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第 2 讲 平行线的判定和性质
基础回顾：
平行线的性质：________________________________________________________________
平行线的判定：_______________________________________________________________
1. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是______________
2.下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1=∠2 的是（ ）
3.a、b、c 是同一平面内互不重合的三条直线，交点可能有（ ）
A、1 个 B、1 个或 2 个或 3 个
C、0 个或 1 个或 2 个或 3 个 D、以上都不对
4.两条平行线被第三条直线所截，则（ ）
A、一对内错角的平分线互相平行 B、一对同旁内角的平分线互相平行
C、一对对顶角的平分线互相平行 D、一对邻补角的平分线互相平行
A
C
B
D
1
2
A
C
B
D
1
2
A． B．
1 2
A
C
B
D
C．
B
DC
A
D．
1 25．如图，下列条件中不能判定 AD∥BC 的是（ ）
A． BAD＋ ABC＝180° B． 1＝ 2
C． 3＝ 4 D． BAD＝ BCD
判定证明：
1.推理填空：已知：如图， AC∥DF，直线 AF 分别直线 BD、CE 相交于点 G、H，∠1=∠2，
求证: ∠C=∠D.（请在横线上填写结论，在括号 中注明理由）
解：∵∠1=∠2（已知 ）
∠1=∠DGH（ ），
∴∠2=___ ______（ 等量代换 ）
∴__ __________（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C=_ _( 两直线平行，同位角相等 )
又∵AC∥DF（已知）
∴∠D=∠ABG ( )
∴∠C=∠D (等量代换)
2.如图，∠1=∠2，∠3=∠B，AC∥DE，且 B、C、D 在一条直线上，求证：AE∥BD。
3.如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E。
∠ ∠ ∠ ∠
∠ ∠ ∠ ∠
4
3 2
1
D
CB
A4.如图，EF∥CD，∠1=∠2，求证：∠CGD+∠BAC=180°.
5.如图，已知∠B=∠C，∠A=∠D，求证：∠AMC=∠BND6.已知，如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC 于点 D，EF⊥BC 于点 F，是证明∠1=∠2.
7.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并证明。8.如图，EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°，是判断说明 AD 与 BC 有怎样的位置关系？并说明理由。
9、如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E. F，∠1 与∠2 互补。
(1)试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；
(2)如图 2,∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P,EP 与 CD 交于点 G,点 H 是 MN 上一点,且 GH⊥EG,
求证：PF∥GH；
10.如图，直线 AB，CD 被直线 AE 所截，直线 AM，EN 被 MN 所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②
AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN 中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
(1)请按照：“∵_____________，___________；∴__________________”
的形式，写出所有正确的命题；(2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
11.如图,把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后 EM 与 BC 的交点为 G,D、C 分别在 M、N 的位置上。若
∠EFG=56°，求∠1 和∠2 的度数。
作业：1.如图，点 D，E，F 分别是三角形 ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，AB∥DE，∠1＝∠A.求证 FD
∥AC.
2.完成以下证明，并在括号内填写理由．
已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．
求证：∠ABC＋∠4＋∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2
A
B D C
F
E
1
E
DCB
A
4
32
1∴ ∥ （ ）
∴∠A＝∠4（ ）
∠ABC＋∠BCE＝180°（ ）
即∠ABC＋∠ACB＋∠4＝180°
∵∠A＝∠3
∴∠3＝
∴ ∥
∴∠ACB＝∠D（ ）
∴∠ABC＋∠4＋∠D＝180°
3.如图所示下列条件中， 不能判定 AB//DF 的是（ ）
A、∠A+∠2=180° B、∠A=∠3
C、∠1=∠4 D、∠1=∠A
4.如图，AB∥CD，点 E 是 AB 上一点，∠C=50°，EF 平分∠CFB 交 CD 于点 F，
则∠CFE=（ ）
A、40° B、50° C、65° D、70°
5.如图，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD+∠ADC=180°；③∠ABC=∠ADC；
④∠3=∠4，能判断
AB∥CD 的有（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
6.如图已知∠1=∠2，∠A=∠D，求证∠F=∠C。
1
2第二讲 平行线的判定和性质答案
基础回顾：
平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
1. 相等或互补
2.B 3.C 4. A 5.D
判定证明：
1.推理填空：已知：如图， AC∥DF，直线 AF 分别直线 BD、CE 相交于点 G、H，∠1=∠2，
求证: ∠C=∠D.（请在横线上填写结论，在括号 中注明理由）
解：∵∠1=∠2（已知 ）
∠1=∠DGH（ 对顶角相等 ），
∴∠2=___∠DGH __（ 等量代换 ）
∴__ DB∥EC___（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C=_ ∠ABG _( 两直线平行，同位角相等 )
又∵AC∥DF（已知）
∴∠D=∠ABG ( 两直线平行，内错角相等 )
∴∠C=∠D (等量代换)2.如图，∠1=∠2，∠3=∠B，AC∥DE，且 B、C、D 在一条直线上，求证：AE∥BD。
证明：
∵AC∥DE（已知）
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠4（等量代换）
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠3（已知）
∴∠3=∠ECD（等量代换）
∴AE∥BD． （内错角相等，两直线平行）
3.如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E。
证明：
∵AD∥BE（已知）
∴∠A=∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴DE∥AC （内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠3 （两直线平行，同位角相等）
∴∠A=∠E （等量代换）4.如图，EF∥CD，∠1=∠2，求证：∠CGD+∠BAC=180°.
证明：
∵EF∥CD（已知）
∴∠1=∠FCD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠FCD（等量代换）
∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠CGD+∠BCA=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
5.如图，已知∠B=∠C，∠A=∠D，求证：∠AMC=∠BND
证明：
∵∠B=∠C．
∴AB∥CD． （内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠CEA． （两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠D （已知）
∴∠CEA=∠D．（等量代换）
∴AE∥DF． （同位角相等，两直线平行）
∴∠EMB=∠BND．（两直线平行，同位角相等）
∴∠EMB=∠AMC．（对顶角相等）
∴∠AMC=∠BND．（等量代换）．6.已知，如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC 于点 D，EF⊥BC 于点 F，试证明∠1=∠2.
证明：如图
∵∠CDG=∠B（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵AD⊥BC 于点 D，EF⊥BC 于点 F
∴∠EFB=∠ADB=90°，
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
7.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并证明。
解：∠AED=∠ACB．
理由：
∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．
∴∠2=∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
8.如图，EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°，是判断说明 AD 与 BC 有怎样的位置关系？并说明理由。
解：AD⊥BC
∵∠1=∠C，（已知）
∴GD ∥ AC，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠DAC．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2+∠3=180°，（已知）
∴∠3+∠DAC=180°．（等量代换）
∴AD ∥ EF，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC=∠EFC．（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知 ）
∴∠EFC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
9、如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E. F，∠1 与∠2 互补。
(1)试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；(2)如图 2,∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P,EP 与 CD 交于点 G,点 H 是 MN 上一点,且 GH⊥EG,
求证：PF∥GH；
解：(1)如图 1，∵∠1 与∠2 互补，
∴∠1+∠2=180∘.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180∘，
∴AB∥CD；
(2)如图 2,由(1)知,AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180∘.
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P，
∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90∘，
∴∠EPF=90∘，
∵GH⊥EG，
∴ ∠HGE=90°=∠EPF
∴PF∥GH；
10.如图，直线 AB，CD 被直线 AE 所截，直线 AM，EN 被 MN 所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②
AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN 中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
(1)请按照：“∵_____________，___________；∴__________________”
的形式，写出所有正确的命题；
(2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
2
1解：(1) 命题 1:∵AB∥CD,AM∥EN；∴∠BAM=∠CEN；
命题 2:∵AB∥CD，∠BAM=∠CEN；∴AM∥EN；
命题 3:∵AM∥EN，∠BAM=∠CEN；∴AB∥CD；
(2)证明命题 1:
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CEA，
∵AM∥EN，
∴∠3=∠4， ∴∠BAE−∠3=∠CEA−∠4，即∠BAM=∠CEN.
11.∠1=68°，∠2=112°
作业：
1.如图，点 D，E，F 分别是三角形 ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，AB∥DE，∠1＝∠A.求证 FD∥AC.
证明：∵AB∥DE，
∴∠1=∠BFD(两直线平行,内错角相等)，
∵∠1=∠A，
∴∠A=∠BFD(等量代换)，
∴FD∥AC(同位角相等,两直线平行)
2.完成以下证明，并在括号内填写理由．
已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．
求证：∠ABC＋∠4＋∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2
∴ AB ∥ CE （ 内错角相等，两直线平行 ）
A
B D C
F
E
1
E
DCB
A
4
32
1 ∴∠A＝∠4（ 两直线平行，内错角相等 ）
∠ABC＋∠BCE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
即∠ABC＋∠ACB＋∠4＝180°
∵∠A＝∠3
∴∠3＝ ∠4
∴ AC ∥ DE
∴∠ACB＝∠D（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠ABC＋∠4＋∠D＝180°
3.D 4.C 5.B
6.如图已知∠1=∠2，∠A=∠D，求证∠F=∠C。
证明：如图
∵∠1＝∠2，∠2=∠3
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴AE∥BD（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠CBD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠D
∴∠CBD＝∠D（等量代换）
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）
∴∠F＝∠C（两直线平行，内错角相等）
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