资料简介
《二次根式》典型例题及解法
1、 判断所给式子是否是二次根式
下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，，，，，
2、求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围
使代数式有意义的 x 的取值范围是
方法：(1)如果二次根式的被开方数是整式，那么只要满足被开方数是非负数即可；
(2)如果被开方数是一个分式，那么首先要确保分式有意义，即分母不等于 0；其次要保证分
式的值不小于 0，即分子等于 0 或分子、分母同号。例如，或
3、利用二次根式的性质进行化简
(1)当 m3 时，化简 ;
(2)化简 (分 x5 三种情形讨论)
4、利用二次根式的性质进行化简及其逆用
(1)计算： ， (2)将 7，写成一个数的平方的形式 ；
5、利用数轴和二次根式的性质进行化简或计算
实数 a,b 在数轴上对应的点如图，化简
6、利用二次根式的非负性求值
(1)常见的三个具有非负性的式子：≥O，②≥0，③
(2)若几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，
（1）已知 求 x，y 的值。（2）的最小值是 。
7、利用二次根式的性质在实数范围内分解因式
，
8、根据二次根式的隐含条件求值
（1）求 x，y 的值。（2）若 a 为实数，求值
9、二次根式的乘除混合运算。 进行二次根式乘除混合运算的方法：它与整式乘除混合运算
的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘、除法中仍然适用，在运算时要注
意运算符号和运算顺序．若被开方数是带分数，则要先化为假分数．
10、判断一个根式是否是最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不舍能开得尽方的因数或因式，
，，，，，，
化二次根式为最简二次根式的方法
被开方数是数字的二次根式的化简技巧：(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；(2)
当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数形式或将带分数化成假分数形式；(3)
当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．
被开方数为整式或分式的二次根式化简技巧：(1)当被开方数是单项式时，应先将单项式中
指数大于 2 的因式化成(am)2 或(am)2a 的形式；(2)当被开方数是多项式时，应先将多项式分
解因式；(3)当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式；(4)当被开方数
是分式的和差时，应先将它通分．
11、二次根式的大小比较
比较两个二次根式大小的方法：可以转化成比较两个被开方数的大小，即可以将根号外的正
因数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算
术平方根也大．如果是两个正数相比较，也可以采用平方法。
比较大小：（1） （2） （3）3-，3-
（4） ， （5） ，
12、判断几个二次根式是否可以合并，根据可以合并的二次根式求字母的值或取值范围
(1)判断下列各式中哪些在二次根式的加减运算中合并
,,,,,,,
(2)如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的 x 的取值为
13、二次根式的加减法运算的步骤：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数，则要先化成假分数；若
含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式
进行合并．
14、二次根式的化简与求值
已知，，求
15、利用整体代入法求代数式的值
已知，，求值
16、利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值已知 7+和 7-的小数部分分别为 a,b，试求代数式 ab-a+4b-3 的值．
一、乘法公式在二次根式中的应用
1、平方差公式 ;
2、完全平方公式
例题 1，已知求的值。
解：方法 1，=+=3+2++3+2-=10.
方法 2，，
例题 2，已知求的值。解：，，
例题 3，已知，求的值
解：将已知条件两边平方：，
，，，
例题 4，计算
解：
二、有理化因式与分母有理化
1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式。例如，与；
与；与；与。
一个二次根式的有理化因式不止一个，与，与
2、分母有理化：去掉分母中的根号，称为分母有理化。
3、分母有理化的方法：分子、分母都乘以分子的一个有理化因式。
例题 1，写出下列二次根式的一个有理化因式 ；， ；， ；， ；
例题 2、计算
1、；
2、，或
3、
例题 3、计算
二次根式的规律探究题
先观察下列等式，再回答下列问题．
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