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第 1 页,共 13 页 八下第九章 9.3 平行四边形的性质与判定中档题训练 一、选择题 1. 如图,E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 所 在直线上的点,AC、EF 交于点 O,请你添加一个条件, 使四边形 AECF 是平行四边形,下列选项中不能推断四 边形 AECF 是平行四边形的是(    ) A. 퐴퐸 = 퐶퐹 B. 퐸푂 = 퐹푂 C. 퐴퐸//퐶퐹 D. 퐴퐹 = 퐸퐶 2. 已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于 O,E,F 是对角线上的两点,给出下列 四个条件: 1.푂퐸 = 푂퐹;2.퐷퐸 = 퐵퐹;3.∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹;4. ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹.其中不能判定四边形 DEBF 是平行 四边形的有(    )个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图,在□퐴퐵퐶퐷中,对角线 AC,BD 相交于点 O,퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E,퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于 点 F,连结 AF,CE,则下列结论:①퐴퐹 = 퐶퐸;②푂퐸 = 푂퐹;③퐷퐸 = 퐵퐹;④ 图中共有八对全等三角形.其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图所示,已知 ABCD 与 DCFE 的周长相等,且∠퐵퐴퐷 = 60°,∠퐶퐹퐸 = 110°. 则下列结论;①四边形 ABFE 为平行四边形;② △ 퐴퐷퐸是等腰三角形;③ ABCD 与 DCFE 全等;④∠퐷퐴퐸 = 25°,其中结论正确的个数为(    ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 5. 如图,四边形 ABCD 中,퐴퐶 ⊥ 퐵퐶,퐴퐷//퐵퐶,퐵퐶 = 3, 퐴퐶 = 4,퐴퐷 = 6.푀是 BD 的中点,则 CM 的长为(    ) A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3第 2 页,共 13 页 6. 如图,在四边形 ABCD 中,퐴퐷//퐵퐶,且퐴퐷 > 퐵퐶,퐵퐶 = 6푐푚,P,Q 分别从点 A, C 同时出发,点 P 以1푐푚/푠的速度由点 A 向点 D 运动,点 Q 以2푐푚/푠的速度由点 C 向点 B 运动,当四边形 ABQP 是平行四边形时,运动时间为( ) A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s 7. 如图,在给定的 △ 퐴퐵퐶中,动点 D 从点 B 出发沿 BC 方向向终点 C 运动,퐷퐸//퐴퐶 交 AB 于点 E,퐷퐹//퐴퐵交 AC 于点 F,O 是 EF 的中点.在整个运动过程中, △ 푂퐵퐶 的面积的大小变化情况是(    ) A. 不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、填空题 8. 如图,四边形 ABCD 中,퐴퐷//퐵퐶,作퐴퐸//퐷퐶交 BC 于 퐸. △ 퐴퐵퐸的周长是 25cm,四边形 ABCD 的周长是 37cm, 那么퐴퐷 = ______ cm. 9. 如图,在□ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,AD 上,四位同学想通过添加一个条 件,使四边形 AECF 成为平行四边形.他们添加的条件分别是:甲,퐵퐸 = 퐷퐹;乙, 퐴퐸//퐶퐹;丙,퐴퐸 = 퐶퐹;丁,∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶.添加正确的同学是_____. 10. 如图所示,□ABCD 中,∠퐴퐵퐶 = 60°,E、F 分别在 BC、CD 的延长线上, 퐸퐹 ⊥ 퐵퐸,퐴퐹//퐵퐷,且퐴퐵 = 2,则 EF 的长为________.第 3 页,共 13 页 11. 如图,有一块形状如图所示的玻璃,不小心把 DEF 部 分打碎,现在只测得퐴퐵 = 60푐푚,퐵퐶 = 80푐푚,∠퐴 = 120∘,∠퐵 = 60∘,∠퐶 = 150∘,根据测得的数据求出 AD 的 长为______________cm. 12. 如图,在3 × 3的正方形网格中标出了∠1和∠2,则∠2−∠1 = ________°. 13. 如图,将平行四边形 ABCD 沿 EF 对折,使点 A 落在点 C 处.若∠퐴 = 60°, 퐴퐷 = 4,퐴퐵 = 8,则퐴퐸 = ______. 三、解答题 14. 如图,在平行四边形 ABCD 中,퐴푀  ⊥ 퐵퐷于 M,퐶푁 ⊥ 퐵퐷于 M,连接 CM、AN (1)求证:四边形 AMCN 是平行四边形; (2)若∠퐶퐵퐷 = 30°,∠퐴퐵퐷 = 45°,퐴푀 = 2.求平行四边形 ABCD 的周长.第 4 页,共 13 页 15. 如图 1,已知 △ 퐴퐵퐶是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上, ∠퐸퐹퐵 = 60°,퐸퐹 = 퐷퐶. (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形. (2)如图 2,连结 BE,若퐵퐸 = 퐸퐹,求证:퐴퐸 = 퐴퐷. 16. 如图①,在 △ 퐴퐵퐶中,퐴퐵 = 퐴퐶,点 D 在边 BC 所在的直线上,过点 D 作퐷퐸//퐴퐶 交直线 AB 于点 E,퐷퐹//퐴퐵交直线 AC 于点 F。 (1)当点 D 在边 BC 上时,如图①,求证:퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐶 (2)当点 D 在边 BC 的延长线上时,如图②;当点 D 在边 BC 的反向延长线上时,如 图③请分别写出图②、图③中 DE,DF,AC 之间的数量关系,不需要证明第 5 页,共 13 页 (3)若퐴퐶 = 6,퐷퐸 = 4,直接写出 DF 的长。 17. 如图 1,在 △ 퐴퐵푂中,∠푂퐴퐵 = 90°,∠퐴푂퐵 = 30°,푂퐵 = 2.以 OB 为一边,在 △ 푂퐴퐵外作等边三角形 OBC,D 是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E. (1)求点 B 的坐标; (2)求证:四边形 ABCE 是平行四边形; (3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,求 OG 的长.第 6 页,共 13 页 答案和解析 1.A 解:퐴.不能判定四边形 AECF 是平行四边形,本选项错误; B. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 퐴퐷//퐵퐶,即퐴퐹//퐶퐸, ∵ 퐸푂 = 퐹푂, 易推 △ 퐴퐹푂≌CEO, ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形, 故本选项正确; C.添加퐴퐸//퐶퐹,由已知四边形 ABCD 为平行四边形,得出퐴퐹//퐶퐸,能判定四边形 AECF 为平行四边形,本选项正确; D.添加퐴퐹 = 퐸퐶由已知四边形 ABCD 为平行四边形,得出퐴퐹//퐶퐸,能判定四边形 AECF 为平行四边形,本选项正确. 2.B 解:① ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ 푂퐷 = 푂퐵,푂퐴 = 푂퐶, 又 ∵ 푂퐸 = 푂퐹, ∴ 四边形 DEBF 为平行四边形; ②不能判定四边形 DEBF 是平行四边形; ③ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ ∠퐷퐶퐹 = ∠퐵퐴퐸,퐴퐵 = 퐶퐷,퐴푂 = 퐶푂, 又 ∵ ∠퐴퐵퐸 = ∠퐶퐷퐹, ∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹, ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹, ∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹,即푂퐸 = 푂퐹, 同①可得四边形 DEBF 为平行四边形; ④ ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹,퐴퐷 = 퐵퐶,퐴푂 = 퐶푂, 又 ∵ ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐹, ∴△ 퐴퐷퐸≌ △ 퐶퐵퐹, ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹,第 7 页,共 13 页 ∴ 퐴푂−퐴퐸 = 퐶푂−퐶퐹,即푂퐸 = 푂퐹, 同①可得四边形 DEBF 为平行四边形; 只有①③④可以. 所以不能判断的有 1 个, 3.B 解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐷 = 퐵퐶,푂퐵 = 푂퐷,푆△ 퐵퐶퐷 = 푆△ 퐴퐵퐷, ∵ 퐴퐸 ⊥ 퐵퐷于点 E,퐶퐹 ⊥ 퐵퐷于点 F, ∴ 퐶퐹//퐴퐸,푆△ 퐵퐶퐷 = 1 2퐵퐷 ⋅ 퐶퐹,푆△ 퐴퐵퐷 = 1 2퐵퐷 ⋅ 퐴퐸, ∴ 퐶퐹 = 퐴퐸, ∴ 四边形 CFAE 是平行四边形, ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸,퐸푂 = 퐹푂,故①②正确; ∵ 푂퐵 = 푂퐷, ∴ 퐷퐸 = 퐵퐹,③正确; 由以上可得出: △ 퐶퐷퐹≌ △ 퐵퐴퐸, △ 퐶퐷푂≌ △ 퐵퐴푂, △ 퐶퐷퐸≌ △ 퐵퐴퐹, △ 퐶퐹푂≌ △ 퐴퐸푂, △ 퐶퐸푂≌ △ 퐴퐹푂, △ 퐴퐷퐹≌ △ 퐶퐵퐸, △ 퐷푂퐴≌ △ 퐶푂퐵等,故④错 误. 故正确的有 3 个. 4.B 解: ∵ ▱ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷且퐴퐵 = 퐶퐷, 同理퐶퐷//퐸퐹且퐶퐷 = 퐸퐹. ∴ 퐴퐵//퐸퐹且퐴퐵 = 퐸퐹, ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形. 故①正确; ∵ ▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且퐴퐵 = 퐶퐷 = 퐸퐹, ∴ 퐴퐷 = 퐴퐸,即 △ 퐴퐷퐸是等腰三角形. 故②正确; ∵ ∠퐵퐴퐷 = 60°,平行四边形 ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷, ∴ ∠퐴퐷퐶 = 180°−∠퐵퐴퐷 = 180°−60° = 120°, 则▱ABCD 与▱DCFE 的角都不相等,故不全等. 故③错误; ∵ ▱DCFE 中,∠퐶퐷퐸 = ∠퐶퐹퐸 = 110°, ∴ ∠퐴퐷퐸 = 360°−∠퐴퐷퐶−∠퐶퐷퐸 = 360°−120°−110° = 130°, 又 ∵ 퐴퐷 = 퐷퐸, ∴ ∠퐷퐴퐸 = 180°−∠퐴퐷퐸 2 = 180°−130° 2 = 25°.第 8 页,共 13 页 故④正确. 5.C 解:延长 BC 到 E 使퐵퐸 = 퐴퐷,又퐴퐷//퐵퐶,则四边形 ACED 是平行四边形, ∵ 퐵퐶 = 3,퐴퐷 = 6, ∴ 퐶是 BE 的中点, ∵ 푀是 BD 的中点, ∴ 퐶푀 = 1 2퐷퐸 = 1 2퐴퐵, ∵ 퐴퐶 ⊥ 퐵퐶, ∴ 퐴퐵 = 퐴퐶2 + 퐵퐶2 = 42 + 32 = 5, ∴ 퐶푀 = = 1 2퐴퐵 = 5 2 . 6.B 解:设 x 秒后,四边形 ABQP 是平行四边形, ∵ 푃以1푐푚/푠的速度由 A 向 D 运动,Q 以2푐푚/푠的速度由 C 出发向 B 运动, ∴ 퐴푃 = 푥푐푚,퐶푄 = 2푥푐푚, ∵ 퐵퐶 = 6푐푚, ∴ 푄퐵 = (6−2푥)푐푚, 当퐴푃 = 퐵푄时,四边形 ABQP 是平行四边形, ∴ 푥 = 6−2푥, 解得:푥 = 2. 7.A 解: ∵ 퐷퐸//퐴퐶,퐷퐹//퐴퐵, ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形, ∵ 푂是 EF 的中点,第 9 页,共 13 页 ∴ 푂也是 AD 的中点, ∴ 在整个运动过程中,O 的轨迹是 △ 퐴퐵퐶的中位线, 根据同底等高的三角形面积相等可知:在整个运动过程中, △ 푂퐵퐶的面积不变, 8.6 解: ∵ 퐴퐷//퐵퐶,퐴퐸//퐷퐶, ∴ 四边形 AECD 是平行四边形, ∴ 퐴퐸 = 퐶퐷,퐴퐷 = 퐸퐶, 又 ∵△ 퐴퐵퐸的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐸 + 퐴퐸 = 25푐푚, 梯形 ABCD 的周长 = 퐴퐵 + 퐵퐶 + 퐶퐷 + 퐴퐷 = 37푐푚, ∴ 2퐴퐷 = 梯形 ABCD 的周长− △ 퐴퐵퐸的周长 = 12푐푚, 9.甲和乙 解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐵//퐶퐷,∠퐵 = ∠퐷,퐴퐷//퐵퐶,퐴퐷 = 퐵퐶, 又 ∵ 퐵퐸 = 퐷퐹, ∴△ 퐴퐵퐸≌ △ 퐶퐷퐹, ∴ 퐴퐸 = 퐶퐹, ∴ 퐵퐶−퐵퐸 = 퐴퐷−퐷퐹, ∴ 퐴퐹 = 퐶퐸, ∵ 퐴퐹//퐶퐸, ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形,故甲正确; ∵ 퐴퐸//퐶퐹, 又 ∵ 퐴퐹//퐶퐸, ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形,故乙正确; 当添加퐴퐸 = 퐶퐹或∠퐸퐴퐹 = ∠퐴퐹퐶时,无法证明四边形 AFCE 是平行四边形, 10.2 3 解: ∵ 四边形 ABDC 是平行四边形, ∴ 퐴퐵//퐶퐷,퐴퐵 = 퐶퐷 = 2, 又퐴퐹//퐵퐷, ∴ 四边形 AFDB 是平行四边形, ∴ 퐴퐵 = 퐷퐹 = 2, ∵ 在平行四边形 ABCD 中,퐴퐵//퐶퐷,∠퐴퐵퐶 = 60°, ∴ ∠퐹퐶퐵 = 180°−60° = 120°, ∴ ∠퐹퐶퐸 = 180°−120° = 60°,第 10 页,共 13 页 ∴ ∠퐶퐹퐸 = 180°−90°−60° = 30°, ∵△ 퐶퐹퐸是直角三角形, ∴ 퐶퐸 = 1 2 퐶퐹 = 4 × 1 2 = 2, ∴ 在푅푡 △ 퐶퐸퐹中,퐸퐹 = 퐶퐹2−퐶퐸2 = 42−22 = 2 3. 11.140 解: 过 C 作퐶푀//퐴퐵,交 AD 于 M, ∵ ∠퐴 = 120°,∠퐵 = 60°, ∴ ∠퐴 + ∠퐵 = 180°, ∴ 퐴푀//퐵퐶, ∵ 퐴퐵//퐶푀, ∴ 四边形 ABCM 是平行四边形, ∴ 퐴퐵 = 퐶푀 = 60푐푚,퐵퐶 = 퐴푀 = 80푐푚,∠퐵 = ∠퐴푀퐶 = 60°, ∵ 퐴퐷//퐵퐶,∠퐶 = 150°, ∴ ∠퐷 = 180°−150° = 30°, ∴ ∠푀퐶퐷 = 60°−30° = 30° = ∠퐷, ∴ 퐶푀 = 퐷푀 = 60푐푚, ∴ 퐴퐷 = 60푐푚 + 80푐푚 = 140푐푚. 12.45° 解:连接 AC,BC, 根据勾股定理,퐴퐶 = 퐵퐶 = 5,퐴퐵 = 10, ∵ ( 5)2 + ( 5)2 = ( 10)2, ∴ ∠퐴퐶퐵 = 90°,∠퐶퐴퐵 = 45°. ∵ 퐴퐷//퐶퐹,퐴퐷 = 퐶퐹, ∴ 四边形 ADFC 是平行四边形, ∴ 퐴퐶//퐷퐹, ∴ ∠퐸퐷퐹 = ∠퐷퐴퐶(两直线平行,同位角相等), 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中, ∠1 + ∠퐷퐴퐵 = 90°(直角三角形中的两个锐角互余);第 11 页,共 13 页 又 ∵ ∠퐷퐴퐵 = ∠퐷퐴퐶 + ∠퐶퐴퐵, ∴ ∠1 + ∠퐶퐴퐵 + ∠퐷퐴퐶 = 90°, ∴ ∠1 + ∠퐷퐴퐶 = 45°, ∵ ∠2 = 90°−∠퐸퐷퐹 = 90°−∠퐷퐴퐶 = 90°−(45°−∠1) = 45° + ∠1, ∴ ∠2−∠1 = 45° 13.5.6 解:过 C 作 EB 的延长线的垂线于 M 点,因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以퐴퐷 = 퐵퐶, 所以퐴퐸 = 퐶퐸,令퐴퐸 = 푥, 在푅푡 △ 퐸푀퐶中,利用∠퐵퐶푀 = 300, 퐴퐷 = 퐵퐶 = 4,可得퐵푀 = 2, 所以퐶푀 = 2 3, 利用勾股定理可得(10−푋)2 +퐶푀2 = 푋2, 解得퐴퐸 = 5.6 14.(1)证明: ∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷于点 M,퐶푁 ⊥ 퐵퐷于点 N, ∴ ∠퐴푀푁 = ∠퐶푁푀 = 90°, ∴ 퐴푀//퐶푁(内错角相等,两直线平行), 在平行四边形 ABCD 中,퐴퐵 = 퐶퐷,퐴퐵//퐶퐷, ∴ ∠퐴퐵푀 = ∠퐶퐷푁, 在 △ 퐴퐵푀与 △ 퐷퐶푁中,{∠퐴퐵푀 = 퐶퐷푁 ∠퐴푀푁 = ∠퐶퐹퐸 = 90° 퐴퐵 = 퐶퐷 , ∴△ 퐴퐵푀≌ △ 퐶퐷푁(퐴퐴푆), ∴ 퐴푀 = 퐶푁, ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形; (2)解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 퐴퐷//퐵퐶, ∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠퐶퐵퐷 = 30°, ∵ 퐴푀 ⊥ 퐵퐷,∠퐴퐵푀 = 45°,퐴푀 = 2, ∴ 퐴퐵 = 2퐴푀 = 2 2,퐴퐷 = 2퐴푀 = 4, ∴ ▱ABCD 的周长 = (2 2 +4) × 2 = 4 2 +8. 15.证明:(1) ∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形, ∴ ∠퐴퐵퐶 = 60°, ∵ ∠퐸퐹퐵 = 60°,第 12 页,共 13 页 ∴ ∠퐴퐵퐶 = ∠퐸퐹퐵, ∴ 퐸퐹//퐷퐶(内错角相等,两直线平行), ∵ 퐷퐶 = 퐸퐹, ∴ 四边形 EFCD 是平行四边形; (2)连接 BE, ∵ 퐵퐸 = 퐸퐹,∠퐸퐹퐵 = 60°, ∴△ 퐸퐹퐵是等边三角形, ∵ 퐷퐶 = 퐸퐹, ∴ 퐸퐵 = 퐷퐶, ∵△ 퐴퐵퐶是等边三角形, ∴ ∠퐴퐶퐵 = 60°,퐴퐵 = 퐴퐶, ∴ ∠퐸퐵퐹 = ∠퐴퐶퐵, ∴△ 퐴퐸퐵≌ △ 퐴퐷퐶, ∴ 퐴퐸 = 퐴퐷. 16.解:(1)证明: ∵ 퐷퐹//퐴퐶,퐷퐸//퐴퐵, ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形. ∴ 퐴퐹 = 퐷퐸, ∵ 퐷퐹//퐴퐶, ∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐶 又 ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶, ∴ ∠퐵 = ∠퐶, ∴ ∠퐹퐷퐵 = ∠퐵 ∴ 퐷퐹 = 퐵퐹 ∴ 퐷퐸 + 퐷퐹 = 퐴퐵 = 퐴퐶; (2)图②中:퐴퐶 + 퐷퐸 = 퐷퐹, 图③中:퐴퐶 + 퐷퐹 = 퐷퐸; (3)当如图①的情况,퐷퐹 = 퐴퐶−퐷퐸 = 6−4 = 2; 当如图②的情况,퐷퐹 = 퐴퐶 + 퐷퐸 = 6 + 4 = 10. 17.解:(1)在 △ 푂퐴퐵中,∠푂퐴퐵 = 90°,∠퐴푂퐵 = 30°,푂퐵 = 2, ∴ 퐴퐵 = 푂퐵 = 1,푂퐴 = 푂퐵2−푂퐴2 = 4−1 = 3, ∴ 点 B 的坐标为( ,1); (2)证明: ∵ ∠푂퐴퐵 = 90°, ∴ 퐴퐵 ⊥ 푥轴, ∵ 푦轴 ⊥ 푥轴, ∴ 퐴퐵//푦轴,即퐴퐵//퐶퐸, ∵ ∠퐴푂퐵 = 30°, ∴ ∠푂퐵퐴 = 60°, ∵ 퐷퐵 = 퐷푂 = 1, ∴ 퐷퐵 = 퐴퐵 = 1, 3第 13 页,共 13 页 ∴ ∠퐵퐷퐴 = ∠퐵퐴퐷 = 120° ÷ 2 = 60°, ∴ ∠퐴퐷퐵 = 60°, ∵△ 푂퐵퐶是等边三角形, ∴ ∠푂퐵퐶 = 60°, ∴ ∠퐴퐷퐵 = ∠푂퐵퐶,即퐴퐷//퐵퐶, ∴ 四边形 ABCE 是平行四边形; (3)解:设 OG 的长为 x, ∵ 푂퐶 = 푂퐵 = 2, ∴ 퐶퐺 = 2−푥,由折叠的性质可得:퐴퐺 = 퐶퐺 = 8−푥,在푅푡 △ 퐴푂퐺中,퐴퐺2 = 푂퐺2 +푂 퐴2,即(2−푥)2 = 푥2 +( )2,3 查看更多

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