资料简介
2020 年春人教版数学九年级下册
《相似》单元练习卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题
1．若 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段 d 的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．已知线段 a 是线段 b，c 的比例中项，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 ＝ ＝ ，若 S 四边形 BCED＝kS△
ADE，则 k 的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．在△ABC 中，DE∥FG∥BC，且 AD：AF：AB＝1：2：4，则S△ADE：S 四边形 DFGE：S 四边形 FBCG
等于（ ）
A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：7
5．如图，小芳在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔的距离 BE＝20
米，镜子与小芳的距离 ED＝2 米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端 A，已知小芳的眼睛
距地面的高度 CD＝1.5 米， 铁塔 AB 的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
6．如图，在△ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、AC、AB 上一点，连接 BE 交 FD 于点 G，若四
边形 AFDE 是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形 ABCD 边长为 3，M、N 在对角线 AC 上，且∠MBN＝45°，作 ME⊥AB 于点 E，
NF⊥BC 于点 F，反向延长 ME、NF 交于点 G，则 GE•GF 的值是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．
8．如图，在▱ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的中点，AE、AF 分别交 BD 于点 G、H，则图中
阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为（ ）
A．7：12 B．7：24 C．13：36 D．13：72
9．如图，四边形 ABCD 与四边形 GBEF 是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 A B．点 B C．点 F D．点 D
10．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB ，AC 上，DE∥BC，且 DE 将△ABC 分成面积相等
的两部分，那么 的值为（ ）
A． ﹣1 B． +1 C．1 D．
11．如图，△ABC 中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影
三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD
于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论：
①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝ ：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
13．点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB＝2cm，则较长线段 BC 的长是 ．
14．已知 ＝ ，则 ＝ ．
15．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 （约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩
形．如图，矩形 ABCD 为黄金矩形，宽 AD＝ ，则长 AB 为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中有两点 A（6，0）和 B（6，3），以原点 O 为位似中心，相似
比为 ，把线段 AB 缩短为线段 CD，其中点 C 与点 A 对应，点 D 与点 B 对应，且 CD 在 y
轴右侧，则点 D 的坐标为 ．
17．如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC，
CD 于点 P，Q．平行四边形 ABCD 的面积为 6，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题
18．如图，在△ABC 中，∠CAB＝90°，D 是边 BC 上一点，AB2＝BD•BC，E 为线段 AD 中点，
连结 CE 并延长交 AB 于点 F．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若 AF：BF＝1：3，求证：CD：DB＝1：2．
19．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点，
∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求 BP 的长．
小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得 BP 的长．
请回答：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝ ．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴ ．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴ ＝ ．
∵AP＝1，
∴PC＝ ．
∴PB＝ ．
参考小军的思路，解决问题：
如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30
°，求 的值；
20．已知：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别在边 BC、DC 上，AB2＝BE•DC，DE：EC
＝3：1，F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G．
（1）找出图中与△ACD 相似的三角形，并说明理由；
（2）当 DF 平分∠ADC 时，求 DG：DF 的值；
（3）如图 2，当∠BAC＝90°，且 DF⊥AE 时，求 DG：DF 的值．
21．已知不等臂跷跷板 AB 长为 3 米．跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的点 H 的距离 OH＝0.6
米．当跷跷板 AB 的一个端点 A 碰到地面时（如图 1），AB 与直线 AH 的夹角∠OAH 的度数
为 30°．
（1）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图 2），跷跷板 AB 与直线 BH 的夹角∠ABH 的
正弦值是多少？
（2）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图 2），点 A 到直线 BH 的距离是多少米？
22．如图，已 知 A、B 两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点 P 从点 A 出发，以每秒 2
个长度单位的速度沿 AO 向 O 运动，在点 P 出发的同时，动直线 EF 从 x 轴出发，以每秒 1
个长度单位沿 y 轴方向向上平移，分别与 y 轴、线段 AB 交于 EP、FP．设运动时间为 ts
（0＜t≤2）．
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△EOP 与△AOB 相似？若存在，请求出所
有符合题意的 t 的值；若不存在，请说明理由．
（2）若△PEF 是等腰三角形，求 t 的值．
参考答案
一．选择题
1．解：已知 a，b，c，d 是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入 a＝5cm，b＝2.5cm，c＝′0cm，
解得：d＝5．
故线段 d 的长为 5cm．
故选：C．
2．解：∵线段 a 是线段 b，c 的比例中项，
∴a2＝bc，
由 A 得，b2＝ac，故错误；
由 B 得，a2＝bc，故正确；
由 C 得，c2＝ab，故错误；
由 D 得，ba2＝ac，故错误；
故选：B．
3．解：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE：S△ABC＝1：9
∴S 四边形 BCED：S△ADE＝8：1
∵S 四边形 BCED＝kS△ADE，
∴k＝8
故选：C．
4．解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵AD：AF：AB＝1：2：4，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：16，
设△ADE 的面积是 a，则△AFG 和△ABC 的面积分别是 4a，16a，
则 S 四边形 DFGE 和 S 四边形 FBCG 分别是 3a，12a，
∴S△ADE：S 四边形 DFGE：S 四边形 FBCG＝1：3：12．
故选：C．
5．解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝15 米．
故选：B．
6．解：∵四边形 AFDE 是平行四边形，
∴DF∥AC，DE∥AF，
∴ ， ，
故 A，B 正确，
∵DF∥AC，
∴ ，
故 C 错误；
∵DF∥AC，
∴ ，
∵四边形 AFDE 是平行四边形，
∴AF＝DE，
∴ ，
故 D 正确；
故选：C．
7．解：如图所示，过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，过 N 作 NP⊥AB 于 P，则
Rt△APN 中，AN＝ PN＝ EG，
Rt△CMQ 中，CM＝ MQ＝ GF，
∵正方形 ABCD 中，AC 是对角线，
∴∠BAN＝∠MCB＝45°，
又∵∠MBN＝45°，
∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB，
∴△ABN∽△CMB，
∴ ＝ ，即 CM×AN＝AB×CB，
∴ GF× EG＝9，即 2GF×EG＝9，
∴GE•GF 的值是 ，
故选：D．
8．【解答】解：∵BE∥AD，E 是 B 的中点，
∴△BEG∽△DAG，
∴ ＝ ＝ ，即 BG＝ BD ，
同理可得，DH＝ BD，
∴GH＝ BD，
∴S△AGH＝ S△ABD ＝ S 四边形 ABCD，
∵E、F 分别是边 BC、CD 的中点，
∴EF∥BD，EF＝ BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴ ＝ ＝ ，
∴S△CEF＝ S△BCD＝ S 四边形 ABCD，
∴图中阴影部分图形的面积＝（ + ）S 四边形 ABCD＝ S 四边形 ABCD，
即图中阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为＝7：24，
故选：B．
9．解：∵四边形 ABCD 与四边形 GBEF 是位似图形，
∴点 A 与点 G 是对应点，点 C 与点 E 是对应点，
∵AG、CE 交于点 B，
∴位似中心的点 B，
故选：B．
10．解：如图所示：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
设 DE：BC＝1：x，
则由相似三角形的性质可得：
S△ADE：S△ABC＝1：x2
又∵DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，
∴x2＝2，
∴x＝ ，即 ＝ ＝ ，
故选：D．
11．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选
项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
12．解：∵四边形 A BCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，
∴∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∵EC 平分∠DCB，
∴∠ECB＝ ∠DCB＝60°，
∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，
∴△ECB 是等边三角形，
∴EB＝BC，
∵AB＝2BC，
∴EA＝EB＝EC，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，EA＝EB，
∴OE∥BC，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ ＝ ＝ ，
∴OF＝ OB，
∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，
设 BC＝BE＝EC＝a，则 AB＝2a，AC＝ a，OD＝OB＝ ＝ a，
∴BD＝ a，
∴AC：BD＝ a： a＝ ：7，故③正确，
∵OF＝ OB＝ a，
∴BF＝ a，
∴BF2＝ a2，OF•DF＝ a•（ a+ a）＝ a2，
∴BF2＝OF•DF，故④正确，
故选：B．
二．填空题（共 5 小题）
13．解：较长线段 BC＝ AB＝ ×2＝（ ﹣1）cm．
故答案为（ ﹣1）cm．
14．解：∵ ＝ ，
∴7a﹣7b＝3a+3b，
∴4a＝10b，
∴ ＝ ，
故答案 为： ．
15．解：∵矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD＝ ，
∴ ，
，
∴AB＝2，
故答案为 2．
16．解：∵以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩短为线段 CD，B（6，3），
∴点 D 的坐标为（6× ，3× ），即（3， ），
故答案为：（3， ）．
17．解：∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，
∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，
∴平行四边形 ACED 的面积＝平行四边形 ABCD 的面积＝6，△BCP∽△BDE，△ABP∽△CQP
∽△DQR，
∴△ABC 的面积＝△CDE 的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，
∵点 R 为 DE 的中点，
∴CP：DR＝1：2，
∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，
∵S△ABC＝3，
∴S△ABP＝ S△ABC＝ ，
∵CP：AP＝1：3，
∴S△PCQ＝ S△ABP＝ ，
∵CP：DR＝1：2，
∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，
∴S 阴影＝S△PCQ+S△DQR ＝ ．
故答案为： ．
三．解答题（共 5 小题）
18．证明：（1）∵AB2＝BD•BC，
∴ ＝ ，又∠B＝∠B，
∴△ABD∽△ CBA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即 AD⊥BC．
（2）作 EG∥CB 交 AB 于点 G，
则△AEG∽△ADB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2EG，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵EG∥CB，
∴△FEG∽△FCB，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝3EG，
∴CB：DB＝3：2．
∴CD：DB＝1：2．
19．阅读材料：
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴ ．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴CB＝ AC，
∴ ＝ ．
∵AP＝1，
∴PC＝ AP＝ ．
∴PB＝ PC＝2．
故答案为：∠PBC； ；2；
解决问题：
解：作 AD⊥BC 于 D，如图 2 所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB ＝30°．BD＝CD＝ BC，
∴AD＝ AC，CD＝ AD，
∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2 AD，
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴ ＝ ＝ ，
设 AP＝a，则 PC＝ ，
∴PB＝3a．
∴ ．
20．解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2 ＝BE•DC，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C， ＝ ，
∴△ABE∽△DCA．
∵△ABE∽△DCA，
∴∠AED＝∠DAC．
∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE＝∠C．
∴△ADE∽△CDA；
（2）∵△ADE∽△CDA，
又∵DF 平分∠ADC，
∴ ＝ ＝ ，
设 CE＝a，则 DE＝3CE＝3a，CD＝4a，
∴ ＝ ，
解得：AD＝2 a，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠DAE＝∠C＝45°
∵DG⊥AE，
∴∠DAG＝∠ADF＝45°，
∴AG＝DG＝ AD＝ ×2 a＝ a，
∴EG＝ ＝ ＝ a，
∴AE＝AG+EG＝（ + ）a，
∵∠AED＝∠DAC，
∴△ADE∽△DFA，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ＝ ＝4（ ﹣ ）a，
∴ ＝ ＝ ．
21．（1）证明：在 Rt△AOH 中，
∵∠AHO＝90°，∠AOH＝30°，OH＝0.6，
∴AO＝2OH＝2×0.6＝1.2（m），
∴OB＝AB﹣OA＝3﹣1.2＝1.8（m），
在 Rt△BOH 中，
∵∠BHO＝90°，OH＝0.6，OB＝1.8，
∴ ；
（2）解：过点 A 向直线 BH 作垂线，垂足为 M，
在 Rt△ABM 中，
∵∠AMB＝90°， ，AB＝3，
∴ ，
答：∠ABH 的正弦值为 ，点 A 到直线 BH 的距离是 1 米．
22．解：（1）存在，理由如下：
∵A、B 两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
当∠EPO＝∠BAO 时，△EOP∽△BOA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t＝ ；
当∠EPO＝∠ABO 时，△EOP∽△AOB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t＝ ；
综上所述，存在某一时刻 t，使得△EOP 与△AOB 相似，t 的值为 s 或 s；
（2）分三种情况：
①当 PE＝PF 时，如图 1 所示：作 PG⊥EF 于 G，如图 1 所示：
则 PG＝EG＝OP，
∴EF＝2EG＝2OP，
∵EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：EF＝ （3﹣t），
∴ （3﹣t）＝2（4﹣2t），
解得：t＝ ；
②当 EP＝EF 时，t2+（4﹣2t）2＝[ （3﹣t）]2，
整理得：29t2+24t＝0，
解得：t＝0（不合题意舍去）或 t＝﹣ （不合题意舍去）；
③当 FE＝FP 时，作 FG⊥OA 于 G，如图 3 所示：
则 OG＝EF＝ （3﹣t），PG＝OG﹣OP＝ （3﹣t）﹣（4﹣2t），
∵FE2＝FP2，
∴[ （3﹣t）]2＝t2+[ （3﹣t）﹣（4﹣2t）]2，
解得：t＝16+4 （不合题意舍去）或 t＝16﹣4 ；
综上所述，若△PEF 是等腰三角形，t 的值为 s 或（16﹣4 ）s．
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