资料简介
2020 年开学摸底考八年级数学（苏教版）
A 卷
一．选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1．下图中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面”；②“从一副普通扑克
牌中任意抽取一张，点数一定是 3”（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
【解答】掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，可能是反面，所以①正确；
从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数不一定是 3，所以②错误，
故选：A．
3．下面给出四边形 ABCD 中∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比，其中能判定四边形 ABCD
是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
【解答】根据平行四边形的两组对角分别相等，可知 D 正确．故选：D．
4．向一个半径为 2 的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的
内接正方形中的概率是（ ）
A．
2
2 B．휋
2 C．
2
휋 D．2
휋
【解答】∵半径为 2 的圆内接正方形边长为 2 2，
∴圆的面积为 4π，正方形的面积为 8，
则石子落在此圆的内接正方形中的概率是 8
4휋 =
2
휋，
故选：D．
5．如果把分式푥 + 푦
푥푦 中的 x、y 同时扩大为原来的 2 倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的 2 倍
C．缩小为原来的1
2 D．缩小为原来的1
4
【解答】因为分式푥 + 푦
푥푦 中，x、y 都扩大 2 得到 푥 + 푦
2푥 ⋅ 2푦，
而 푥 + 푦
2푥 ⋅ 2푦 =
1
2•푥 + 푦
2푥푦
所以分式푥 + 푦
푥푦 中，x、y 都扩大 2 倍，分式的值缩小为原来的1
2．
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是菱形
D．有一组邻边相等并且有一个角是直角的四边形是正方形
【解答】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故正确；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
D、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故错误；
故选：A．
7．赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每
天要多读 21 页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半
时，平均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．140
푥 +
140
푥 ― 21 = 14 B．280
푥 +
280
푥 + 21 = 14
C．140
푥 +
140
푥 + 21 = 14 D．10
푥 +
10
푥 + 21 = 1
【解答】读前一半用的时间为：140
푥 ，
读后一半用的时间为： 140
푥 + 21．
由题意得，140
푥 +
140
푥 + 21 = 14，
故选：C．
8．如图，已知 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，∠AOB＝60°，作 DE∥AC，CE∥BD，
DE、CE 相交于点 E．四边形 OCED 的周长是 20，则 BC＝（ ）
A．5 B．5 3 C．10 D．10 3
【解答】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形 OCED 是菱形；
∵四边形 OCED 的周长是 20，
∴CO＝DO＝5，
∴BD＝10，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，
∴BC = 102 ― 52 = 5 3．
故选：B．
二．填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
9．当 x ≠ 1
2 时，分式 푥 + 1
2푥 ― 1有意义．
【解答】由题意得：2x﹣1≠0，
解得：x ≠ 1
2，
故答案为： ≠ 1
2．
10．分式1
푥， 1
2푥， 1
3푥的最简公分母是 6x ．
【解答】分式1
푥， 1
2푥， 1
3푥的最简公分母是 6x．
故答案为 6x．11．如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，EF＝3cm，则 AD＝ 6 cm．
【解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵点 E、F 分别是 BD、CD 的中点，
∴EF = 1
2BC，即 3 = 1
2BC，
∴BC＝6，
∴AD＝6．
故答案为：6．
12．如图，△ABC 为等边三角形，D 是 BC 边上的一点，△ABD 经过旋转 n°（0＜n＜360）
后到达△ACE 的位置，则旋转角度是 60°或 300° ．
【解答】因为正三角形的内角为 60°，旋转中心是点 A，旋转角为 0＜n＜360，若逆时
针旋转，则旋转角为 60°，若顺时针旋转，则旋转角度为 300°，
故答案为：60°或 300°
13．某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，
各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为
1
2 ．【解答】小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的概率 10%+15%+25%＝50% = 1
2，
故答案为1
2．
14 ． 若 矩 形 两 条 对 角 线 的 夹 角 是 60 ° ， 且 较 短 的 边 长 为 3 ， 则 这 个 矩 形 的 面 积 为
9 3 ．
【解答】如图所示：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC = 1
2AC，OB＝OD = 1
2BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝AB＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴BC = 퐴퐶2 ― 퐴퐵2 = 3 3
∴矩形 ABCD 的面积＝AB•BC＝9 3
故答案为：9 315．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠CDA＝120°，则对角线 AC 的长为 2 3 ．
【解答】连接 BD 交 AC 于 O，如图，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，AD＝AB＝2，
∴∠CDA＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ADB 为等边三角形，
∴OA =
3
2 AB = 3，
∴AC＝2OA＝2 3．
故答案为：2 3．
16．已知푎
푏 =
4
3，那么푎 ― 푏
푏 = 1
3 ．
【解答】∵푎
푏 =
4
3，
∴a = 4
3b，
∴原式 =
4
3푏 ― 푏
푏 =
1
3．
故答案为1
3．17．某种衣服售价为 m 元时，每天的销量为 n 件，经调研发现：每降价 1 元可多卖 5 件，
那么降价 x 元后，一天的销售额是 （m﹣x）（n+5x） 元．
【解答】由题意可知，每件衣服降价 x 元后，售价为（m﹣x）元，每天的销量为（n+5x）
件，
根据销售额＝售价×销量，可得销售额为：（m﹣x）（n+5x）元．
故答案为：（m﹣x）（n+5x）．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，交
AD 于 F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF，②AE＝BD，③AG＝CE，④AB+FG
＝BC，其中正确的结论有 ①③④ （填序号）．
【解答】∵BE 平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABF，
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，故①正确，
∵FG∥BC，FH∥AC，
∴四边形 FGCH 是平行四边形，
∴FH＝CG，FG＝CH，∠BHF＝∠C，∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠BHF，
在△FBA 和△FBH 中，{∠BAF = ∠BHF
∠퐹퐵퐴 = ∠퐹퐵퐻
퐵퐹 = 퐵퐹
，
∴△FBA≌△FBH（AAS），
∴FA＝FH，故 AB＝BH，AE＝FH，②不正确，
∵AF＝AE，FH＝CG，
∴AG＝CE，故③正确，
∵BC＝BH+HC，BH＝BA，CH＝FG，
∴BC＝AB+FG，故④正确．
故答案为：①③④．
三．解答题（本大题共 8 小题，共 84 分）
19．计算：푎 + 1
푎 ― 3 ―
푎 ― 3
푎 + 2 ÷
푎2 ― 6푎 + 9
푎2 ― 4
【解答】原式 = 푎 + 1
푎 ― 3 ―
푎 ― 3
푎 + 2•(푎 + 2)(푎 ― 2)
(푎 ― 3)2
= 푎 + 1
푎 ― 3 ―
푎 ― 2
푎 ― 3
= 3
푎 ― 3．
20．解方程：
（1） 2
푥 ― 1 =
5
푥2 ― 1
；（2） 푥
푥 ― 2 ―1 =
8
푥2 ― 4
【解答】（1）方程的两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）＝5
∴x = 3
2检验：当 x = 3
2时，（x+1）（x﹣1） = 5
2•1
2 =
5
4 ≠ 0，
∴原方程的解为：x = 3
2．
（2）方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
整理，得 2x＝4
∴x＝2
检验：当 x＝2 时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原方程无解．
21．随机掷一枚图钉，落地后只能出现两种情况：“钉尖朝上”和“钉尖朝下”．这两种情
况的可能性一样大吗？
（1）求真小组的同学们进行了实验，并将实验数据汇总填入下表．请补全表格：
① 0.625 ，② 0.6 ，③ 0.62
试验总次数 n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
“钉尖朝上”的次数 m 4 12 32 60 100 140 156 196 200 216 248
“钉尖朝上”的频率 0.2 0.3 0.4 0.5 0.625 0.7 0.65 0.7 ① ② ③
（2）为了加大试验的次数，老师用计算机进行了模拟试验，将试验数据制成如图所示的
折线图．据此，同学们得出三个推断：
①当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖朝上”的次数是 308，所以“钉尖朝上”的
概率是 0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖朝上”的频率在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，
据此估计“钉尖朝上”的概率是 0.618；
③若再次用计算机模拟实验，当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的次数一定是 620
次．
其中合理的是 ② ．
（3）向善小组的同学们也做了 1000 次掷图钉的试验，其中 640 次“钉尖朝上”．据此，
他们认为“钉尖朝上”的可能性比“钉尖朝下”的可能性大．你赞成他们的说法吗？请
说出你的理由．
【解答】（1）①的频率为200
320 = 0.625、②的频率为216
360 = 0.6、③的频率为248
400 = 0.62，
故答案为：0.625、0.6、0.62；
（2）合理的是②．
①项，当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖朝上”的次数是 308，所以“钉尖朝上”
的频率是 0.616，不能得其概率．故①项不符合题意．
②项，从图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖朝上”的频率在 0.618 附近摆动，显示
出一定的稳定性，据此估计“钉尖朝上”的概率是 0.618．故②项符合题意．
③项，由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的频率是
0.62，由此可得当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的频率在 0.62 左右，但不代表还
是 0.62，每次试验都具有偶然性，故③项不符合题意．
故答案为：②；
（3）赞成．
理由：随机投掷一枚图钉 1000 次，其中“针尖朝上”的次数为 640 次，“针尖朝上”的频率为 0.64，
试验次数足够大，足以说明“钉尖朝上”的可能性大，赞成他们的说法．
22．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于点 O，AD＝BD，∠ADB＝∠
EDC，DE＝DC．
（1）求证：△ADE≌△BDC；
（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；
（3）若 OB＝OE，求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠BDC，
在△ADE 和△BDC 中，{AD = BD
∠퐴퐷퐸 = ∠퐵퐷퐶
퐷퐸 = 퐷퐶
，
∴△ADE≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ADE≌△BDC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AEB＝36°，
∴∠AED＝∠DEC＝∠C = 1
2（180°﹣36°）＝72°，
∴∠EDC＝1880°﹣2×72°＝36°；
（3）证明：∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DAE，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠OBE，
∴∠ADB＝∠DAE，
∴OA＝OD，
∴AE＝BD，
∵AD＝BD，
∴AE＝AD，
∵△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
23．如图，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB＝90°，若 AB＝5cm，BC＝
8cm，求 EF 的长．
【解答】∵DE 为△ABC 的中位线，BC＝8cm，
∴DE = 1
2BC＝4cm，
∵∠AFB＝90°，D 为 AB 的中点，
∴DF = 1
2AB＝2.5cm，∴EF＝DE﹣DF＝1.5cm．
24．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行
“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 A：月销售件数 200 件，月总收入 3400 元；
营业员 B：月销售件数 300 件，月总收入 3700 元；
假设营业员的月基本工资为 x 元，销售每件服装奖动 y 元．
（1）求 x、y 的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装 3 件，乙服装 2
件，丙服装 1 件共需 390 元；如果购买甲服装 1 件，乙服装 2 件，丙服装 3 件共需 370
元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【解答】（1）根据题意得：{x + 200y = 3400
푥 + 300푦 = 3700 ，
解得：{x = 2800
푦 = 3 ．
（2）设购买一件甲服装需要 a 元，购买一件乙服装需要 b 元，购买一件丙服装需要 c 元，
根据题意得：{3a + 2b + c = 390①
푎 + 2푏 + 3푐 = 370② ，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需 190 元．
25．如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点，PO 的延长线交 BC
于 Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若 AD＝8 厘米，AB＝6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与
D 重合）．设点 P 运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形．并求此时菱形
PBQD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形
∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO，
又∵O 为 BD 的中点，
∴OB＝OD，
在△POD 与△QOB 中，
{∠PDO = ∠QBO
푂퐵 = 푂퐷
∠푃푂퐷 = ∠푄푂퐵
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）依题意得 PD＝8﹣t，
∵OB＝OD，OP＝OQ
∴四边形 PBQD 是平行四边形
∴PD＝BP＝8﹣t 时，四边形 PBQD 是菱形，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝90°，
在 Rt△ABP 中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，即 62+t2＝（8﹣t）2，解得：t = 7
4，
即运动时间为7
4秒时，四边形 PBQD 是菱形．
此时 PD = 25
4 ，S 菱形 BEDF＝PD•AB = 25
4 × 6 = 75
2 ．
26．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题
如图 1，△ABC≌△ADE，其中
∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点 C 与点 E 重合，
操作探究 1
（1）小凡将图 1 中的两个全等的△ABC 和△ADE 按图 2 方式摆放，点 B 落在 AE 上，CB
所在直线交 DE 所在直线于点 M，连结 AM，求证：BM＝DM．
操作探究 2
（2）小彬将图 1 中的△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转角度 a（0°＜a＜90°），然后，
分别延长 BC，DE，它们相交于点 F．
如图 3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①a＝30°时，求证：△CEF 为等边三角形；
②当 a＝ 45° 时，AC∥FE．（直接回答即可）
操作探究 3
（3）小颖将图 1 中的△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转角度 β（0°＜β＜90°），线段 BC
和 DE 相交于点 F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图 4，当 β＝60°时，直接写出线段 CE 的长为 2 2 ；
②如图 5，当旋转到点 F 是边 DE 的中点时，直接写出线段 CE 的长为 4 5
5 ．
【解答】（1）证明：如图 2 中，
∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），
∴BM＝DM．
（2）①证明：如图 3 中，
∵CA＝AE，∠CAE＝30°，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°
∴∠ACB＝∠AED＝45°，
∴∠BCE＝∠CDE＝120°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴△EFC 是等边三角形．
②∵AC∥EF，
∴∠CAE＝∠AED＝45°，
∴当 α＝45°时，AC∥EF．
故答案为 45°．
（3）①如图 4 中，连接 EC．
∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，
∴△AEC 是等边三角形，
∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE = 퐴퐷2 + 퐷퐸2 = 22 + 22 = 2 2，
∴EC＝AE＝2 2．
故答案为 2 2．
②如图 5 中，连接 AF，BD 交于点 O．
∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF，
∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1，
∵BC＝2，∴BF＝CF＝1，
∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，
∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD．
∵AB＝AD，FB＝FD，
∴AF 垂直平分线段 BD，
∴OB＝OD，
在 Rt△ABF 中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1，
∴AF = 퐴퐵2 + 퐵퐹2 = 22 + 12 = 5，
∵S△ABF = 1
2•AB•BF = 1
2•OB•AF，∴OB = 퐴퐵 ⋅ 퐵퐹
퐴퐹 =
2 5
5 ，
∴BD＝2OB = 4 5
5 ，
∴EC＝BD = 4 5
5 ．
故答案为4 5
5 ．
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