资料简介
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八下第九章 9.3 平行四边形的性质与判定中档题训练
一、选择题
1. 如图,E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 所
在直线上的点,AC、EF 交于点 O,请你添加一个条件,
使四边形 AECF 是平行四边形,下列选项中不能推断四
边形 AECF 是平行四边形的是( )
A. 퐴퐸 = 퐶퐹 B. 퐸푂 = 퐹푂 C. 퐴퐸//퐶퐹 D. 퐴퐹 = 퐸퐶
2. 已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,
BD 相交于 O,E,F 是对角线上的两点,给出下列
四个条件:
1.푂퐸 = 푂퐹;2.퐷퐸 = 퐵퐹;3.∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹;4.
∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹.其中不能判定四边形 DEBF 是平行
四边形的有( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 如图,在□퐴퐵퐶퐷中,对角线 AC,BD 相交于点 O,퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E,퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于
点 F,连结 AF,CE,则下列结论:①퐴퐹 = 퐶퐸;②푂퐸 = 푂퐹;③퐷퐸 = 퐵퐹;④
图中共有八对全等三角形.其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2
D. 1
4. 如图所示,已知 ABCD 与 DCFE 的周长相等,且∠퐵퐴퐷 = 60°,∠퐶퐹퐸 = 110°.
则下列结论;①四边形 ABFE 为平行四边形;② △ 퐴퐷퐸是等腰三角形;③ ABCD
与 DCFE 全等;④∠퐷퐴퐸 = 25°,其中结论正确的个数为( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
5. 如图,四边形 ABCD 中,퐴퐶 ⊥ 퐵퐶,퐴퐷//퐵퐶,퐵퐶 = 3,
퐴퐶 = 4,퐴퐷 = 6.푀是 BD 的中点,则 CM 的长为( )
A. 3
2 B. 2 C. 5
2 D. 3第 2 页,共 13 页
6. 如图,在四边形 ABCD 中,퐴퐷//퐵퐶,且퐴퐷 > 퐵퐶,퐵퐶 = 6푐푚,P,Q 分别从点 A,
C 同时出发,点 P 以1푐푚/푠的速度由点 A 向点 D 运动,点 Q 以2푐푚/푠的速度由点 C
向点 B 运动,当四边形 ABQP 是平行四边形时,运动时间为( )
A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s
7. 如图,在给定的 △ 퐴퐵퐶中,动点 D 从点 B 出发沿 BC 方向向终点 C 运动,퐷퐸//퐴퐶
交 AB 于点 E,퐷퐹//퐴퐵交 AC 于点 F,O 是 EF 的中点.在整个运动过程中, △ 푂퐵퐶
的面积的大小变化情况是( )
A. 不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
二、填空题
8. 如图,四边形 ABCD 中,퐴퐷//퐵퐶,作퐴퐸//퐷퐶交 BC 于
퐸. △ 퐴퐵퐸的周长是 25cm,四边形 ABCD 的周长是 37cm,
那么퐴퐷 = ______ cm.
9. 如图,在□ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,AD 上,四位同学想通过添加一个条
件,使四边形 AECF 成为平行四边形.他们添加的条件分别是:甲,퐵퐸 = 퐷퐹;乙,
퐴퐸//퐶퐹;丙,퐴퐸 = 퐶퐹;丁,∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶.添加正确的同学是_____.
10. 如图所示,□ABCD 中,∠퐴퐵퐶 = 60°,E、F 分别在 BC、CD 的延长线上,
퐸퐹 ⊥ 퐵퐸,퐴퐹//퐵퐷,且퐴퐵 = 2,则 EF 的长为________.第 3 页,共 13 页
11. 如图,有一块形状如图所示的玻璃,不小心把 DEF 部
分打碎,现在只测得퐴퐵 = 60푐푚,퐵퐶 = 80푐푚,∠퐴 =
120∘,∠퐵 = 60∘,∠퐶 = 150∘,根据测得的数据求出 AD 的
长为______________cm.
12. 如图,在3 × 3的正方形网格中标出了∠1和∠2,则∠2−∠1 =
________°.
13. 如图,将平行四边形 ABCD 沿 EF 对折,使点 A 落在点 C 处.若∠퐴 = 60°,
퐴퐷 = 4,퐴퐵 = 8,则퐴퐸 = ______.
三、解答题
14. 如图,在平行四边形 ABCD 中,퐴푀 ⊥ 퐵퐷于 M,퐶푁 ⊥ 퐵퐷于 M,连接 CM、AN
(1)求证:四边形 AMCN 是平行四边形;
(2)若∠퐶퐵퐷 = 30°,∠퐴퐵퐷 = 45°,퐴푀 = 2.求平行四边形 ABCD 的周长.第 4 页,共 13 页
15. 如图 1,已知 △ 퐴퐵퐶是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,
∠퐸퐹퐵 = 60°,퐸퐹 = 퐷퐶.
(1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形.
(2)如图 2,连结 BE,若퐵퐸 = 퐸퐹,求证:퐴퐸 = 퐴퐷.
16. 如图①,在 △ 퐴퐵퐶中,퐴퐵 = 퐴퐶,点 D 在边 BC 所在的直线上,过点 D 作퐷퐸//퐴퐶
交直线 AB 于点 E,퐷퐹//퐴퐵交直线 AC 于点 F。
(1)当点 D 在边 BC 上时,如图①,求证:퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐶
(2)当点 D 在边 BC 的延长线上时,如图②;当点 D 在边 BC 的反向延长线上时,如
图③请分别写出图②、图③中 DE,DF,AC 之间的数量关系,不需要证明第 5 页,共 13 页
(3)若퐴퐶 = 6,퐷퐸 = 4,直接写出 DF 的长。
17. 如图 1,在 △ 퐴퐵푂中,∠푂퐴퐵 = 90°,∠퐴푂퐵 = 30°,푂퐵 = 2.以 OB 为一边,在
△ 푂퐴퐵外作等边三角形 OBC,D 是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E.
(1)求点 B 的坐标;
(2)求证:四边形 ABCE 是平行四边形;
(3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,求 OG
的长.第 6 页,共 13 页
答案和解析
1.A
解:퐴.不能判定四边形 AECF 是平行四边形,本选项错误;
B. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ 퐴퐷//퐵퐶,即퐴퐹//퐶퐸,
∵ 퐸푂 = 퐹푂,
易推 △ 퐴퐹푂≌CEO,
∴ 퐴퐹 = 퐶퐸,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形,
故本选项正确;
C.添加퐴퐸//퐶퐹,由已知四边形 ABCD 为平行四边形,得出퐴퐹//퐶퐸,能判定四边形 AECF
为平行四边形,本选项正确;
D.添加퐴퐹 = 퐸퐶由已知四边形 ABCD 为平行四边形,得出퐴퐹//퐶퐸,能判定四边形 AECF
为平行四边形,本选项正确.
2.B
解:① ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ 푂퐷 = 푂퐵,푂퐴 = 푂퐶,
又 ∵ 푂퐸 = 푂퐹,
∴ 四边形 DEBF 为平行四边形;
②不能判定四边形 DEBF 是平行四边形;
③ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ ∠퐷퐶퐹 = ∠퐵퐴퐸,퐴퐵 = 퐶퐷,퐴푂 = 퐶푂,
又 ∵ ∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹,
∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹,
∴ 퐴퐸 = 퐶퐹,
∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹,即푂퐸 = 푂퐹,
同①可得四边形 DEBF 为平行四边形;
④ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹,퐴퐷 = 퐵퐶,퐴푂 = 퐶푂,
又 ∵ ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹,
∴△ 퐴퐷퐸≌ △ 퐶퐵퐹,
∴ 퐴퐸 = 퐶퐹,第 7 页,共 13 页
∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹,即푂퐸 = 푂퐹,
同①可得四边形 DEBF 为平行四边形;
只有①③④可以.
所以不能判断的有 1 个,
3.B
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ 퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐷 = 퐵퐶,푂퐵 = 푂퐷,푆△ 퐵퐶퐷 = 푆△ 퐴퐵퐷,
∵ 퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E,퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于点 F,
∴ 퐶퐹//퐴퐸,푆△ 퐵퐶퐷 = 1
2퐵퐷 ⋅ 퐶퐹,푆△ 퐴퐵퐷 = 1
2퐵퐷 ⋅ 퐴퐸,
∴ 퐶퐹 = 퐴퐸,
∴ 四边形 CFAE 是平行四边形,
∴ 퐴퐹 = 퐶퐸,퐸푂 = 퐹푂,故①②正确;
∵ 푂퐵 = 푂퐷,
∴ 퐷퐸 = 퐵퐹,③正确;
由以上可得出: △ 퐶퐷퐹≌ △ 퐵퐴퐸, △ 퐶퐷푂≌ △ 퐵퐴푂, △ 퐶퐷퐸≌ △ 퐵퐴퐹,
△ 퐶퐹푂≌ △ 퐴퐸푂, △ 퐶퐸푂≌ △ 퐴퐹푂, △ 퐴퐷퐹≌ △ 퐶퐵퐸, △ 퐷푂퐴≌ △ 퐶푂퐵等,故④错
误.
故正确的有 3 个.
4.B
解: ∵ ▱ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷且퐴퐵 = 퐶퐷,
同理퐶퐷//퐸퐹且퐶퐷 = 퐸퐹.
∴ 퐴퐵//퐸퐹且퐴퐵 = 퐸퐹,
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.
故①正确;
∵ ▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且퐴퐵 = 퐶퐷 = 퐸퐹,
∴ 퐴퐷 = 퐴퐸,即 △ 퐴퐷퐸是等腰三角形.
故②正确;
∵ ∠퐵퐴퐷 = 60°,平行四边形 ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷,
∴ ∠퐴퐷퐶 = 180°−∠퐵퐴퐷 = 180°−60° = 120°,
则▱ABCD 与▱DCFE 的角都不相等,故不全等.
故③错误;
∵ ▱DCFE 中,∠퐶퐷퐸 = ∠퐶퐹퐸 = 110°,
∴ ∠퐴퐷퐸 = 360°−∠퐴퐷퐶−∠퐶퐷퐸 = 360°−120°−110° = 130°,
又 ∵ 퐴퐷 = 퐷퐸,
∴ ∠퐷퐴퐸 = 180°−∠퐴퐷퐸
2 = 180°−130°
2 = 25°.第 8 页,共 13 页
故④正确.
5.C
解:延长 BC 到 E 使퐵퐸 = 퐴퐷,又퐴퐷//퐵퐶,则四边形 ACED 是平行四边形,
∵ 퐵퐶 = 3,퐴퐷 = 6,
∴ 퐶是 BE 的中点,
∵ 푀是 BD 的中点,
∴ 퐶푀 = 1
2퐷퐸 = 1
2퐴퐵,
∵ 퐴퐶 ⊥ 퐵퐶,
∴ 퐴퐵 = 퐴퐶2 + 퐵퐶2 = 42 + 32 = 5,
∴ 퐶푀 = = 1
2퐴퐵 = 5
2 .
6.B
解:设 x 秒后,四边形 ABQP 是平行四边形,
∵ 푃以1푐푚/푠的速度由 A 向 D 运动,Q 以2푐푚/푠的速度由 C 出发向 B 运动,
∴ 퐴푃 = 푥푐푚,퐶푄 = 2푥푐푚,
∵ 퐵퐶 = 6푐푚,
∴ 푄퐵 = (6−2푥)푐푚,
当퐴푃 = 퐵푄时,四边形 ABQP 是平行四边形,
∴ 푥 = 6−2푥,
解得:푥 = 2.
7.A
解: ∵ 퐷퐸//퐴퐶,퐷퐹//퐴퐵,
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形,
∵ 푂是 EF 的中点,第 9 页,共 13 页
∴ 푂也是 AD 的中点,
∴ 在整个运动过程中,O 的轨迹是 △ 퐴퐵퐶的中位线,
根据同底等高的三角形面积相等可知:在整个运动过程中, △ 푂퐵퐶的面积不变,
8.6
解: ∵ 퐴퐷//퐵퐶,퐴퐸//퐷퐶,
∴ 四边形 AECD 是平行四边形,
∴ 퐴퐸 = 퐶퐷,퐴퐷 = 퐸퐶,
又 ∵△ 퐴퐵퐸的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐸 + 퐴퐸 = 25푐푚,
梯形 ABCD 的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐶 + 퐶퐷 + 퐴퐷 = 37푐푚,
∴ 2퐴퐷 = 梯形 ABCD 的周长− △ 퐴퐵퐸的周长 = 12푐푚,
9.甲和乙
解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ 퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐵//퐶퐷,∠퐵 = ∠퐷,퐴퐷//퐵퐶,퐴퐷 = 퐵퐶,
又 ∵ 퐵퐸 = 퐷퐹,
∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹,
∴ 퐴퐸 = 퐶퐹,
∴ 퐵퐶−퐵퐸 = 퐴퐷−퐷퐹,
∴ 퐴퐹 = 퐶퐸,
∵ 퐴퐹//퐶퐸,
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形,故甲正确;
∵ 퐴퐸//퐶퐹,
又 ∵ 퐴퐹//퐶퐸,
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形,故乙正确;
当添加퐴퐸 = 퐶퐹或∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶时,无法证明四边形 AFCE 是平行四边形,
10.2 3
解: ∵ 四边形 ABDC 是平行四边形,
∴ 퐴퐵//퐶퐷,퐴퐵 = 퐶퐷 = 2,
又퐴퐹//퐵퐷,
∴ 四边形 AFDB 是平行四边形,
∴ 퐴퐵 = 퐷퐹 = 2,
∵ 在平行四边形 ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷,∠퐴퐵퐶 = 60°,
∴ ∠퐹퐶퐵 = 180°−60° = 120°,
∴ ∠퐹퐶퐸 = 180°−120° = 60°,第 10 页,共 13 页
∴ ∠퐶퐹퐸 = 180°−90°−60° = 30°,
∵△ 퐶퐹퐸是直角三角形,
∴ 퐶퐸 = 1
2 퐶퐹 = 4 × 1
2 = 2,
∴ 在푅푡 △ 퐶퐸퐹中,퐸퐹 = 퐶퐹2−퐶퐸2 = 42−22 = 2 3.
11.140
解:
过 C 作퐶푀//퐴퐵,交 AD 于 M,
∵ ∠퐴 = 120°,∠퐵 = 60°,
∴ ∠퐴 + ∠퐵 = 180°,
∴ 퐴푀//퐵퐶,
∵ 퐴퐵//퐶푀,
∴ 四边形 ABCM 是平行四边形,
∴ 퐴퐵 = 퐶푀 = 60푐푚,퐵퐶 = 퐴푀 = 80푐푚,∠퐵 = ∠퐴푀퐶 = 60°,
∵ 퐴퐷//퐵퐶,∠퐶 = 150°,
∴ ∠퐷 = 180°−150° = 30°,
∴ ∠푀퐶퐷 = 60°−30° = 30° = ∠퐷,
∴ 퐶푀 = 퐷푀 = 60푐푚,
∴ 퐴퐷 = 60푐푚 + 80푐푚 = 140푐푚.
12.45°
解:连接 AC,BC,
根据勾股定理,퐴퐶 = 퐵퐶 = 5,퐴퐵 = 10,
∵ ( 5)2 + ( 5)2 = ( 10)2,
∴ ∠퐴퐶퐵 = 90°,∠퐶퐴퐵 = 45°.
∵ 퐴퐷//퐶퐹,퐴퐷 = 퐶퐹,
∴ 四边形 ADFC 是平行四边形,
∴ 퐴퐶//퐷퐹,
∴ ∠퐸퐷퐹 = ∠퐷퐴퐶(两直线平行,同位角相等),
在푅푡 △ 퐴퐵퐷中,
∠1 + ∠퐷퐴퐵 = 90°(直角三角形中的两个锐角互余);第 11 页,共 13 页
又 ∵ ∠퐷퐴퐵 = ∠퐷퐴퐶 + ∠퐶퐴퐵,
∴ ∠1 + ∠퐶퐴퐵 + ∠퐷퐴퐶 = 90°,
∴ ∠1 + ∠퐷퐴퐶 = 45°,
∵ ∠2 = 90°−∠퐸퐷퐹 = 90°−∠퐷퐴퐶 = 90°−(45°−∠1) = 45° + ∠1,
∴ ∠2−∠1 = 45°
13.5.6
解:过 C 作 EB 的延长线的垂线于 M 点,因为四边形 ABCD 为平行四边形,
所以퐴퐷 = 퐵퐶,
所以퐴퐸 = 퐶퐸,令퐴퐸 = 푥,
在푅푡 △ 퐸푀퐶中,利用∠퐵퐶푀 = 300,
퐴퐷 = 퐵퐶 = 4,可得퐵푀 = 2,
所以퐶푀 = 2 3,
利用勾股定理可得(10−푋)2 +퐶푀2 = 푋2,
解得퐴퐸 = 5.6
14.(1)证明: ∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷于点 M,퐶푁 ⊥ 퐵퐷于点 N,
∴ ∠퐴푀푁 = ∠퐶푁푀 = 90°,
∴ 퐴푀//퐶푁(内错角相等,两直线平行),
在平行四边形 ABCD 中,퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐵//퐶퐷,
∴ ∠퐴퐵푀 = ∠퐶퐷푁,
在 △ 퐴퐵푀与 △ 퐷퐶푁中,{∠퐴퐵푀 = 퐶퐷푁
∠퐴푀푁 = ∠퐶퐹퐸 = 90°
퐴퐵 = 퐶퐷
,
∴△ 퐴퐵푀≌ △ 퐶퐷푁(퐴퐴푆),
∴ 퐴푀 = 퐶푁,
∴ 四边形 AMCN 是平行四边形;
(2)解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ 퐴퐷//퐵퐶,
∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠퐶퐵퐷 = 30°,
∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷,∠퐴퐵푀 = 45°,퐴푀 = 2,
∴ 퐴퐵 = 2퐴푀 = 2 2,퐴퐷 = 2퐴푀 = 4,
∴ ▱ABCD 的周长 = (2 2 +4) × 2 = 4 2 +8.
15.证明:(1) ∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形,
∴ ∠퐴퐵퐶 = 60°,
∵ ∠퐸퐹퐵 = 60°,第 12 页,共 13 页
∴ ∠퐴퐵퐶 = ∠퐸퐹퐵,
∴ 퐸퐹//퐷퐶(内错角相等,两直线平行),
∵ 퐷퐶 = 퐸퐹,
∴ 四边形 EFCD 是平行四边形;
(2)连接 BE,
∵ 퐵퐸 = 퐸퐹,∠퐸퐹퐵 = 60°,
∴△ 퐸퐹퐵是等边三角形,
∵ 퐷퐶 = 퐸퐹,
∴ 퐸퐵 = 퐷퐶,
∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形,
∴ ∠퐴퐶퐵 = 60°,퐴퐵 = 퐴퐶,
∴ ∠퐸퐵퐹 = ∠퐴퐶퐵,
∴△ 퐴퐸퐵≌ △ 퐴퐷퐶,
∴ 퐴퐸 = 퐴퐷.
16.解:(1)证明: ∵ 퐷퐹//퐴퐶,퐷퐸//퐴퐵,
∴ 四边形 AFDE 是平行四边形.
∴ 퐴퐹 = 퐷퐸,
∵ 퐷퐹//퐴퐶,
∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐶
又 ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶,
∴ ∠퐵 = ∠퐶,
∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐵
∴ 퐷퐹 = 퐵퐹
∴ 퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐵 = 퐴퐶;
(2)图②中:퐴퐶 + 퐷퐸 = 퐷퐹,
图③中:퐴퐶 + 퐷퐹 = 퐷퐸;
(3)当如图①的情况,퐷퐹 = 퐴퐶−퐷퐸 = 6−4 = 2;
当如图②的情况,퐷퐹 = 퐴퐶 + 퐷퐸 = 6 + 4 = 10.
17.解:(1)在 △ 푂퐴퐵中,∠푂퐴퐵 = 90°,∠퐴푂퐵 = 30°,푂퐵 = 2,
∴ 퐴퐵 = 푂퐵 = 1,푂퐴 = 푂퐵2−푂퐴2 = 4−1 = 3,
∴ 点 B 的坐标为( ,1);
(2)证明: ∵ ∠푂퐴퐵 = 90°,
∴ 퐴퐵 ⊥ 푥轴,
∵ 푦轴 ⊥ 푥轴,
∴ 퐴퐵//푦轴,即퐴퐵//퐶퐸,
∵ ∠퐴푂퐵 = 30°,
∴ ∠푂퐵퐴 = 60°,
∵ 퐷퐵 = 퐷푂 = 1,
∴ 퐷퐵 = 퐴퐵 = 1,
3第 13 页,共 13 页
∴ ∠퐵퐷퐴 = ∠퐵퐴퐷 = 120° ÷ 2 = 60°,
∴ ∠퐴퐷퐵 = 60°,
∵△ 푂퐵퐶是等边三角形,
∴ ∠푂퐵퐶 = 60°,
∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠푂퐵퐶,即퐴퐷//퐵퐶,
∴ 四边形 ABCE 是平行四边形;
(3)解:设 OG 的长为 x,
∵ 푂퐶 = 푂퐵 = 2,
∴ 퐶퐺 = 2−푥,由折叠的性质可得:퐴퐺 = 퐶퐺 = 8−푥,在푅푡 △ 퐴푂퐺中,퐴퐺2 = 푂퐺2 +푂
퐴2,即(2−푥)2 = 푥2 +( )2,3
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