资料简介
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点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及
圆与圆的位置关系
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以
后，恐怕会吃不消的。”
“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”
另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻
松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。
成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。
例 1． 如图， AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=25°，则∠
C 的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
例 2.如图，△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C、D 两点，且经过圆心 O，边 AB 与⊙O 相切，切点
为 B．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（ ）天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A．30° B．45° C．60° D．40°
例 3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为（﹣3，0），将⊙
P 沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为（ ）
（第 1 题图）
A．1 B．1 或 5 C．3 D．5
例 4． 如图，P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为 C，点 D 是⊙上一
点，连接 PD．已知 PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
1.已知 Rt△ABC, ∠C=90°,以 A 为圆心,AC 为半径作圆,则 B 在⊙A ;
2.以 C 为圆心,AB 的一半作圆,则 AB 的中点⊙C ;
3.以为 AB 直径作圆, 点 C 在圆 ;⊙C ;天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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4.在 中， 以点 C 为圆心,以 r=3 为半径作圆，判断 A、B
两点和 的位置关系.
5.在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 为半径的圆 与 轴 ，与 轴 ，
点 与 的位置关系是
6. 已知正△ABC,AO⊥BC, ⊙O 切 AB 为 D,求证: AC 为⊙O 切线.
7. 已知点 A 在⊙E 上,BD 为直径 C 在 BD 的延长线上,AB=AC, ∠C=30°,求证 AC 为⊙E 切线.
8. 已知点 A 在⊙E 上,∠D=∠B =30°,求证 AD 为⊙E 切线.
9. 已知 AB=BC,AC 交⊙O 与 D,AB 为直径, DE⊥CB 为在⊙E 上,求证 DE 为⊙O 切线.
10. 已知 AB 是⊙O 的直径, BC 为⊙O 的切线,AC 交⊙O 于 D, E 是 BC 的中点,求证 DE 为⊙O 切
线.
11.在△ABC 中，∠C=90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的⊙O 经过
点 D. 求证： BC 是⊙O 切线；
12. 如图， 、 、 都是 的切线， ， ，则 的度
数为 ， 周长为
13．如图， ， 切 于 ， 两点，若 ， 的半径为 ，则阴影部
分的面积为
P
E O
D
B
A
ABC 90 , 4, 5,C AC AB∠ = ° = =
o
( )2,3 2 A x y
( )1,4B A
PA PB DE O 8PA cm= 50APB∠ = DOE∠
PDE∆
PA PB O A B 60APB = ∠ O 3天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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14.若⊙C 与 AB 相切,AC= ,CB= ,则⊙C 的半径为 ;
15.设⊙P 的半径为 4cm，直线 m 上一点 A 到圆心的距离为 4cm，则直线 m 与⊙P 的位置关系
是 ( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
16. 如图 6，∠ABC=900，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心， BO 为半径作圆 O。当射线 BA
绕点 B 按顺时针方向旋转一定的角度后与⊙O 相切，则旋转的度数（小于 1800）为
A、300 B、600 C、300 或 1200 D、600 或 1200
17．已知圆⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 1 和 3，且圆⊙O1 和⊙O2 外切，则在平面上，半径为 4
且与圆⊙O1 和⊙O2 的都相切的圆有( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
18.如图，已知以直角梯形 的腰 为直径的半圆 与梯形上底 、下底 以及
腰 均相切，切点分别是 ．若半圆 的半径为 2，梯形的腰 为 5，则该梯
形的周长是( )
A． B．10 C．12 D．14
19.以正方形 的 边为直径作半圆 ，过点 作直线切半圆于点 ，交 边于
点 ，则三角形 和直角梯形 周长之比为 ( )
A． B． C． D．
A
P
B
O
2 1 0
2
1
ABCD CD O AD BC
AB D C E， ， O AB
9
A D
C
O
B
E
ABCD BC O D F AB
E ADE EBCD
3:4 4:5 5:6 6:7
A D
CB O
E
F天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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20.如图，PA、PB 分别与⊙O 相切，切点分别为 A、B，PA =3，∠P=60°，若 AC 为⊙O 的直
径，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
21. 已知⊙ 的半径为 2cm，⊙ 的半径为 4cm，圆心距 为 3cm，则⊙ 与⊙ 的
位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
22.两圆只有一个交点,r1=3, d=7,则 r2= ;
23.两圆内切, r1=3, d=1, 则 r2= ;
24.两圆的半径分别为方程 的两根,当 d=9 时,两圆位置关系为 ;
当 d=1 时,两圆位置关系为 ;当 时,两圆相交.
25. 如图，在图中有多种两圆位置关系，请你写出一种图中还没有给出的两圆位置关
系: .
26. 平面直角坐标系中，半径为 1 的圆的圆心在原点，半径为 3 的圆的圆心是（- ，
1），则这两圆位置关系是（ ）.
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
27. 如图，在 12×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单位)，⊙A 的半径为 1，⊙B
的半径为 2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移______个单
位．
28. 已知：如图，⊙O1 与⊙O2 外切于 A 点，直线 l 与⊙O1、⊙O2 分别切于 B，C 点，若⊙O1 的半
径 r1=2cm，⊙O2 的半径 r2=3cm．求 BC 的长．
29. 已知：相交两圆的公共弦的长为 6cm，两圆的半径分别为 ， ，求这两个圆
2
π 3
6
π 3
3
π π
1O 2O 1O 2O 1O 2O
01072 =+− xx
3
cm23 cm5天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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的圆心距．
30．如图，工地放置的三根外径是 1m 的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离．
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及
圆与圆的位置关系
例 1． 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=25°，则∠
C 的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
考点： 切线的性质．
分析： 连接 OA，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数．
解答： 解：如图，连接 OA，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连
接圆心与切点．
例 2.如图，△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C、D 两点，且经过圆心 O，边 AB 与⊙O 相切，切点
为 B．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．40°
考点： 切线的性质
专题： 计算题．
分析： 根据切线的性质由 AB 与⊙O 相切得到 OB⊥AB，则∠ABO=90°，
利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=
∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C= AOB=30°．
解答： 解：连结 OB，如图，
∵AB 与⊙O 相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C= AOB=30°．
故选 A．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
例 3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为（﹣3，0），将⊙
P 沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为（ ）
（第 1 题图）
A． 1 B． 1 或 5 C． 3 D． 5
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析：平移分在 y 轴的左侧和 y 轴的右侧两种情况写出答案即可．
解答：解：当⊙P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 1；
当⊙P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 5．
故选 B．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
例 4． 如图，P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为 C，点 D 是⊙上一
点，连接 PD．已知 PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
分析： （1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可
得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出 CO=PO=AB；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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（4）利用四边形 PCBD 是菱形，∠CPO=30°，则 DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即
可．
解：（1）连接 CO，DO，
∵PC 与⊙O 相切，切点为 C，∴∠PCO=90°，
在△PCO 和△PDO 中， ，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD 与⊙O 相切，故此选项正确；
（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB 和△DPB 中， ，∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形 PCBD 是菱形，故此选项正确；
（3）连接 AC，
∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，
在△PCO 和△BCA 中， ，∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，
∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；
（4）∵四边形 PCBD 是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．
点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与
性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
1. 外
2. 相交
3.上;SAE
4.65°;16CM 提示：过 O 做 OF 垂直于 DE 于 F
13.
14. 4(P.S:添加条件--半径为 1，求 AB)
15. D
16. D
17. D
18. D
19. D
20. A
21. C
22. 4 或 10
23. 2 或 4
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24. 外离；内含；3＜d＜7
25. 外离(内含)
26. B
27. 2 或 4 或 6 或 8
28. (如图)
29. 7cm 或 1cm(如图)
或
30. ( )m(如图)
2 6
31 2
+
D
CB
A
O2
O1
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