资料简介
21.2 解一元二次方程
一．选择题
1．（2018•泰州）已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，下列结论一定正确的是
（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
2．（2018•娄底）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k=0 的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
3．（2018•包头）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0 有两个实数根，m 为正整数，
且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2018•宜宾）一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1x2 为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．（2018•临沂）一元二次方程 y2﹣y﹣ =0 配方后可化为（ ）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
6．（2018•眉山）若α，β 是一元二次方程 3x2+2x﹣9=0 的两根，则 + 的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
7．（2018•铜仁市）关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+3=0 的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
8．（2018•湘潭）若一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范
围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
9．（2018•福建）已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数
根，下列判断正确的是（ ）
A．1 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
B．0 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
C．1 和﹣1 都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
D．1 和﹣1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
10．（2018•桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2x2﹣kx+3=0 有两个相等的实根，则 k 的值
为（ ）
A． B． C．2 或 3 D．
11．（2017•广州）关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值
范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
12．（2017•呼和浩特）关于 x 的一元二次方程 x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0 的两个实数根互为
相反数，则 a 的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．2 或 0
13．（2017•宜宾）一元二次方程 4x2﹣2x+ =0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
14．（2017•通辽）若关于 x 的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0 有实数根，则 k
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2016•贵港）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分
别为 a 和 b，且 a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
16．（2016•金华）一元二次方程 x2﹣3x﹣2=0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
17．（2016•昆明）一元二次方程 x2﹣4x+4=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
18．（2016•威海）已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，且 x1+x2=﹣2，
x1•x2=1，则 ba 的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
19．（2016•枣庄）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一
次函数 y=kx+b 的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
20．（2016•天津）方程 x2+x﹣12=0 的两个根为（ ）
A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3
二．填空题
21．（2018•怀化）关于 x 的一元二次方程 x 2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值
是 ．
22．（2018•淮安）一元二次方程 x2﹣x=0 的根是 ．
23．（2018•南京）设 x1、x2 是一元二次方程 x2﹣mx﹣6=0 的两个根，且 x1+x2=1，则 x1= ，
x2= ．
24．（2018•吉林）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值
为 ．
25 ． （ 2018• 德 州 ） 若 x1 ， x2 是 一 元 二 次 方 程 x2+x﹣2=0 的 两 个 实 数 根 ， 则
x1+x2+x1x2= ．
26．（2017•连云港）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ．
27 ． （ 2017• 抚 顺 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 x2+2x﹣m=0 有 实 数 解 ， 那 么 m 的 取 值 范 围
是 ．
28．（2017•南京）已知关于 x 的方程 x 2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣1，则 p= ，
q= ．
29．（2016•青岛）已知二次函数 y=3x2+c 与正比例函数 y=4x 的图象只有一个交点，则 c 的
值为 ．
30．（2016•达州）设 m，n 分别为一元二次方程 x 2+2x﹣2018=0 的两个实数根，则
m2+3m+n= ．
31．（2016•德州）方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两根为 x1，x2，则 x12+x22= ．
三．解答题
32．（2018•成都）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2a+1）x+a2=0 有两个不相等的实数根，
求 a 的取值范围．
33．（2018•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
34．（2018•梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．
35．（2018•南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22=10，求 m 的值．
36．（2018•随州）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等的实数根 x1，
x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 + =﹣1，求 k 的值．
37．（2018•遂宁）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+a=0 的两实数根 x1，x2 满足 x1x2+x1+x2
＞0，求 a 的取值范围．
38．（2017•黄冈）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数
根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为 x1，x2，当 k=1 时，求 x12+x22 的值．
参考答案
一．选择题
1．A．2．A．3．B．4．D．5．B．6．C．7．C．8．D．9．D．10．A．
11．A．12．B．13．B．14．A．15．D．16．C．17．B．18．A．19．B．20．D．
二．填空题（共 11 小题）
21．1．
22．x1=0，x2=1．
23．﹣2；3．
24．﹣1．
25．﹣3
26．1．
27．m≥﹣1．
28．4；3．
29． ．
30．2016．
31． ．
三．解答题（共 7 小题）
32．解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2a+1）x+a2=0 有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2a+1）]2﹣4a2=4a+1＞0，
解得：a＞﹣ ．
33．解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0 或 2﹣3x=0，
解得：x1=3 或 x2= ．
34．解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
35．解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴ + =（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1 或 m=3
36．解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣ ．
（2）∵x1、x2 是方程 x2+（2k+3）x+k2=0 的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴ + = =﹣ =﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1 都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣ ，
∴k=3．
37．解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得 x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
38．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣ ；
（2）当 k=1 时，方程为 x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．
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