资料简介
2020 年八年级数学开学摸底考试卷（北师大版 A 卷）
一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计 18 分）
1.下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若 am>bm，则 a>b B．若 am2>bm2，则 a>b
C．若 a>b，则 am2>bm2 D．若 a>b 且 ab>0，则
【答案】B
2.如图，△ABC 中，AC=AD=BD,∠DAC=80°，则∠B 的度数是（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【答案】B
3.如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD 的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
4.如图，等腰△ABC 中，AB=AC,∠A=36°．用尺规作图作出线段 BD，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=BD B．∠DBC=36°
ba
11 >C．S△ABD=S△BCD D．△ABC 的周长=AB+BC
【答案】C
5.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则△
CDE 的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
【答案】C
6. 若不等式组 无解，那么 m 的取值范围是 ( )
A．m>2 B．m0 时，则 x 的取值范围为________．
<
−1
9.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则∠CBE
的度数为________°．
【答案】30
10.在如图所示的方格纸（1 格长为 1 个单位长度）中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点 O 按顺时
针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________．
【答案】90°
11. 如 图 ， 将 矩 形 ABCD 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90 ° 后 ， 得 到 矩 形 AB'C'D' ， 如 果 CD=3DA=3 ， 那 么
CC'=________．
【答案】
12.对于 x，符号[x]表示不大于 x 的最大整数．如：[3.14]=3,[-7.59]=-8，则满足关系式 的 x 的整
数值有 .
【答案】7,8,9.
三、解答题（本题共计 11 小题，共计 84 分）
52
47
73 =
+x13.（6 分）解下列不等式组 ；并把解集在数轴上表示．
【答案】
解：{2x + 7 > 1 - x…
6 - 3(1 - x) > 5x…，
由①得：x > -2
由②得：x < 3
2
∴不等式的解是 -2 < x < 3
2．
数轴表示正确
14.（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AE⊥AB 于 A，∠BAC=120°，AE=3cm．求 BC 的长．
【答案】
解：过点A作AF ⊥ BC交BC于F，
∵AB = AC，∠BAC = 120∘，
∴∠B = ∠C = 30∘，BC = 2BF.
在Rt △ BAE中，
>−−
−>+
xx
xx
5)1(36
172BE = 2AE = 6cm，AB = BE2 - AE2 = 62 - 32 = 3 3.
在Rt △ AFB中，
AF = 1
2AB = 3 3
2 ，
BF = AB2 - AF2 = (3 3)2 - (3 3
2 )2 = 9
2.
∴BC = 2BF = 2 × 9
2 = 9．
15.（6 分）某批服装进价为每件 200 元，商店标价为每件 300 元．现商店准备将这批服装打折出售，但要
保证毛利润不低于 8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答）
【答案】商店最低可按标价的7.2折出售
16.(6 分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ ABC的三个顶点分别是A( - 4, 2)，B(0, 4)，C(0, 2).
(1)画出 △ ABC关于点C成中心对称的 △ A1B1C；平移 △ ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0, - 4)，画
出平移后对应的 △ A2B2C2；
(2) △ A1B1C和 △ A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．
【答案】(1)根据网格结构找出点A，B关于点C成中心对称的点A1，B1的位置，再与点A顺次连接即可；
根据网格结构找出点A，B，C平移后的对应点A2，B2，C2的位置，然后顺次连接即可；
如图所示；(2)(2, - 1)
17.（6 分）已知：如图， △ ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于
点D、E，且DE // BC．若AB = 6cm，AC = 8cm，求 △ ADE的周长.
【答案】
解：∵DE // BC
∴∠DOB = ∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO = ∠OBC，
∴∠DBO = ∠DOB，
∴BD = OD，
同理：OE = EC，
∴ △ ADE的周长 = AD + OD + OE + AE
= AD + BD + AE + EC = AB + AC = 14cm．
18.（8 分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组{x + y = 2m + 1
2x - y = m - 4 的解满足x < 0且y > 0？若存
在，求出整数m；若不存在，请说明理由．
【答案】解方程组{x + y = 2m + 1
2x - y = m - 4 得：{x = m - 1
y = m + 2 ，
根据题意，得：{m - 1 < 0
m + 2 > 0 ，解得： -2 < m < 1，
则整数m为 -1，0．
19.(8 分)某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品3件和B种商品4件共需220元；若购进A种商品5件和B
种商品2件共需250元．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若每件A种商品售价48元，每件B种商品售价31元，且商店将购进A、B两种商品共50件全部售出后，要
获得的利润不少于360元，问A种商品至少购进多少件？
【答案】
(1)A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元
(2)A种商品至少购进30件
20.(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边△BDE，
连结 AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB;
（2）若 BC= ，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）证明：在Rt △ ABC中，∠BAC = 30∘，E为AB边的中点，
∴BC = EA，∠ABC = 60∘．
∵ △ DEB为等边三角形，
∴DB = DE，∠DEB = ∠DBE = 60∘，
3∴∠DEA = 120∘，∠DBC = 120∘，
∴∠DEA = ∠DBC，
∴ △ ADE≅ △ CDB(SAS)．
（2）解：如解图，作点E关于直线AC对称点E'，连结BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点，连结AE'．
由作图可知：EH + BH = BE'，AE' = AE，∠E'AC = ∠BAC = 30∘．
∴∠EAE' = 60∘，∴ △ EAE'为等边三角形，
∴EE' = EA = 1
2AB，∴∠AE'B = 90∘，
在Rt △ ABC中，∠BAC = 30∘，BC = 3，
∴AB = 2 3，AE' = AE = 3，
∴在Rt △ ABE'中，由勾股定理得BE' = AB2 - AE'2 = 3，
∴BH + EH的最小值为3．
21. (9 分)如图在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
（1）若 △ ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点 C1 坐标为(4,0)，画出△A1B1C1 并写出顶点 A1,B1 的坐标；
（2）将△ABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
（3）求出△A2B2C2 的面积.【答案】(1)如图所示， △ A1B1C1即为所求，其中A1的坐标为(2, 2)，B1的坐标为(3, - 2)．
(2)如图所示， △ A2B2C2即为所求．
(3) △ A2B2C2的面积＝2 × 4 - 1
2 × 2 × 2 - 1
2 × 1 × 2 - 1
2 × 1 × 4＝3．
22.(9 分)某甜品店用 A,B 两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如表所
示．该店制作甲款甜品 x 份，乙款甜品 y 份，共用去 A 原料 2000 克．
原料款式 A 原料（克） B 原料（克）
甲款甜品 30 15
乙款甜品 10 20
（1）求 y 关于 x 的函数表达式．
（2）已知每份甲甜品的利润为 a 元（a 正整数），每份乙甜品的利润为 2 元．假设两款甜品均能全部卖
出．
①当 a=3 时，若获得总利润不少于 220 元，则至少要用去 B 原料多少克？
②现有 B 原料 3100 克，要使获利为 450 元且尽量不浪费原材料，甲甜品的每份利润应定为多少元？
【答案】(1)由题可得，30x +10y＝2000，即y＝200 - 3x故y关于x的函数表达式为y＝200 - 3x
(2)①由题意：3x +2y ≥ 220，
而由（1）可知3x＝200 - y代入可得：200 - y +2y ≥ 220
∴y ≥ 20
设B原料的用量为w，则w＝15x +20y，即w＝15y +1000
∵k＝15，w随y的增大而增大
∴当y取最小值20时，可得w的最小值为15 × 20 + 1000＝1300
故若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料1300克．
②由题意：15x +20y ≤ 3100
即：15x +20(200 - 3x) ≤ 3100，解得x ≥ 20
又∵ax +2y＝450
即：ax +2(200 - 3x)＝450，a＝6 + 50
x ，
而a，x均为正整数且x ≥ 20，
于是可得x＝50，a＝7或x＝25，a＝8
当x＝50时，需要B原料1750；
当x＝25时，需要B原料2875，为了尽量不浪费原材料，a应取8．
故在设定条件下，甲甜品的每份利润应定为8元．
23. (12 分)如图（1），在等边△ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,AC 上，AD=AE，连结 BE,CD，点 M,N,P 分别
是 BE,CD,BC 的中点，连结 DE,PM,PN,MN.（1）观察猜想
图（1）中△PMN 是________（填特殊三角形的名称）．
（2）探究证明
如图（2），△ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，则△PMN 的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．
（3）拓展延伸
若△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，AD=1,AB=3,请直接写出△PMN 的周长的最大值．
【答案】
（1）等边三角形
解：（2） △ PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：
连结BD，CE．
由旋转可得∠BAD = ∠CAE，
∵ △ ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠ACB = ∠ABC = 60，
又∵AD = AE，
∴ △ ABD≅ △ ACE，
∴BD = CE，∠ABD = ∠ACE．
∵M是BE的中点，P是BC的中点，
∴PM是 △ BCE的中位线，
∴PM = 1
2CE，且PM//CE．
同理可证PN = 1
2BD且PN//BD，
∴PM = PN，∠MPB = ∠ECB，∠NPC = ∠DBC，∴∠MPB +∠NPC = ∠ECB +∠DBC = (∠ACB +∠ACE) + (∠ABC -∠ABD) = ∠ACB +∠ABC = 120，
∴∠MPN = 60，
∴ △ PMN是等边三角形．
（3） △ PMN的周长的最大值为6．
解法提示：易证在 △ ADE的旋转的过程中， △ PMN恒为等边三角形．
如图，当点E，A，C在同一线上，且点A在EC上时， △ PMN的周长最大，
易知此时点D，A，B在同一直线上．
∵点M，P分布为BE，BC的中点，
∴MP = 1
2EC = 1
2(1 + 3) = 2，
故 △ PMN周长的最大值为2 × 3 = 6．
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