资料简介
一、选择题(每小题 4 分,共 28 分)
1.下列语句正确的是()
A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C.矩形的对角线相等 D.平行四边形是轴对称图形
【解析】选 C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故 A 错;两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,
故 B 错;矩形的对角线相等,故 C 正确;平行四边形是中心对称图形,故 D 错.
【变式训练】下列命题:
①平行四边形的对边相等;②对角线相等的四边形是矩形;
③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
其中真命题的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】.平行四边形的对边相等,①正确;对角线相等的平行四边形是矩形,②错误;正方形既是轴对称图
形,又是中心对称图形,③正确;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,④正确,所以有 3 个真命题.
2.如图,在▱ABCD 中,AD=8,点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,则 EF 等于()
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选 C.∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴BC=AD=8.∵点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,
∴EF= BC= ×8=4.
3.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6,将△ABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长
等于()A. B. C. D.
【解析】选 B.∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使△ABC 落在△AEC 的位置,
∴AE=AB,∠E=∠B=90°,
又∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB=CD,∴AE=DC,而∠AFE=∠CFD,
∵在△AEF 与△CDF 中, ∴△AEF≌△CDF(AAS),∴EF=DF.
∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC=6,CD=AB=4,∵Rt△AEF≌Rt△CDF,∴FC=FA,
设 FA=x,则 FC=x,FD=6-x,在 Rt△CDF 中,CF2=CD2+DF2,即 x2=42+(6-x)2,解得 x= ,则 FD=6-x= .
4 如图,四边形 ABCD 是菱形,A(3,0),B(0,4),则点 C 的坐标为()
A.(-5,4) B.(-5,5)
C.(-4,4) D.(-4,3)
【解析】选 A.∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,
∴AB= =5,∵四边形 ABCD 是菱形,
∴BC=AD=AB=5,∴点 C 的坐标为(-5,4).
5.顺次连接矩形 ABCD 各边中点,所得四边形必定是()
A.邻边不等的平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
【解析】选 D. 如图,E,F,G,H 为矩形各边的中点, 连接 AC,BD. 根据
三角形中位线定理, 得 EF ∥AC,EF= AC,HG∥AC,HG= AC,EH= BD.∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH.∴四边形 EFGH 为菱
形.
6.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,E 为 CD 的中点,连接 AE 交 BC 的延长线于 F 点,P 为 BC 上一点,当∠PAE=∠
DAE 时,AP 的长为()
A.4 B. C. D.5
【解析】选 B.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,又∵∠PAE=∠DAE,∴∠PAE=∠F,
∴PA=PF.∵E 为 DC 中点,∴DE=CE.又∵∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE,∴CF=AD=4,
设 CP=x,PA=PF=x+4,BP=4-x,在直角△ABP 中,22+(4-x)2=(x+4)2,解得:x= ,∴AP 的长为 .
【变式训练】如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻
折,点 B 恰好落在 AD 边的 B'处,若 AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形 ABCD 的面积是()
A.12B.24C.12 D.16
【解析】选 D.由两直线平行内错角相等,知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=
∠A'EF=120°,∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得 A'B'=2 ,∴AB=2 ,矩形 ABCD 的面积为 S=2 ×
8=16 .
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
8.△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,DE=7,则 BC=________.
【解析】∵D,E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∵DE=7,∴BC=2DE=14.
9.已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 AO=1,那么 BD=________.【解析】在矩形 ABCD 中,∵对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.
10.)如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F.若∠EAF=56°,则∠B=________.导学号 42684319
【解析】∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=90°,在四边形 AECF 中,
∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°=124°,在▱ABCD 中,
∠B=180°-∠C=180°-124°=56°.
11.如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,则菱形 ABCD 的面积为________.
【解析】∵菱形 ABCD,∴AD=AB,OD=OB,OA=OC,∵∠DAB=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴BD=AB=2,∴OD=1,
在 Rt△AOD 中,根据勾股定理得:AO= = ,∴AC=2 ,则 S 菱形 ABCD= AC·BD=2 .
三、解答题(共 47 分)
13.(10 分)如图,在▱ABCD 中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为 E,F.
(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)求证:四边形 BFDE 为矩形.【证明】(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°,∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,
在△ADE 和△CBF 中, ∴△ADE≌△CBF(AAS).
(2)∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴CD∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°,
∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形 BFDE 为矩形.
14.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD 于点 E.
(1)求证:△AFE≌△CDE.(2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°.由折叠,得 AB=AF,∠B=∠F.∴AF=CD,∠F=∠D.
又∵∠AEF=∠DEC,∴△AFE≌△CDE.
(2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC.∴∠CAE=∠ACB.由折叠,得∠ACB=∠ACE,AF=AB=4,CF=BC=8.
∴∠CAE=∠ACE.∴AE=CE.设 AE=x,则 CE=x,EF=8-x.在 Rt△AEF 中,由勾股定理得 AE2=AF2+EF2.
∴42+(8-x)2=x2.解得 x=5,即 AE=5.∴S 阴影= AE·AB= ×5×4=10.
15.如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,连接 AF,BE.
(1)求证:△AGE≌△BGF.(2)试判断四边形 AFBE 的形状,并说明理由.【解析】(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEG=∠BFG,∵EF 垂直平分 AB,∴AG=BG,
在△AGE 和△BGF 中, ∴△AGE≌△BGF(AAS).
(2)四边形 AFBE 是菱形.理由如下:∵△AGE≌△BGF,∴AE=BF,∵AD∥BC,∴四边形 AFBE 是平行四边形,
又∵EF⊥AB,∴四边形 AFBE 是菱形.
一、选择题(每小题 4 分,共 28 分)
1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,则下列各图中∠1 与∠2 一定不相等的是
2. 如图, 已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别是
6cm,8cm,AE⊥BC 于点 E,则 AE 的长是()
A.5 cm B.2 cm
C. cm D. cm3. 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,DE 是 ∠ ADC 的 平 分 线 ,F 是 AB 的 中
点,AB=6,AD=4,则 AE∶EF∶BE 为()
A.4∶1∶2 B.4∶1∶3
C.3∶1∶2 D.5∶1∶2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
4.(2013·邵阳中考)如图所示,点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点,且
AD=DE,连接 BE 交 CD 于点 O,连接 AO,下列结论不正确的是()
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
5. 如图,过矩形 ABCD 的四个顶点作对角线 AC,BD
的平行线, 分别相交于 E,F,G,H 四点,则四边形
EFGH 为()
A.平行四边形 B.矩形[来源:www.shulihua.net]
C.菱形 D.正方形
6.(2013·威海中考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC
的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BE=BF,
添加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是()
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF D.AC=BF
7.如图,△ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中
点,点 G,F 在 BC 边上,四边形 DEFG 是正方形.若 DE=2cm,则 AC 的长为()
A.3 cm B.4cm
C.2 cm D.2 cm
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
8.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 C 的直线 CE⊥AB,
垂足为 E,若∠EAD=53°,则∠BCE 的度数为.
9.(2013·厦门中考)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相
交 于 点 O, 点 E,F 分 别 是 线 段 AO,BO 的 中 点 . 若
AC+BD=24 厘米,△OAB 的周长是 18 厘米,则 EF=厘米.
10.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC.若 AC=4,则四
边形 CODE 的周长是.
11.(2013·牡丹江中考)如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.连接对角
线 AC,以 AC 为边作第二个菱形 ACEF,使∠FAC=60°.连接 AE,再以 AE 为边作第
三个菱形 AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第 n 个菱形的边长是.
12.(2013·钦州中考)如图 ,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P
是 AC 上一动点,则 PB+PE 的最小值是.三、解答题(共 47 分)
13.(10 分)(2013·大连中考)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC
上,且 AE=CF.
求证:BE=DF.
14. BD 是菱形 ABCD 的对角线,点 E,F 分别在边 CD,DA 上,且 CE=AF.求证:BE=BF.
16.(13 分)(2013·济宁中考)如图 1,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,DC 上
的点,且 AF⊥BE.
(1)求证:AF=BE.(2)如图 2,在正方形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别是边 AB,BC,CD,DA
上的点,且 MP⊥NQ,判断 MP 与 NQ 是否相等?并说明理由.答案解析
1.【解析】选 C.A 项,根据两直线平行内错角相等可得到,故正确;B 项,根据对
顶角相等可得到,故正确;C 项,根据两直线平行内错角相等可得到∠1=∠ACB,∠
2 为一外角,所以不相等,故不正确;D 项,根据平行四边形对角相等可得到,故正
确.
2.【解析】选 D.由于菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别是 6cm,8cm,所以菱形
边长为 =5,所以 ×6×8=5AE,解得 AE= .
3.【解析】选 A.∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠CDE=∠DEA.
∵DE 是∠ADC 的平分线,∴∠CDE=∠ADE,
∴∠DEA=∠ADE,∴AE=AD=4.
∵F 是 AB 的中点,∴AF= AB=3.
∴EF=AE-AF=1,BE=AB-AE=2,
∴AE∶EF∶BE=4∶1∶2.
4.【解析】选 A.∵AD=DE,DO∥AB,
∴OD 为△ABE 的中位线,∴OD=OC,
∵在△AOD 和△EOD 中,
∴△AOD≌△EOD;
∵在△AOD 和△BOC 中,
∴△AOD≌△BOC;[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
∵△AOD≌△EOD,∴△BOC≌△EOD;
故 B,C,D 选项均正确.5.【解析】选 C.∵EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,又 EF∥AC,∴四边形 AEFC 是平行
四边形,∴EF=AC,同理 GH=AC,EH=BD,FG=BD.∵在矩形 ABCD 中,AC=BD,
∴EF=FG=GH=EH,∴四边形 EFGH 是菱形.
6.【解析】选 D.∵EF 垂直平分 BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形 BECF 是菱形.
当 BC=AC 时,∵∠ACB=90°,则∠A=45°.
∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45°.
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,
∴菱形 BECF 是正方形.
当 CF⊥BF 时,利用正方形的判定定理得出,菱形 BECF 是正方形;
当 BD=DF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF 是正方形;
当 AC=BF 时,无法得出菱形 BECF 是正方形,故选项 D 符合题意.
7.【解析】选 D.∵点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,
∴DE= BC,
∵DE=2cm,∴BC=4cm,
∵AB=AC,四边形 DEFG 是正方形.
∴△BDG≌△CEF,∴BG=CF=1cm,
∴EC= ,∴AC=2 cm.
8.【解析】设 CE 与 AD 相交于点 F.
∵在平行四边形 ABCD 中,过点 C 的直线 CE⊥AB,∴∠E=90°,
∵∠EAD=53°,
∴∠EFA=90°-53°=37°,∴∠DFC=37°.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠BCE=∠DFC=37°.
答案:37°
9.【解析】∵▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC+BD=24 厘米,∴OA+OB=12 厘
米.
∵△OAB 的周长是 18 厘米,∴AB=6 厘米.
∵点 E,F 分别是线段 AO,BO 的中点,
∴EF=3 厘米.
答案:3
10.【解析】∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形 CODE 是平行四边形.[来源:www.shulihua.net]
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,
∴OD=OC= AC=2,
∴四边形 CODE 是菱形,
∴四边形 CODE 的周长为 4OC=4×2=8.
答案:8
11.【解析】连接 DB,
∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=AB,AC⊥DB,
∵∠DAB=60°,
∴△ADB 是等边三角形,
∴DB=AD=1,∴BM= ,
∴AM= ,∴AC= ,
同理可得 AE= AC=( )2,
AG= AE=3 =( )3,
按此规律所作的第 n 个菱形的边长为( )n-1.
答案:( )n-1
12.【解析】如图,连接 DE,交 AC 于点 P,连接 BP,
则此时 PB+PE 的值最小.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴B,D 关于 AC 对称,
∴PB=PD,
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2,AE=3BE,
∴AE=6,AB=8,
∴DE= =10,
故 PB+PE 的最小值是 10.
答案:10
13.【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,∴DE=BF,DE∥BF,∴四边形 DEBF 是平行四边形,
∴BE=DF.
14.【证明】∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C.
在△ABF 和△CBE 中, [来源:www.shulihua.net]
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴BF=BE.
15.【解析】(1)∵点 O 为 AB 的中点,连接 DO 并延长到点 E,使 OE=OD,
∴四边形 AEBD 是平行四边形,
∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴平行四边形 AEBD 是矩形.即四边形 AEBD 是矩形.
(2)当∠BAC=90°时,矩形 AEBD 是正方形.理由:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,
∴AD=BD=CD,
∵由(1)得四边形 AEBD 是矩形,
∴矩形 AEBD 是正方形.
16.【解析】(1)在正方形 ABCD 中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,
∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE 和△DAF 中,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.
(2)MP 与 NQ 相等.
理由如下:如图,过点 A 作 AF∥MP 交 CD 于点 F,过点 B 作 BE∥NQ 交 AD 于点 E,
则与(1)的情况完全相同.而 MP=AF,NQ=BE,
∴MP=NQ.
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