
∴CD= ，
∵∠B=45°，
∴BD=CD= ，
∴BC= =1.
故答案为 1.
10．5cm
【解析】如图，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
由题意可知：△ACD 中，AC=12，CD=16，∠ACD=90°，
∴AD= ，
∴玻璃棒露在容器外面部分最短为： （cm）.
故答案为： .
11．7
【解析】∵AC=13，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴BC=13，∠BEC=∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△BCE≌△CAD，
∴CD=BE=5，
∵在△BCE 中，∠BEC=90°，BC=13，BE=5，
∴CE= ，
∴DE=CE-CD=12-5=7.
故答案为：7.
12．30
【解析】因为 ,
根据非负数的非负性质可得: , , ,
解得 a=5,b=12,c=13,
因为 ,
所以 ,
根据勾股定理逆定理可得: △ABC 是直角三角形,
所以△ABC 的面积等于 ,
故答案为:30.
13．0.5
【解析】结合题意可知 AB=DE=2.5 米，BC=1.5 米，BD=0.5 米，∠C=90°，
∴AC= = =2（米）.
2 216 12 20+ =
25 20=5−
5
2 213 5 12− =
( )25 12 13 0a b c− + − + − =
5 0a − = 12 0b − = 13 0c − =
2 2 25 12 25 144 169 13+ = + = =
2 2 2a b c+ =
1 1 5 12 302 2a b× × = × × =
∵BD=0.5 米，
∴CD=2 米，
∴CE= = =1.5（米），
∴AE=AC-EC=0.5（米）．
故答案为：0.5.
14．
【解析】由勾股定理，得
斜线的为 = ，
由圆的性质，得
点表示的数为 ，
故答案为： .
15．12 米.
【解析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即
可．
解：设旗杆的高度为 x 米，则绳子的长度为（x+1）米，
由勾股定理，得 x2+52=（x+1）2
解得 x=12
答：旗杆的高度为 12 米．
16．四边形 ABCD 的面积是 6.
【解析】连接 BD，根据勾股定理可计算出 BD 的长度，再由勾股定理逆定理可判断出△ABD 为直角
三角形，分别计算出△ABD 和△BCD 的面积，求和即可.
解：连接 BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD 为直角三角形，
∴BD2=BC2+CD2=22+12=（ ）2，BD＞0，
∴BD= ，
在△ABD 中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD 为直角三角形，且∠ABD=90°，
5
5
∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD= ×2 × + ×2×1=6．
∴四边形 ABCD 的面积是 6.
17．见解析
【解析】移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知 a、b、c，利用勾股定理
的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
解：由已知可得 a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,
配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.
∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.
∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.
解得 a=5,b=12,c=13.
又∵a2+b2=169=c2,
∴△ABC 是直角三角形.
18．见解析
【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出 AC 长，再利用勾股定理的逆定理证明
可得 是直角三角形．
证明：
∴△ACD 是直角三角形.
19．3h.
【解析】首先根据勾股定理逆定可证明△ABC 是直角三角形，然后计算出∠BCD 的度数，再根据直角
三角形的性质算出 DC 的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离 B 送奶站最近．
解：过 B 作 BD⊥公路于 D．
∵82+152=172，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°．
∵∠1=30°，
∴∠BCD=180°-90°-30°=60°．
1
2 5 5 1
2
90DAC∠ = °，
ACD
15, 9, 90AB BC ACB= = ∠ = ，
2 215 9 12AC∴ = − = ，
2 2 25 12 13+ = ，
2 2 2AD AC CD∴ + = ，
90DAC∴∠ = ，
在 Rt△BCD 中，
∵∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴CD= BC= ×15=7.5（km）．
∵7.5÷2.5=3（h），
∴3 小时后这人距离 B 送奶站最近．
20．(1)AO＝CM (2)△OMC 是直角三角形
【解析】（1）先证明△OBM 是等边三角形，得出 OM=OB，∠ABC=∠OBC，由 SAS 证明△AOB≌△CMB，
即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
解：（1）AO=CM．理由如下：
∵∠OBM=60°，OB=BM，
∴△OBM 是等边三角形，
∴OM=OB=10，∠ABC=∠OBC=60°，
∴∠ABO=∠CBM．
在△AOB 和△CMB 中，
∵OB=OM，∠ABO=∠CBM，AB=BC，
∴△AOB≌△CMB（SAS），
∴OA=MC；
（2）△OMC 是直角三角形；理由如下：
在△OMC 中，OM2=100，OC2+CM2=62+82=100，
∴OM2=OC2+CM2，
∴△OMC 是直角三角形．
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