资料简介
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第十三章 全等三角形 线段垂直平分线与角平分线
1．如图，已知△ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB，下列确定 P 点的方法正确
的是( )
A．P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B．P 为∠A 角平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C．P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D．P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．如图，△ABC 的两个外角平分线相交于点 P，则下面结论正确的是( )
A．BP 不平分∠ABC B．BP 平分∠ABC
C．BP 平分∠APC D．PA＝PC
4．如图，C 是△ABE 的 BE 边上一点，F 在 AE 上，D 是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE，对于下列结论：①AD⊥
BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正确的结论有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．如图，△ABC 中，∠B＝40°，AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C
等于( )
A．28° B．25° C．22.5° D．20°2 4
6.如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B，C 为圆心，大于线段 BC 长度
一半的长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连结 BE，则下列结论：①ED⊥BC；
②∠A＝∠EBA；③EB 平分∠AED；④ED＝
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2AB 中，一定正确的是( )3
2
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④C
7. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点 E 在 BC 的延长线上，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACE
的平分线 CD 相交于点 D，连结 AD，下列结论中不正确的是( ) Y
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° I
C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°4
8．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，DE 是 AB 的垂直平分线，∠BAD∶∠BAC＝1∶3，则∠B＝______.C
9．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则 S△ABD∶S△ACD＝________，BD∶CD＝
________.f
10．如图，已知 BD⊥AN 于 B，交 AE 于点 O，OC⊥AM 于点 C，且 OB＝OC，如果∠OAB＝25°，则∠ADB＝
________.e
11．如图，∠AOB 内有点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝
5 cm，则△PMN 的周长为________cm.o
12．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，S△ABC＝45 cm2，AB＝12 cm，BC＝18 cm，
则 DE 的长是________．V
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13．如图，已知：CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，且 BD＝CE，BE 交 CD 于点 O.求证：AO 平分∠BAC.E
14．如图所示，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD，求证：点 P 在线段 CD 的垂直
平分线上． L
15．已知如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F.k
求证：AD 垂直平分 EF.g
16．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CE⊥AB 于点 E，AD＝AC，AF 平分∠CAB 交 CE 于点 F，DF 的延长线
交 AC 于点 G，试问：B 4 5 8 7 4 7 8
(1)DF 与 BC 有何位置关系？请说明理由；/
(2)FG 与 FE 有何数量关系？请证明你的结论．/
4
17．如图，△OBC 中，BC 的垂直平分线 DP 交∠BOC 的平分线于 D，垂足为 P.V
(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC 的度数；P
(2)若∠BOC＝α，则∠BDC＝________(直接写出结果)．x 4 5 8 7 4 7 8
答案： 4587478
1---5 BCBBA 6. B 7. Bc
8. 22.5°Q
9. 3∶4 3∶4=
10. 40°=
11. 5
12. 3cm
13. ∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，又∵∠BOD＝∠COE，BD＝CE，∴△BOD≌△COE，∴OD＝
OE，又由已知条件得△AOD 和△AOE 都是直角三角形，且 OD＝OE，OA＝OA，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO
＝∠EAO，即 AO 平分∠BAC
14. ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上，∴PA＝PB，∵PC⊥PA，PD⊥PB，∴∠BPD＝∠APC＝90°，又 AC＝BD，∴
Rt△APC≌Rt△BPD(H.L.)，∴PD＝PC，∴点 P 在线段 CD 的垂直平分线上
15. ∵AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠1＝∠2，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠
3＝∠4，∴AE＝AF，∵AD 是等腰三角形 AEF 的顶角平分线，∴AD 垂直平分 EF(三线合一)
16. (1)DF∥BC，理由是：∵AF 平分∠BAC，∴∠CAF＝∠DAF，在△CAF 和△DAF 中，{AC＝AD
∠CAF＝∠DAF
AF＝AF
，∴△
CAF≌△DAF(S.A.S.)，∴∠ADF＝∠ACF，∵CE⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＋∠
BCF＝90°，∠B＋∠BCF＝90°，∴∠B＝∠ACF＝∠ADF，∴DF∥BC
(2)FG＝EF，证明：∵DF∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AGF＝∠ACB＝90°，∴FG⊥AC，又∵CE⊥AB，AF 平分∠
CAB，∴FG＝EF
17.
(1)过点 D 作 DE⊥OB，交 OB 延长线于点 E，DF⊥OC 于 F，∵OD 是∠BOC 的平分线，∴DE＝DF，∵DP 是 BC
的垂直平分线，∴BD＝CD，在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，{DB＝DC
DE＝DF，∴△DEB≌△DFC(H.L.)，∴∠BDE＝∠
CDF，∴∠BDC＝∠EDF，∵∠EOF＋[JP]∠EDF＝180°，∠BOC＝60°，∴∠BDC＝∠EDF＝120°
(2)∵∠EOF＋∠EDF＝180°，∠BOC＝α，∴∠BDC＝∠EDF＝180°－α.故答案为：180°－α
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