天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级下册 / 第二章 二次函数 / 4 二次函数的应用 / 北师大版数学九年级下册 第2章 二次函数 复习练习【含解析】.doc
资料简介
第 2 章 二次函数
一．选择题（共 13 小题）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝（x+3）2﹣x2
C．y＝ D．y＝x（x﹣1）
2．抛物线 y＝﹣3（x+1）2+2 的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
3．已知 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点在抛物线 y＝x2﹣2x+m 上，则 y1、y2、y3
的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
4．二次函数 y＝2（x﹣3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象
的函数表达式是（ ）
A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12
C．y＝2x2+12x+18 D．y＝﹣2x2﹣6x+18
5．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ）
①2a+b＞0；
②a+b≠m（am+b）（m≠1 的实数）；
③a+c＞2；
④﹣1＜x＜0 在中存在一个实数 x0，使得 x0＝﹣ ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．已知二次函数 y＝（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，
与其对对应的函数值 y 的最小值为 10，则 h 的值为（ ）
A．﹣2 或 4 B．0 或 6 C．1 或 3 D．﹣2 或 6
7．已知二次函数 y＝ax2﹣1 的图象经过点（1，﹣2），那么 a 的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
8．函数 y＝ x2+2x+1 写成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式是（ ）
A．y＝ （x﹣1）2+2 B．y＝ （x﹣1）2+
C．y＝ （x﹣1）2﹣3 D．y＝ （x+2）2﹣1
9．二次函数 y＝﹣x2+1 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，下列说法错误的是
（ ）
A．点 C 的坐标是（0，1）
B．线段 AB 的长为 2
C．△ABC 是等腰直角三角形
D．当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大
10．已知关于 x 的方程 有一个正的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≤0 D．k≥0
11．如图，直线 y1＝﹣x+k 与抛物线 （a≠0）交于点 A（﹣2，4）和点 B．若 y1＜
y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2 或 x＞1 D．x＜﹣2 或 x＞
12．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 a 辆单车，计划第三个月
投放单车 y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x
的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
13．如图，OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，点 B 在抛物线 y＝
ax2（a＜0）的图象上，则 a 的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．
二．填空题（共 8 小题）
14．已知函数 y＝2xm﹣1+3 的图象是一条抛物线，则 m＝ ．
15．二次函数图象上部分点的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则使 y＜0 的 x 的取值范围为 ．
16．如果一条抛物线经过点 A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线 ．
17．已知二次函数 y＝a2x2+8a2x+a（a 是常数，a≠0），当自变量 x 分别取﹣6、﹣4 时，对
应的函数值分别为 y1、y2，那么 y1、y2 的大小关系是：y1 y2（填“＞”、“＜”或
“＝”）．
18．抛物线 y＝（a﹣2）x2 在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．
19．若点 A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则 k 的
值等于 ．
20 ． 把 抛 物 线 y＝ 2 （x﹣ 1 ） 2+1 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 得 到 的 抛 物 线 的 解 析 式
为 ．
21．如图，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 的图象，C2 是函数 的图象，C3 是函
数 的图象，则阴影部分的面积是 平方单位（结果保留π）．
三．解答题（共 6 小题）
22．已知二次函数 y＝（x﹣1）2+n，当 x＝2 时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面
直角坐标系中画出该函数的图象．
23．已知抛物线 y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
24．已知二次函数 y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点 A（4，﹣6），与 y 轴交于点 B，顶
点为 C（m，n）．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当 a＞0 时，判断 n+6＜0 是否成立？并说明理由．
25．如图，二次函数 y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象与坐标轴交于点 A（1，0）和点 C．经
过点 A 的直线 y＝kx+b（k≠0）与二次函数图象交于另一点 B，点 B 与点 C 关于二次函数
图象的对称轴对称．
（1）求一次函数表达式；
（2）点 P 在二次函数图象的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，请求出点 P 的坐标．
26．某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件．市场调
查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10
件．设每件涨价 x 元（x 为非负整数），每星期的销量为 y 件．
（1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）设利润为 W 元，写出 W 与 x 的函数关系式．
27．如图，抛物线 y＝ax2+bx（a≠0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y＝2x 经过抛物线的顶点
M．已知该抛物线的对称轴为直线 x＝2，交 x 轴于点 B．
（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；
（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP．设点 P 的横坐
标为 m，△OBP 的面积为 S，当 m 为多少时，s＝ ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝（x+3）2﹣x2
C．y＝ D．y＝x（x﹣1）
【分析】由二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0），对选项中的解析式进行判断即
可．
【解答】解：二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0），
y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
故选：D．
2．抛物线 y＝﹣3（x+1）2+2 的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2+2，
∴顶点为（﹣1，2），
故选：C．
3．已知 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点在抛物线 y＝x2﹣2x+m 上，则 y1、y2、y3
的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】分别计算自变量为﹣1、1 和 2 所对应的函数值，然后比较函数值的大小即
可．
【解答】解：当 x＝﹣1 时，y1＝x2﹣2x+m＝1+2+m＝3+m；当 x＝1 时，y2＝x2﹣2x+m＝1﹣
2+m＝﹣1+m；当 x＝2 时，y3＝x2﹣2x+m＝4﹣4+m＝m，
所以 y2＜y3＜y1．
故选：D．
4．二次函数 y＝2（x﹣3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象
的函数表达式是（ ）
A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12
C．y＝2x2+12x+18 D．y＝﹣2x2﹣6x+18
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：二次函数 y＝2（x﹣3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位
后，所得图象的函数表达式是：y＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即 y＝2x2+12x+18．
故选：C．
5．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ）
①2a+b＞0；
②a+b≠m（am+b）（m≠1 的实数）；
③a+c＞2；
④﹣1＜x＜0 在中存在一个实数 x0，使得 x0＝﹣ ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由抛物线的对称轴可知： ＜1，
由抛物线的图象可知：a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故①正确；
②当 x＝1 时，y＝a+b+c＝0，
当 y＝ax2+bx+c＝0，
∴x＝1 或 x＝m，
∴当 m≠1 时，a+b＝am2+bm，故②错误；
③由图象可知：x＝﹣1，y＝2，
即 a﹣b+c＝2，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣1，
∴c＝1﹣a
∴a+c＝a+1﹣a＝1＜2，故③错误；
④由于 a+b＝﹣c＝a﹣1，
∴x0＝ ＝﹣1+ ，
∵0＜ ＜1，a＞0，b＝﹣1，
∴0＜ ＜2，
∴﹣1＜﹣1+ ＜1
∴﹣1＜x0＜1，故④正确；
故选：B．
6．已知二次函数 y＝（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，
与其对对应的函数值 y 的最小值为 10，则 h 的值为（ ）
A．﹣2 或 4 B．0 或 6 C．1 或 3 D．﹣2 或 6
【分析】由解析式可知该函数在 x＝h 时取得最小值 1，x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；根据 1≤x≤3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情
况：①若 h＜1≤x≤3，x＝1 时，y 取得最小值 10；②若 1≤x≤3＜h，当 x＝3 时，y 取
得最小值 10，分别列出关于 h 的方程求解即可．
【解答】解：∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，
∴①若 h＜1≤x≤3，x＝1 时，y 取得最小值 10，
可得：（1﹣h）2+1＝10，
解得：h＝﹣2 或 h＝4（舍）；
②若 1≤x≤3＜h，当 x＝3 时，y 取得最小值 10，
可得：（3﹣h）2+1＝10，
解得：h＝6 或 h＝0（舍）；
③若 1＜h＜3 时，当 x＝h 时，y 取得最小值为 1，不是 10，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h 的值为﹣2 或 6，
故选：D．
7．已知二次函数 y＝ax2﹣1 的图象经过点（1，﹣2），那么 a 的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到 a 的值．
【解答】解：把（1，﹣2）代入 y＝ax2﹣1 得 a﹣1＝﹣2，解得 a＝﹣1．
故选：D．
8．函数 y＝ x2+2x+1 写成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式是（ ）
A．y＝ （x﹣1）2+2 B．y＝ （x﹣1）2+
C．y＝ （x﹣1）2﹣3 D．y＝ （x+2）2﹣1
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方
式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝ x2+2x+1＝ （x2+4x+4）﹣2+1＝ （x+2）2﹣1
故选：D．
9．二次函数 y＝﹣x2+1 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，下列说法错误的是
（ ）
A．点 C 的坐标是（0，1）
B．线段 AB 的长为 2
C．△ABC 是等腰直角三角形
D．当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大
【分析】判断各选项，点 C 的坐标可以令 x＝0，得到的 y 值即为点 C 的纵坐标；令 y＝
0，得到的两个 x 值即为与 x 轴的交点坐标 A、B；且 AB 的长也有两点坐标求得，对函数
的增减性可借助函数图象进行判断．
【解答】解：A，令 x＝0，y＝1，则 C 点的坐标为（0，1），正确；
B，令 y＝0，x＝±1，则 A（﹣1，0），B（1，0），|AB|＝2，正确；
C，由 A、B、C 三点坐标可以得出 AC＝BC，且 AC2+BC2＝AB2，则△ABC 是等腰直角三角形，
正确；
D，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，错误．
故选：D．
10．已知关于 x 的方程 有一个正的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≤0 D．k≥0
【分析】首先由 ，可得：k＝x3+x，然后由关于 x 的方程 有一个正的
实数根，可得 k 的取值范围．
【解答】解：∵ ，
∴k＝x3+x，
∵关于 x 的方程 有一个正的实数根，
∴x＞0，
∴k＞0．
故选：B．
11．如图，直线 y1＝﹣x+k 与抛物线 （a≠0）交于点 A（﹣2，4）和点 B．若 y1＜
y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2 或 x＞1 D．x＜﹣2 或 x＞
【分析】将交点 A 分别代入两个表达式求出 k 和 a，再求出 B 的坐标，即可求不等式的
解；
【解答】解：将点 A（﹣2，4）代入 y1＝﹣x+k，
∴k＝2，
再将点 A（﹣2，4）代入 ，
∴a＝1，
∴y＝﹣x+2 与 y＝x2 交于两点，
∴B（1，1），
∴y1＜y2 时，x＜﹣2 或 x＞1；
故选：C．
12．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 a 辆单车，计划第三个月
投放单车 y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x
的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设
该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，然后根据已知条件可得出方
程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，
依题意得第三个月第三个月投放单车 a（1+x）2 辆，
则 y＝a（1+x）2．
故选：A．
13．如图，OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，点 B 在抛物线 y＝
ax2（a＜0）的图象上，则 a 的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．
【分析】连接 OB，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，若 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，那么∠BOD
＝30°；在正方形 OABC 中，已知了边长，易求得对角线 OB 的长，进而可在 Rt△OBD 中
求得 BD、OD 的值，也就得到了 B 点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得
待定系数 a 的值．
【解答】解：如图，连接 OB，过 B 作 BD⊥x 轴于 D；
则∠BOC＝45°，∠BOD＝30°；
已知正方形的边长为 1，则 OB＝ ；
Rt△OBD 中，OB＝ ，∠BOD＝30°，则：
BD＝ OB＝ ，OD＝ OB＝ ；
故 B（ ，﹣ ），
代入抛物线的解析式中，得：
（ ）2a＝﹣ ，
解得 a＝﹣ ；
故选：B．
二．填空题（共 8 小题）
14．已知函数 y＝2xm﹣1+3 的图象是一条抛物线，则 m＝ 3 ．
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【解答】解：依题意得：m﹣1＝2，
解得 m＝3．
故答案是：3．
15．二次函数图象上部分点的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则使 y＜0 的 x 的取值范围为 ﹣2＜x＜3 ．
【分析】根据图表数据，描点连线，作出二次函数图象，然后根据图象解答．
【解答】解：作二次函数图象如图，由图可知，当﹣2＜x＜3 时，y＜0．
故答案为：﹣2＜x＜3．
16．如果一条抛物线经过点 A（2，5）， B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线 x＝﹣
．
【分析】因为 A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B 关于 x＝ ＝﹣ 对称，
即可求抛物线的对称轴．
【解答】解：因为 A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，
∴A、B 关于 x＝ ＝﹣ 对称，
∴抛物线的对称轴 x＝﹣ ，
故答案为 x＝﹣ ．
17．已知二次函数 y＝a2x2+8a2x+a（a 是常数，a≠0），当自变量 x 分别取﹣6、﹣4 时，对
应的函数值分别为 y1、y2，那么 y1、y2 的大小关系是：y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或
“＝”）．
【分析】求出二次函数的对称轴 x＝﹣4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的
增大而减小，即可求解．
【解答】解：y＝a2x2+8a2x+a＝a2（x2+8x）+a＝a2（x+4）2+a﹣16a2，
∴对称轴 x＝﹣4，
∵x 分别取﹣6、﹣4 时，在对称轴左侧，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
18．抛物线 y＝（a﹣2） x2 在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a 的取值范围是 a＜
2 ．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则 a﹣2＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝（a﹣2）x2 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a﹣2＜0，解得 a＜2．
故答案为 a＜2．
19．若点 A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则 k 的
值等于 6 ．
【分析】利用抛物线的对称性得到 A 和 B 点，C 点和 D 点为抛物线上的两组对称点，由
点 A、B 的坐标得到抛物线的对称轴，然后利用对称轴求出 k 的值．
【解答】解：∵抛物线经过 A（﹣1，7）、B（5，7），
∴点 A、B 为抛物线上的对称点，
∴抛物线解析式为直线 x＝2，
∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，
即 C（﹣2，﹣3）与 D（k，﹣3）关于直线 x＝2 对称，
∴k﹣2＝2﹣（﹣2），
∴k＝6．
故答案为 6．
20．把抛物线 y＝2（x﹣1）2+1 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝
2x2+1 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：将抛物线 y＝2（x﹣1）2+1 向左平移 1 个单位长度后，得到的抛物线的表
达式为 y＝2（x﹣1+1）2+1．即：y＝2x2+1，
故答案为：y＝2x2+1．
21．如图，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 的图象，C2 是函数 的图象，C3 是函
数 的图象，则阴影部分的面积是 平方单位（结果保留π）．
【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，C1 是函数 的图象，C2 是函数
的图象，C3 是函数 的图象，得出阴影部分面积即可．
【解答】解：抛物线 y＝ x2 与抛物线 y＝﹣ x2 的图形关于 x 轴对称，直线 y＝ x
与 x 轴的正半轴的夹角为 60°，
根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇
形，
并且扇形的圆心角为 150°，半径为 2，
所以：S 阴影＝ ＝ ．
故答案为： ．
三．解答题（共 6 小题）
22．已知二次函数 y＝（x﹣1）2+n，当 x＝2 时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面
直角坐标系中画出该函数的图象．
【分析】将（2，2）代入 y＝（x﹣1）2+n 求得 n 的值即可，再由函数解析式画出函数图
象．
【解答】解：∵二次函数 y＝（x﹣1）2+n，当 x＝2 时，y＝2，
∴2＝（2﹣1）2+n，
解得 n＝1，
∴该二次函数的解析式为 y＝（x﹣1）2+1．
列表得：
如图：
23．已知抛物线 y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
【分析】（1）直接利用抛物线对称轴方程求得对称轴即可；
（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；
【解答】解：（1）抛物线的对称轴方程为 x＝﹣ ＝ ；
（2）y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x+1）（x﹣4），
当（x+1）（x﹣4）＝0，即 x＝﹣1 或 4 时 y＝0，
∴抛物线一定经过（﹣1，0），（4，0）；
24．已知二次函数 y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点 A（4，﹣6），与 y 轴交于点 B，顶
点为 C（m，n）．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当 a＞0 时，判断 n+6＜0 是否成立？并说明理由．
【分析】（1）求当 x＝0 时 y 的值即求出二次函数图象与 y 轴交点 B 的坐标；
（2）把点 A 坐标代入二次函数解析式，化简即得求证的结果；
（3）根据顶点坐标公式，用含 a、b 的式子表示顶点 C 的纵坐标 n，求得 n+6 的值后由
a、b 的符号取值判定式子的正负性．
【解答】解：（1）∵x＝0 时，y＝﹣6
∴点 B 坐标为（0，﹣6）
（2）证明：∵二次函数的图象经过点 A（4，﹣6）
∴16a+4b﹣6＝﹣6
∴4a+b＝0
（3）当 a＞0 时，n+6＜0 成立，理由如下：
∵n＝
∴n+6＝
∵a＞0，4a+b＝0 即 b≠0
∴b2＞0
∴ ＜0
∴n+6＜0 成立
25．如图，二次函数 y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象与坐标轴交于点 A（1，0）和点 C．经
过点 A 的直线 y＝kx+b（k≠0）与二次函数图象交于另一点 B，点 B 与点 C 关于二次函数
图象的对称轴对称．
（1）求一次函数表达式；
（2）点 P 在二次函数图象的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，请求出点 P 的坐标．
【分析】（1）先利用对称轴方程确定抛物线的对称轴是直线 x＝2，再利用抛物线的对称
性确定点 B 的坐标（4，3），然后利用待定系数法求一次函数表达式；
（2）连接 AB 交直线 x＝2 于点 P，如图，利用两点之间线段最短判断此时△ACP 的周长
最小，然后计算自变量为 2 对应的一次函数值即可得到满足条件的 P 的坐标．
【解答】解：（1）二次函数 y＝ax2﹣4ax+3 的对称轴是直线 x＝﹣ ＝2，
而点 C 的坐标为（0，3），
∵点 B 与点 C 关于二次函数图象的对称轴对称．
∴点 B 的坐标（4，3），
把 A（1，0）和 B（4，3）代入 y＝kx+b 得 ，解得 ，
∴一次函数表达式为 y＝x﹣1；
（2）连接 AB 交直线 x＝2 于点 P，如图，
∵点 B 与点 C 关于二次函数图象的对称轴对称．
∴PC＝PB，
∴PC+PA＝PB+PA＝AB，
∴此时 PC+PA 的值最小，△ACP 的周长最小，
当 x＝2 时，y＝x﹣1＝2﹣1＝1，
∴满足条件的 P 的坐标（2，1）．
26．某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件．市场调
查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10
件．设每件涨价 x 元（x 为非负整数），每星期的销量为 y 件．
（1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）设利润为 W 元，写出 W 与 x 的函数关系式．
【分析】（1）涨价为 x 元，可用 x 表示出每星期的销量，并得到 x 的取值范围；
（2）根据总利润＝销量×每件利润可得出利润的表达式．
【解答】解：（1）设每件涨价 x 元由题意得，
每星期的销量为 y＝150﹣10x＝﹣10x+150，（0≤x≤5 且 x 为整数）；
（2）设每星期的利润为 W 元，
W＝（x+40﹣30）×（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500．
27．如图，抛物线 y＝ax2+bx（a≠0）交 x 轴正半轴于点 A，直线 y＝2x 经过抛物线的顶点
M．已知该抛物线的对称轴为直线 x＝2，交 x 轴于点 B．
（1）求 M 点的坐标及 a，b 的值；
（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP．设点 P 的横坐
标为 m，△OBP 的面积为 S，当 m 为多少时，s＝ ．
【分析】（1）通过直线 y＝2x 确定 M 点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上
点的坐标特征列关于 a、b 的方程组，再解方程组得到 a、b 的值；
（2）设 P（m，﹣m2+4m），利用三角形面积公式得到 ×2×（﹣m2+4m）＝ ，然后解方
程求出即可得到满足条件的 m 的值．
【解答】解：（1）将 x＝2 代入 y＝2x 得 y＝4
∴M（2，4），
根据题意得 ，解得 ；
（2）抛物线解析式为 y＝﹣x2+4x，
设 P（m，﹣m2+4m），B（2，0）
∵ ×2×（﹣m2+4m）＝ ，
m2﹣4m＝﹣ ，
解得 m1＝ ，m2＝ ，
∵P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，
∴m 的值为 ．
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