资料简介
1
第 21 章 单元检测题
(时间：120 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2018·武汉元调)方程 x(x－5)＝0 化成一般形式后，它的常数项是( C )
A．－5 B．5 C．0 D．1
2．如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为( C )
A．±3 B．3 C．－3 D．都不对
3．m 是方程 x2＋x－1＝0 的根，则式子 2m2＋2m＋2017 的值为( D )
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
4．若 x＝0 是关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－ a－2x＋a2＋a－6＝0 的一个根，则 a
的值是( B )
A．a≠－2 B．a＝2 C．a＝－3 D．a＝－3 或 a＝2
5．有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中
符合题意 的是( A )
A.
1
2x(x－1)＝45 B.
1
2x(x＋1)＝45 C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
6．若方程 x2－4x－1＝0 的两根分别是 x1，x2，则 x21＋x 22的值为( C )
A．6 B．－6 C．18 D．－18
7．若关于 x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0 有解，那么 m 的取值范围是
( D )
A．m＞
3
4 B．m≥
3
4 C．m＞
3
4且 m≠2 D．m≥
3
4且 m≠2
8．将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 m 的正方形后，剩下的部分刚好围成
一个容积为 15 m3 的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多 2 m．求该矩形铁皮的
长和宽各是多少 m？若设该矩形铁皮的宽是 x m，则根据题意可得方程为( B )
A．(x＋2)(x－2)×1＝15 B．x(x－2)×1＝15
C．x(x＋2)×1＝15 D．(x＋4)(x－2)×1＝15
9．若(a＋b)(a＋b＋2)＝8，则 a＋b 的值为( D )
A．－4 B．2 C．4 D．－4 或 2
10．若 A＝x2＋4xy＋y2－4，B＝4x＋4xy－6y－25，则 A－B 的最小值为( B )
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
11．定义新运算“”，对于非零的实数 a，b，规定 ab＝b2，若 2(x－1)＝3，则 x
＝__1± 3__．
12．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋6＝0 的一个根为 x＝2，则代数式 2a＋b＋6 的
值为__3__．
13．已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的
取值范围是__a＜2，且 a≠1__．
14．某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 30 万元，由于产品畅销，利润逐月增
加，3 月份的利润比 2 月份的利润 增加 3.3 万元，假设该产品利润每月增长的百分率都为
x，则列出的方程为__30(1＋x)2－30(1＋x)＝3.3__．(不要求化简)
15．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售 20 件，每件盈利 44 元，经市场预测
发现：在每件降价不超过 10 元的情况下，若每件每降价 1 元，则每天可多销售 5 件，若该
2
专卖店要使该品牌服装每天的盈利为 1 600 元，则每件应降价__4__元．
16．若关于 x 的方程 x2＋(2a－1)x＋a2－1＝0 的两根是 x1，x2，且(3x1－x2)(x1－3x2)＋
21＝0，则 a 的值为__－5__．
三、解答题(共 72 分)
17．(8 分)解方程：(1)2x2－5x－1＝0; (2)6x2－3x－1＝2x－2.
【解析】(1)x1＝
5＋ 33
4 ，x2＝
5－ 33
4 . (2)x1＝
1
3，x2＝
1
2.
18． (8 分)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－5x－3＝0 的两个根，求：
(1)x21＋x22； (2)
1
x1－
1
x2.
【解析】由已知可得 x1＋x2＝5，x1·x2＝－3.
(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝31.
(2)∵(x2－x1)2＝x21＋x22－2x1x2＝37，∴x2－x1＝± 37，∴
1
x1－
1
x2＝
x2－x1
x1x2 ＝±
37
3 .
19．(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两个不 相等的实数
根．
(1)求 m 的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为 x1，x2，且满足 x21＋x22＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，求 m 的值．
【解析】(1)Δ＝8m－16＞0，得 m＞2.
(2)x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5.∵m＞2，∴x1＋x2＞0，x1·x2＞0，∴x1＞0，x2＞
0.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，∴4(m＋1)2－2(m2＋5)＝2(m＋1)＋
2(m 2＋5)，即 6m－18＝0，解得m＝3.
20．(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根，且其中一根为定值；
(2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2(其中 x1＜x2)．若 y 是关于 m 的函数，且 y＝7x1－
mx2，求这个函数的解析式；并求出当自变量 m 的取值满足什么条件时，y≤3m.
【解析】(1)Δ＝(m＋2)2.∵m＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∵x＝
3m＋2 ± （m＋2）
2m ，∴x1＝1，x2＝
2（m＋1）
m ，∴方程有一个根为 1.
(2)∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2＋
2
m，∴y＝7x1－mx2＝－2m＋5.令 y≤3m，即－2m＋
5≤3m，解得 m≥1.∴当 m≥1 时，y≤3m.
21．(8 分)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB
边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．
(1)如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于 4 cm2?
3
(2)如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于 2 10 cm?
(3)在(1)中，△PQB 的面积能否等于 7 cm2？说明理由．
【解析】(1)设经过 xs 后，
1
2(5－x)×2x＝4，解得 x＝1 或 x＝4(舍去)．故经过 1s 后，
△PBQ 的面积等于 4 cm2.
(2)设经过 ts，PQ 的长度为 2 10cm，则 PQ2＝40＝BP2＋BQ2，即 40＝(5－t)2＋(2t)2，
解得 t＝－1(舍去)或 t＝3.故经过 3 s 后，PQ＝2 10 cm.
(3)令 S△PQB＝7，即 BP·
BQ
2 ＝7，(5－t)×
2t
2 ＝7，∵Δ＝－3＜0，∴原方程没有实数
根．∴在(1)中，△PQB 的面积不能等于 7 c m2.
22．(10 分)如图是一块长 5 m、宽 4 m 的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹
(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
17
80.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200 元，其余部分每平方米造价 100 元，求地
毯的总造价．
【解析】(1)设条纹的宽度为 x m，则有 2x×5＋2x×4－4x2＝
17
80×5×4，解得 x1＝
17
4 (不
符合实际，舍去)，x2＝
1
4.
(2)条纹造价：
17
80×5×4×200＝850(元)，其余部分造价：( 1－
17
80)×4×5×100＝1
575(元)，所以总造价为 850＋1 575＝2 425(元)．
23．(10 分)某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷 16 800 顶，该商家备有 2 辆大
货车、8 辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200 顶，大、小货车每
天均运送一次，两天恰好运完．
(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
(2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200m 顶，每
辆小货车每次比原计划少运 300 顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑
4
1
2m 次，小货车每天比原计划多跑 m 次，一天恰好运送了帐篷 14 400 顶，求 m 的值．
【解析】(1)设小货车每次运送 x 顶，则大货车每次运送(x＋200)顶．依题意列方程为
2[2(x＋200)＋8x]＝16 800，解得 x＝800.∴x＋200＝1 000.∴大货车原计划每辆每次运 1
000 顶．
(2)由题意，得 2×(1 000－200m)(1＋
1
2m)＋8×(800－300)(1＋m)＝14 400，解得 m1＝
2，m2＝21(舍去)．
24．(12 分)如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt△AOB 的两直角边 OA，OB 分别在 x 轴，
y 轴的正半轴上(OA＜OB)，且 OA，OB 的长分别是一元二次方程 x 2－14x＋48＝0 的两个
根．线段 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，点 P 是直线 CD 上一个动点，点
Q 是直线 AB 上一个动点．
(1)求 A，B 两点的坐标；
(2)求直线 CD 的解析式；
(3)在坐标平面内是否存在点 M，使以点 C，P，Q，M 为顶点的四边形是正 方形，且该正
方形的边长为
1
2AB 长？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)解 x2－14x＋48＝0，得 x1＝6，x2＝8.∴A(6，0)，B(0，8)．
(2)C(3，4)．设 OD＝a，∴CD2＝(a＋3)2＋42.又 AC＝
1
2× 62＋82＝5，AD2＝(a＋6)2，∴
(a＋3)2＋42＋52＝(a＋6)2，解得 a＝
7
3.∴D(－
7
3，0)．∴易求得直线 CD 的解析式为 y＝
3
4x＋
7
4.
(3)∵AC＝BC＝
1
2AB＝5，∴正方形的边长为 5，且点 Q 与点 B 或点 A 重合．
①当点 Q 与点 B 重合时，直线 BM：y＝
3
4x＋8，设 M(x，
3
4x＋8)，∵B(0，8)，BM＝5，∴
(
3
4x＋8－8)2＋x2＝52，解得 x＝±4.∴M1(4，11)，M2(－4，5)；
②当点 Q 与点 A 重合时，直线AM：y＝
3
4x－
9
2，设 M(x，
3
4x－
9
2)，∵A(6，0)，AM＝5，∴
(
3
4x－
9
2)2＋(x－6)2＝52，解得 x1＝2，x2＝10，∴M3(2，－3)，M4(10，3)．综上，M1(4，11)，
M2(－4，5)，M3(2，－3)，M4(10，3)．
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