资料简介
第 3 讲 平行线的构造模型及综合
命题：
例：如图，有下列三个条件：①DE∥BC:②∠1=∠2；③∠B=∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请
你都写出来；
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程。
平移：
1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型如图 1 所示,那么他们用的铁丝( )
A、一样多 B、小明的多 C、小华的多 D、不能确定
2.如图，第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第 2 个，第 3 个图案可以看作是第 1 个
图案经过平移而得，那么第 4 个图案中有白色六边形地面砖______块，第 n 个图案中有白色地面砖
__________ 块．
3.如图，将 Rt△ABC 沿 AB 方向平移得到 Rt△DEF，已知 BE=6，EF=8，CG=3，求阴影部分的面积。
探究：夹在平行线间的折线问题，平行线的构造：“铅笔”型，“M”型，过拐点作已知直线的平行线。
例 1．已知：如图，AC∥BD，折线 AMB 夹在两条平行线间． 判断∠M，∠A，∠B 的关系；
(1) (2)
例 2.如图所示,已知 AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC 与∠PAB﹑∠PCD 的关系,请你从所得关系
中任意选取一个加以说明。
(1) (2)
练习：1.如图 1 所示，将含有 30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若
∠1=35°，则∠2 的度数为 ．
2.如图 2 所示是汽车灯的剖面图,从位于 O 点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线 BA,CD 都是水平线,
若∠ABO=α,∠DCO=60∘,则∠BOC 的度数为（ ）
A.180∘−α B. 120∘−α C. 60°+α D. 60∘−α
3.如图 3，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC 的度数为__________°．
图 1 图 2 图 3
例 3：如图 3-1，已知：AB∥CD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 OE⊥OF．
（1）求证：∠1＋∠2＝90°；
（2）如图 3-2，分别在 OE，CD 上取点 G，H，使 FO 平分∠CFG，EO 平分∠AEH，求证：FG∥EH．
例 4：如图 4，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4 的度数是 度．
例 5：如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF:
E
DC
BA
4
3
2
1
b
a
图 4
H
G
A B
C D
O
E
F
1
2
图 3-2图 3-1
2
1
F
E
O
DC
BA
练习：1.如图 AB∥CD，∠B=∠C，求证：BE∥CF。
2.如图，如果 AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE 等于( )
A．∠2－∠1 B．∠1＋∠2 C．180°－∠2＋∠1 D．180°－∠1＋∠2
3.如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ）
A. ∠B+∠F+∠D=∠E+∠G B.∠E+∠F+∠G=∠B+∠D
C. ∠F+∠G+∠D=∠B+∠E D. ∠B+∠E+∠F=∠G+∠D
4．如下图，AB∥DE，那么∠BCD＝( )．
A.∠2－∠1 B.∠1＋∠2 C.180°＋∠1－∠2 D.180°＋∠2－2∠1
平行线与折叠：（角度计算）
(第 2 题图) 第 3 题图
第 4 题图
D'
C'
G
F
E
D
C
B
A
1. 一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若 ，则①
② ③ ④ 以 上结论正确的有 ．（填序号）
2.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
(1)∠1＝∠2； (2)∠3＝∠4；
(3)∠2＋∠4＝90°； (4)∠4＋∠5＝180°
其中正确的个数是( )．
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，已知射线 CD∥AB，∠C=∠ABD=110°，E，F 在 CD 上，且满足∠EAD=∠EDA，AF 平分∠CAE.
（1）求∠FAD 的度数；
（2）若向右平行移动 BD，其它条件不变，那么∠ADC：∠AEC 的值是否发生变化？若变化，找出其
中规律；若不变，求出这个比值；
（3）在向右平行移动 BD 的过程中，是否存在某种情况，使∠AFC=∠ADB？若存在，请求出∠ADB 度
数，若不存在，说明理由.
°=∠ 32EFB °=∠ 32' EFC
°=∠ 148AEC °=∠ 64BGE °=∠ 116BFD
作业：
1．如图，已知直线 AB、CD 相交于 O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝
______°.
2．如图直线 l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2 的度数是______．
(第 1 题) (第 2 题) (第 4 题)
3．王强从 A 处沿北偏东 60°的方向到达 B 处，又从 B 处沿南偏西 25°的方向到达 C 处，则王强两次行
进路线的夹角为______度．
4．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______．
5.如图所示，直线 AB，CD，EF 交于点 O，OG 平分∠BOF，CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG 的度数.
6.有一条长方形纸带，按如图所示方式沿 AB 折叠，若∠1＝64°，求图中∠3 的度数．
O
G
F
E
D
C
BA
7.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．求证：AC∥DE
8．已知：如图，CD⊥AB 于 D，DE∥BC，EF⊥AB 于 F，求证：∠FED＝∠BCD．
第 3 讲 平行线的构造模型及综合答案
命题：
解：(1)一共能组成 2 个命题，它们是：题设：①②，结论：③；题设：①③，结论：②；
(2)情况一题设：①②，结论：③；
证明：如图,∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C；
情况二题设：①③，结论：②；
E
DCB
A
4
32
1
证明：如图,∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又∵∠B=∠C，
∴∠1=∠2.
平移：
1.A 2. 18，4n+2 3. 39
探究：
例 1．(1)∠M+∠A+∠B=180° （2）∠M=∠A+∠B
例 2.如图所示,已知 AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC 与∠PAB﹑∠PCD 的关系,请你从所得关系
中任意选取一个加以说明。
解：
图 1:∠APC=∠PAB－∠PCD
延长 BA 交 PC 于 E，
∵AB∥DC，
∴∠PEA=∠C，
∵∠PAE+∠1+∠P=180，
∴∠PAE+∠PAB=180.
∴∠PAB=∠C+∠P；
图 2:∠APC=∠PCD−∠PAB，
∵AB∥DC，
∴∠PEB=∠C，
∵∠PEA+∠A+∠P=180°，
∠PEA+∠PEB=180°
∴∠PEB=∠P＋∠A，
∴∠APC=∠PCD−∠PAB
练习：
1. 25° 2. C 3. 110°
例 3：证明：(1)过点 O 作 OM∥AB,
则∠1=∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90∘，
即∠EOM+∠FOM=90∘，
∴∠1+∠2=90∘；
(2)∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE=180∘，
∵FO 平分∠CFG，EO 平分∠AEH
∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，
∵∠1+∠2=90∘
∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180∘，
∴∠CFG=∠CHE，
∴FG∥EH.
例 4： 40
例 5：过 C 点作 CG∥AB,过点 D 作 DH∥AB,则 CG∥DH，
∵∠B=25°，
∴∠BCG=25°，
∵∠BCD=45°，
∴∠GCD=20°，
∵CG∥HD，
∴∠CDH=20°，
∵∠CDE=30°，
∴∠HDE=10°
∴∠HDE=∠E=10°，
∴DH∥EF，
∴DH∥AB，
∴AB∥EF.
练习：1.略，同例 5 2.C 3. A 4.C
G
H
平行线与折叠：（角度计算）
1. ①③ 2.D
3.（1）∠FAD=35∘
∵射线 CD∥AB,∠C=110°，
∴∠CAB=70°，∠BAD=∠EAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠BAD= ∠EAB.
∵AF 平分∠CAE，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD
= CAB= ×70°=35°；
（2）不变。
∵AB∥CD,∠C=110∘，
∴∠CAB=70∘.
当 BD 向右平移时，∠EAD 增大，
∠CAB 不变，
∵∠EAD=∠EDA，∠AEC=∠EAD+
∠EDA，
∴∠ADC:∠AEC=1:2；
（3）存在
∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°，
∵由(1)知∠FAD=35°，
∴∠AFC=x°+35°.
∵AB∥CD,∠ABD=110°，
∴∠BDC=70°，
∴∠ADB=70°−x°，
∵∠AFC=∠ADB，
∴x+35=70−x,
解得 x=17.5，
∴∠ADB=70°−17.5°=52.5°.
作业：
1. 155°，25°，65° 2. 56° 3. 35° 4.180° 5. 55° 6. 57°
7.证明：∵∠1=∠2 ， ∴AB∥FC ，∴∠A=∠4
∵∠A=∠3 ， ∴∠3=∠4 ，∴AC∥DE
8．证明：∵CD⊥AB 于 D，EF⊥AB 于 F，∴∠EFD=∠CDB=90°，∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB ，∴∠FED＝∠BCD
2
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