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导数小题训练及答案解析

  • 2021-05-24
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第 1 页(共 21 页) 导数小题训练 1.已知函数 f(x﹣1)=2x2﹣x,则 f′(x)=(  ) A.4x+3 B.4x﹣1 C.4x﹣5 D.4x﹣3 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>0,f(0)=4,则不等式 exf(x)>4(其中 e 为自然 对数的底数)的解集为(  ) A.(3,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞) 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a<b ,则必有(  ) A.af(a)>bf(b) B.bf(a)>af(b) C.af(a)>f(b) D.bf(b)>f(a) 4.已知偶函数 f(x)在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)内可导,且xf'(x)<0,设 a=f(﹣1), ,c=f(2),则(  ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 5.已知定义域为 R 的函数 y=f(x)关于 x=1 对称,且(x﹣1)f'(x)<0,若 ,b=f(3),c= f(4),则 a、b、c 的大小关系为(  ) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 6.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>f(x)(x∈R),f(2)=e2(e 为自然对数的底数) ,则不等式 f(2lnx)<x2 的解集为(  ) A.( ,e) B.(0, ) C.(0,e) D.(1,e) 7.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x),对任意的 x∈R,有 f(﹣x)﹣f(x)=0,且 x∈[0,+∞)时 f ′(x)>2x,若 f(a﹣2)﹣f(a)≥4﹣4a,则实数 a 的取值范围为(  ) A.(﹣∞,1] B.[1,+∞) C.(﹣∞,2] D.[2,+∞) 8.定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)+f′(x)<0,则下列关系正确的 是(  )第 2 页(共 21 页) A.f(1)< < B.f(﹣1)< < C. <f(1)< D. < <f(﹣1) 9 . 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x ) = f ( 4 ﹣ x ) , 且 ( x ﹣ 2 ) f' ( x ) > 0 , 若 ,则 a,b,c 的大小关系是(  ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 10.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(  ) A.[﹣3,6] B.(﹣3,6) C.(﹣∞,﹣3]∪[6,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(6,+∞) 11.若函数 f(x)=x3+ax2+3x﹣9 在 x=﹣1 时取得极值,则 a 等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.设 a∈R,若函数 y=x+alnx 在区间( ,e)有极值点,则 a 取值范围为(  ) A.( ,e) B.(﹣e,﹣ ) C.(﹣∞, )∪(e,+∞) D.(﹣∞,﹣e)∪(﹣ ,+∞) 13.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是(  ) A.a=0 或 a=7 B.a<0 或 a>21 C.0≤a≤21 D.a=0 或 a=21 14.函数 f(x)的定义域为(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区 间(a,b)内有极值点(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 15.函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为(  ) A.(3,﹣3) B.(﹣4,11)第 3 页(共 21 页) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D.不存在 16.若函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 为(  ) A.2 B.6 C.2 或 6 D.﹣2 或﹣6 17.函数 f(x)=2x3﹣3x2+a 的极大值为 6,那么 a 的值是(  ) A.5 B.0 C.6 D.1 18.函数 f(x)=4x﹣lnx 的最小值为(  ) A.1+2ln2 B.1﹣2ln2 C.1+ln2 D.1﹣ln2 19.函数 f(x)= ,x∈[0,4]的最大值是(  ) A.0 B. C. D. 20.函数 f(x)=x3﹣3lnx 的最小值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 21.若函数 f(x)=(2a﹣1)lnx﹣x 在(0,1)上为减函数,则实数 a 的取值范围是(  ) A.a<1 B.a> C.a≥1 D.a≤ 22.函数 在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的范围是(  ) A.{1} B.(﹣1,1) C.(0.1) D.{﹣1,1} 23.若函数 f(x)=lnx﹣ ﹣ax﹣b 在定义域上是增函数,则实数 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞,0] B. C.[0+∞) D.[1+∞) 24.若函数 f(x)=asinx+cosx 在[﹣ ]为增函数,则实数 a 的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣1,1] D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) 25.已知函数 f(x)=x3﹣ax﹣1,若 f(x)在(﹣1,1)上单调递减,则 a 的取值范围为(  ) A.a≥3 B.a>3 C.a≤3 D.a<3 26.定义在(﹣ )上的奇函数 f(x)的导函数为 f'(x),且 f(1)=0.当 x>0 时,f(x)<tanx第 4 页(共 21 页) •f'(x).则不等式 f(x)<0 的解集为   . 27.已知定义在实数集 R 的函数 f(x)满足 f(1)=4 且 f(x)导函数 f′(x)<3,则不等式 f(lnx)> 3lnx+1 的解集为   . 28.函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a+b=   . 29.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 存在极值,则实数 m 的取值范围为   . 30.已知函数 f(x)=x3﹣3ax2+3x+1 在区间(2,3)中至少有一个极值点,则 a 的取值范围为   . 31.已知函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中 a,b∈R.若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,则 a 的取值范围是   . 32.函数 f(x)=ax4﹣4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为 3,最小值为﹣6,则 ab=   . 33.函数 在(0,e2]上的最大值是   . 34.已知可导函数 f(x)的定义域为 R,f(1)=2,其导函数 f'(x)满足 f'(x)>3x2,则不等式 f(2x)< 8x3+1 的解集为   . 35.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f'(x),∀x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)< x,若 f(6﹣m)﹣f(m)﹣18+6m≥0,则实数 m 的取值范围是   . 36.若 f(x)=ex﹣e﹣x,则满足不等式 f(3x﹣1)+f(2)>0 的 x 的取值范围是   . 37.已知 f(x)=log2(4x+1)﹣x,则使得 f(2x﹣1)+1<log25 成立的 x 的取值范围是    38.设函数 f(x)=lg(1+|x|)﹣ ,则使得 f(2x)<f(3x﹣2)成立的 x 的取值范围是   . 39.已知函数 f(x)=x3+2x2﹣ax+1 在区间(0,1)上不是单调函数,则实数 a 的取值范围是   . 40.设 f(x)=(x﹣1)(x﹣2)…(x﹣100),则 f′(1)= 。第 5 页(共 21 页) 参考答案与试题解析 1.已知函数 f(x﹣1)=2x2﹣x,则 f′(x)=(  ) A.4x+3 B.4x﹣1 C.4x﹣5 D.4x﹣3 【解答】解:令 x﹣1=t,则 x=t+1 所以 f(t)=2(t+1)2﹣(t+1)=2t2+3t+1 所以 f(x)=2x2+3x+1 ∴f′(x)=4x+3 故选:A. 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>0,f(0)=4,则不等式 exf(x)>4(其中 e 为自然 对数的底数)的解集为(  ) A.(3,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞) 【解答】解:令 g(x)=exf(x), 则 g′(x)=ex(f(x)+f′(x))>0, 故 g(x)在 R 递增, 而 g(0)=f(0)=4, 故不等式 exf(x)>4, 即 g(x)>g(0), 解得:x>0, 故不等式的解集是(0,+∞), 故选:D. 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a<b ,则必有(  ) A.af(a)>bf(b) B.bf(a)>af(b) C.af(a)>f(b) D.bf(b)>f(a)第 6 页(共 21 页) 【解答】解:设 g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数, 则 g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0, ∴g(x)在区间 x∈(0,+∞)单调递减或 g(x)为常函数, ∵a<b,∴g(a)≥g(b),即 af(a)≥bf(b). 故选:A. 4.已知偶函数 f(x)在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)内可导,且xf'(x)<0,设 a=f(﹣1), ,c=f(2),则(  ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 【解答】解:x>0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)递减, 而 f(x)是偶函数, 故 x<0 时,f(x)在(﹣∞,0)递增, 故 a=f(﹣1)=f(1), 而 <1<2, 故 c<a<b, 故选:B. 5.已知定义域为 R 的函数 y=f(x)关于 x=1 对称,且(x﹣1)f'(x)<0,若 ,b=f(3),c= f(4),则 a、b、c 的大小关系为(  ) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 【解答】解:根据题意,函数 f(x)满足(x﹣1)f'(x)<0, 则当 x<1 时 f'(x)>0,x>1 时 f'(x)<0, 则 f(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又 f(x)关于 x=1 对称,则 f( )=f( ), 则有 , 即 c<b<a;第 7 页(共 21 页) 故选:A. 6.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>f(x)(x∈R),f(2)=e2(e 为自然对数的底数) ,则不等式 f(2lnx)<x2 的解集为(  ) A.( ,e) B.(0, ) C.(0,e) D.(1,e) 【解答】解:设 g(x)= ,f′(x)>f(x), ∴g′(x)= >0, ∴g(x)在 R 上递增, 不等式 f(2lnx)<x2 即为 <1,(x>0),即 <1,x>0. ∵g(2)= =1, ∴g(2lnx)<g(2), ∴2lnx<2, ∴0<x<e, 故选:C. 7.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x),对任意的 x∈R,有 f(﹣x)﹣f(x)=0,且 x∈[0,+∞)时 f ′(x)>2x,若 f(a﹣2)﹣f(a)≥4﹣4a,则实数 a 的取值范围为(  ) A.(﹣∞,1] B.[1,+∞) C.(﹣∞,2] D.[2,+∞) 【解答】解:对任意的 x∈R,有 f(﹣x)﹣f(x)=0, ∴f(x)为偶函数, 设 g(x)=f(x)﹣x2, ∴g′(x)=f′(x)﹣2x, ∵x∈[0,+∞)时 f′(x)>2x, ∴g′(x)=f′(x)﹣2x>0, ∴g(x)在∈[0,+∞)为增函数, ∵f(a﹣2)﹣f(a)≥4﹣4a,第 8 页(共 21 页) ∴f(a﹣2)﹣(a﹣2)2≥f(a)﹣a2, ∴g(a﹣2)≥g(a), ∴|a﹣2|≥|a|, 解得 a≤1, 故选:A. 8.定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)+f′(x)<0,则下列关系正确的 是(  ) A.f(1)< < B.f(﹣1)< < C. <f(1)< D. < <f(﹣1) 【解答】解:令 g(x)=exf(x), 则 g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]<0, g(x)R 递减, 故 g(1)<g(0)<g(﹣1), 即 ef(1)<f(0)< , 故 f(1)< < , 故选:A. 9 . 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x ) = f ( 4 ﹣ x ) , 且 ( x ﹣ 2 ) f' ( x ) > 0 , 若 ,则 a,b,c 的大小关系是(  ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 【解答】解:由 f(x)=f(4﹣x)可知,f(x)的图象关于 x=2 对称, 根据题意又知 x∈(﹣∞,2)时,f'(x)<0,此时 f(x)为减函数, x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数, 所以 f(3)=f(1)<f( )<f(0),即 c<b<a,第 9 页(共 21 页) 故选:C. 10.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(  ) A.[﹣3,6] B.(﹣3,6) C.(﹣∞,﹣3]∪[6,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(6,+∞) 【解答】解:函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以 f′(x)=3x2+2ax+(a+6), 因为函数有极大值和极小值,所以方程 f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 即 3x2+2ax+(a+6)=0 有两个不相等的实数根, ∴△>0,∴(2a)2﹣4×3×(a+6)>0,解得:a<﹣3 或 a>6. 故选:D. 11.若函数 f(x)=x3+ax2+3x﹣9 在 x=﹣1 时取得极值,则 a 等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:∵f′(x)=3x2+2ax+3,f(x)在 x=﹣1 时取得极值, ∴f′(﹣1)=6﹣2a=0 ∴a=3. 故选:C. 12.设 a∈R,若函数 y=x+alnx 在区间( ,e)有极值点,则 a 取值范围为(  ) A.( ,e) B.(﹣e,﹣ ) C.(﹣∞, )∪(e,+∞) D.(﹣∞,﹣e)∪(﹣ ,+∞) 【解答】解:函数 y=f(x)=x+alnx 在区间( ,e)有极值点⇔y′=0 在区间( ,e)有零点. f′(x)=1+ = .(x>0). ∴ , ∴ , 解得 .第 10 页(共 21 页) ∴a 取值范围为 . 故选:B. 13.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是(  ) A.a=0 或 a=7 B.a<0 或 a>21 C.0≤a≤21 D.a=0 或 a=21 【解答】解:∵函数 f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R), ∴f′(x)=3x2+2ax+7a, ∵函数 f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值,且 f′(x)的图象开口向上, ∴f′(x)≥0 对 x∈R 恒成立, ∴△=4a2﹣84a≤0, 解得 0≤a≤21, ∴a 的取值范围是 0≤a≤21. 故选:C. 14.函数 f(x)的定义域为(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区 间(a,b)内有极值点(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减, 根据极值点的定义可知,导函数在某点处值为 0,左右两侧异号的点为极值点, 由图可知,在(a,b)内只有 3 个极值点. 故选:C. 15.函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为(  ) A.(3,﹣3) B.(﹣4,11) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D.不存在第 11 页(共 21 页) 【解答】解:对函数 f(x)求导得 f′(x)=3x2﹣2ax﹣b, 又∵在 x=1 时 f(x)有极值 10, ∴ , 解得 或 , 验证知,当 a=3,b=﹣3 时,在 x=1 无极值, 故选:B. 16.若函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 为(  ) A.2 B.6 C.2 或 6 D.﹣2 或﹣6 【解答】解:∵函数 f(x)=x(x﹣c)2=x3﹣2cx2+c2x,它的导数为 f′(x)=3x2﹣4cx+c2, 由题意知,在 x=2 处的导数值为 12﹣8c+c2=0,∴c=6,或 c=2, 又函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,故导数值在 x=2 处左侧为正数,右侧为负数. 当 c=2 时,f′(x)=3x2﹣8x+4=3(x﹣ )(x﹣2),不满足导数值在 x=2 处左侧为正数,右侧为负数. 当 c=6 时,f′(x)=3x2﹣24x+36=3(x2﹣8x+12)=3(x﹣2)(x﹣6), 满足导数值在 x=2 处左侧为正数,右侧为负数.故 c=6. 故选:B. 17.函数 f(x)=2x3﹣3x2+a 的极大值为 6,那么 a 的值是(  ) A.5 B.0 C.6 D.1 【解答】解:∵函数 f(x)=2x3﹣3x2+a,导数 f′(x)=6x2﹣6x,令 f′(x)=0,可得 x=0 或 x=1, 导数在 x=0 的左侧大于 0,右侧小于 0,故 f(0)为极大值.f(0)=a=6. 导数在 x=1 的左侧小于 0,右侧大于 0,故 f(1)为极小值. 故选:C. 18.函数 f(x)=4x﹣lnx 的最小值为(  ) A.1+2ln2 B.1﹣2ln2 C.1+ln2 D.1﹣ln2第 12 页(共 21 页) 【解答】解: , 当 时,f′(x)<0; 当 时,f′(x)>0. 故 , 故选:A. 19.函数 f(x)= ,x∈[0,4]的最大值是(  ) A.0 B. C. D. 【解答】解:f(x)= ,x∈[0,4], f′(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x), ∴当 0≤x≤1 时,f′(x)≥0,f(x)单调递增, 当 1≤x≤4 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减, ∴当 x=1 时,f(x)max=f(1)= . 故选:B. 20.函数 f(x)=x3﹣3lnx 的最小值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:函数 f(x)=x3﹣3lnx 的定义域为:(0,+∞). 可得:f′(x)= = , =0,可得 x=1, 所以 x∈(0,1)上 f′(x)<0,函数 f(x)是减函数; x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数是增函数, 所以函数的最小值为:f(1)=1. 故选:B. 21.若函数 f(x)=(2a﹣1)lnx﹣x 在(0,1)上为减函数,则实数 a 的取值范围是(  )第 13 页(共 21 页) A.a<1 B.a> C.a≥1 D.a≤ 【解答】解:∵f(x)=(2a﹣1)lnx﹣x, f′(x)= ﹣1= , 若 f(x)在(0,1)上为减函数, 则(2a﹣1)﹣x≤0 在 x∈(0,1)恒成立, 即 a≤( )min= , 故选:D. 22.函数 在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的范围是(  ) A.{1} B.(﹣1,1) C.(0.1) D.{﹣1,1} 【解答】解:∵函数 f(x)在 R 上单调递增. ∴f′(x)=ex﹣1﹣ax+(a﹣1)≥0 恒成立, 令 g(x)=ex﹣1﹣ax+(a﹣1),则 g′(x)=ex﹣1﹣a, ∵g(1)=0. ∴g(x)必须在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴1 为函数 g(x)的极小值点. ∴g′(1)=1﹣a=0,解得 a=1. 故选:A. 23.若函数 f(x)=lnx﹣ ﹣ax﹣b 在定义域上是增函数,则实数 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞,0] B. C.[0+∞) D.[1+∞) 【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞), 故 f′(x)= + ﹣a= , 若 f(x)在(0,+∞)递增,第 14 页(共 21 页) 则﹣ax2+x+1≥0 在(0,+∞)恒成立, a=0 时,显然成立, a≠0,只需 a≤( + )min, 而 y= + 在(0,+∞)递减, 故 a<0, 综上,a≤0, 故选:A. 24.若函数 f(x)=asinx+cosx 在[﹣ ]为增函数,则实数 a 的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣1,1] D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) 【解答】解:①当 a=0 时,函数 f(x)=asinx+cosx 在[﹣ , ]上先递增再单调递减,结论不成立. ②当 a≠0 时,f(x)=asinx+cosx f′(x)=acosx﹣sinx, 若 f(x)在[﹣ ]为单调增函数, 则 acosx﹣sinx≥0 在[﹣ ]恒成立, 故 a≥tanx 在[﹣ ]恒成立, 而 y=tanx 在[﹣ ]的最大值是 1, 故 a≥1, 故选:A. 25.已知函数 f(x)=x3﹣ax﹣1,若 f(x)在(﹣1,1)上单调递减,则 a 的取值范围为(  ) A.a≥3 B.a>3 C.a≤3 D.a<3 【解答】解:∵f(x)=x3﹣ax﹣1, ∴f'(x)=3x2﹣a,第 15 页(共 21 页) 要使 f(x)在(﹣1,1)上单调递减, 则 f′(x)≤0 在 x∈(﹣1,1)上恒成立, 则 3x2﹣a≤0, 即 a≥3x2,在 x∈(﹣1,1)上恒成立, 在 x∈(﹣1,1)上,3x2<3, 即 a≥3, 故选:A. 26.定义在(﹣ )上的奇函数 f(x)的导函数为 f'(x),且 f(1)=0.当 x>0 时,f(x)<tanx •f'(x).则不等式 f(x)<0 的解集为   . 【解答】解:当 x>0 时,由 f(x)<tanxf′(x), f′(x)cosx﹣f(x)sinx>0,得 >0, g(x)= 在(0,+∞)递增, ∵g(x)是偶函数, ∴g(x)在(﹣∞,0)递减, g(1)=0=﹣g(﹣1), f(x)<0 等价于 sinxg(x)<0, 故 或 , 可得﹣ <x<﹣1 或 0<x<1, 故 f(x)<0 的解集是(﹣ ,﹣1)∪(0,1), 故答案为:(﹣ ,﹣1)∪(0,1). 27.已知定义在实数集 R 的函数 f(x)满足 f(1)=4 且 f(x)导函数 f′(x)<3,则不等式 f(lnx)> 3lnx+1 的解集为 (0,e) .第 16 页(共 21 页) 【解答】解:设 t=lnx, 则不等式 f(lnx)>3lnx+1 等价为 f(t)>3t+1, 设 g(x)=f(x)﹣3x﹣1, 则 g′(x)=f′(x)﹣3, ∵f(x)的导函数 f′(x)<3, ∴g′(x)=f′(x)﹣3<0,此时函数单调递减, ∵f(1)=4, ∴g(1)=f(1)﹣3﹣1=0, 则当 x>1 时,g(x)<g(1)=0, 即 g(x)<0,则此时 g(x)=f(x)﹣3x﹣1<0, 即不等式 f(x)>3x+1 的解为 x<1, 即 f(t)>3t+1 的解为 t<1, 由 lnx<1,解得 0<x<e, 即不等式 f(lnx)>3lnx+1 的解集为(0,e), 故答案为:(0,e). 28.函数 f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a+b= 7 . 【解答】解:对函数 f(x)求导得 f′(x)=3x2﹣2ax﹣b, 又∵在 x=1 时 f(x)有极值 10, ∴ , 解得: 或 , a=3,b=﹣3 时: f′(x)=3(x﹣1)2≥0(此时无极值,舍). a=﹣4,b=11 时,符合题意, ∴a+b=7,第 17 页(共 21 页) 故答案为:7. 29.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 存在极值,则实数 m 的取值范围为 (﹣∞,﹣3)∪(6,+∞) . 【解答】解:∵函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 存在极值, ∴f′(x)=3x2+2mx+m+6=0,它有两个不相等的实根, ∴△=4m2﹣12(m+6)>0 解得 m<﹣3 或 m>6. 故答案为:(﹣∞,﹣3)∪(6,+∞). 30.已知函数 f(x)=x3﹣3ax2+3x+1 在区间(2,3)中至少有一个极值点,则 a 的取值范围为 ( , )  . 【解答】解:∵f′(x)=3x2﹣6ax+3,而 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 等价于方程 3x2﹣6ax+3=0 在其判别式△>0(即 a>1 或 a<﹣1)的条件下在区间(2,3)有解. ∴由 3x2﹣6ax+3=0 可得 a= (x+ ), 令 g(x)= (x+ ),求导函数可得 g′(x)= (1﹣ ) ∴g(x)在(2,3)上单调递增, ∴ < (x+ )< , ∴ <a< ,此时满足△>0, 故 a 的取值范围是 <a< . 故答案为:( , ). 31.已知函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中 a,b∈R.若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,则 a 的取值范围是   . 【解答】解:由题意,f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4) 要保证函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,必须满足 f′(x)在 x=0 两侧异号, 所以要 4x2+3ax+4≥0 恒成立,第 18 页(共 21 页) 由判别式有:(3a)2﹣64≤0,∴9a2≤64 ∴﹣ ≤a≤ ∴a 的取值范围是 故答案为: 32.函数 f(x)=ax4﹣4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为 3,最小值为﹣6,则 ab= 1 . 【解答】解:∵函数 f(x)=ax4﹣4ax3+b(a>0),x∈[1,4], ∴f′(x)=4ax3﹣12ax2,令 4ax3﹣12ax2=0,解得 x=0 或 x=3, f(1)=b﹣3a;f(3)=b﹣27a,f(4)=b, ∵f(x)的最大值为 3,最小值为﹣6, ∵b=3,b﹣27a=﹣6,解得 a= , ab=1. 故答案为:1. 33.函数 在(0,e2]上的最大值是   . 【解答】解:函数 , ,令 f′(x)=0,解得 x=e. 因为 0<e<e2,函数 f(x)在 x∈(0,e]上单调递增,在 x∈[e,e2]单调递减; x=e 时,f(x)取得最大值,f(e)= . 故答案为: . 34.已知可导函数 f(x)的定义域为 R,f(1)=2,其导函数 f'(x)满足 f'(x)>3x2,则不等式 f(2x)< 8x3+1 的解集为 (﹣∞, ) . 【解答】解:不等式 f(2x)<8x3+1, 令 F(x)=f(x)﹣x3﹣1,则 F'(x)=f'(x)﹣3x2>0,第 19 页(共 21 页) ∴函数 F(x)在 R 上单调递增函数, ∵f(x)<x3+1, ∴f(x)﹣x3﹣1<f(1),F( )=f(2× )﹣8×( )3﹣1=0, f(2x)﹣8x3﹣1<0, 即 F(x)<F( ), 根据函数 F(x)在 R 上单调递增函数可知 x . 故答案为:(﹣∞, ). 35.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f'(x),∀x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)< x,若 f(6﹣m)﹣f(m)﹣18+6m≥0,则实数 m 的取值范围是 [3,+∞) . 【解答】解:令 g(x)=f(x)﹣ x2, ∵g(x)+g(﹣x)=f(x)﹣ x2+f(﹣x)﹣ x2=0, ∴函数 g(x)是奇函数, ∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0, 函数 g(x)在 x∈(0,+∞)递减, 又由题意得:f(0)=0,g(0)=0, 故函数 g(x)在 R 递减, 故 f(6﹣m)﹣f(m)﹣18+6m =g(6﹣m)+ (6﹣m)2﹣g(m)﹣ m2﹣18+6m≥0, 即 g(6﹣m)﹣g(m)≥0, ∴g(6﹣m)≥g(m), ∴6﹣m≤m,解得:m≥3, 故答案为:[3,+∞). 36.若 f(x)=ex﹣e﹣x,则满足不等式 f(3x﹣1)+f(2)>0 的 x 的取值范围是 (﹣ ,+∞) .第 20 页(共 21 页) 【解答】解:根据题意,f(x)=ex﹣e﹣x,则 f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣(ex﹣e﹣x)=﹣f(x),则函数 f(x) 为奇函数, 又由 f′(x)=ex+e﹣x>0,则函数 f(x)在 R 上为增函数; 则 f(3x﹣1)+f(2)>0⇒f(3x﹣1)>﹣f(2)⇒f(3x﹣1)>f(﹣2)⇒3x﹣1>﹣2, 解可得 x>﹣ , 即 x 的取值范围为(﹣ ,+∞); 故答案为:(﹣ ,+∞). 37.已知 f(x)=log2(4x+1)﹣x,则使得 f(2x﹣1)+1<log25 成立的 x 的取值范围是 (﹣∞,1)  【解答】解:根据题意,f(x)=log2(4x+1)﹣x, 其导数 f′(x)= ﹣1= >0, 故 f(x)在 R 递增, f(1)=log25﹣1, 故 f(2x﹣1)+1<log25, 即 f(2x﹣1)<f(1), 故 2x﹣1<1,解得:x<1, 故不等式的解集是(﹣∞,1), 故答案为:(﹣∞,1). 38.设函数 f(x)=lg(1+|x|)﹣ ,则使得 f(2x)<f(3x﹣2)成立的 x 的取值范围是 (﹣ )∪(2,+∞) . 【解答】解:函数 f(x)=lg(1+|x|)﹣ , ∴f(﹣x)=f(x),且函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增. ∵f(2x)<f(3x﹣2),第 21 页(共 21 页) ∴|2x|<|3x﹣2|, ∴(2x)2<(3x﹣2)2, 化为:(x﹣2)(5x﹣2)>0, 解得:x>2,或 x< . ∴使得 f(2x)<f(3x﹣2)成立的 x 的取值范围是 ∪(2,+∞). 故答案为: ∪(2,+∞). 39.已知函数 f(x)=x3+2x2﹣ax+1 在区间(0,1)上不是单调函数,则实数 a 的取值范围是 (0,7) . 【解答】解:对函数求导可得,f′(x)=3x2+4x﹣a 函数 f(x)=x3+2x2﹣ax+1 在区间(0,1)上不是单调函数, ∴ ,解得:0<a<7, 故答案为:(0,7). 40.设 f(x)=(x﹣1)(x﹣2)…(x﹣100),则 f′(1)= 。 【解答】解:∵f(x)=(x﹣1)(x﹣2)…(x﹣100), ∴f′(x)=(x﹣2)(x﹣3)…(x﹣100)+(x﹣1)(x﹣3)…(x﹣100)+…, 发现导函数的表达式从第二项求每一项都有(x﹣1)因子 则 f′(1)=(﹣1)(﹣2)…(﹣99)=﹣99!; 故答案为﹣99!. 查看更多

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