资料简介
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导数小题训练
1．已知函数 f（x﹣1）＝2x2﹣x，则 f′（x）＝（ ）
A．4x+3 B．4x﹣1 C．4x﹣5 D．4x﹣3
2．定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝4，则不等式 exf（x）＞4（其中 e 为自然
对数的底数）的解集为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞）
3．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数 a、b，若 a＜b
，则必有（ ）
A．af（a）＞bf（b） B．bf（a）＞af（b）
C．af（a）＞f（b） D．bf（b）＞f（a）
4．已知偶函数 f（x）在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）内可导，且xf'（x）＜0，设 a＝f（﹣1），
，c＝f（2），则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
5．已知定义域为 R 的函数 y＝f（x）关于 x＝1 对称，且（x﹣1）f'（x）＜0，若 ，b＝f（3），c＝
f（4），则 a、b、c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b
6．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e 为自然对数的底数）
，则不等式 f（2lnx）＜x2 的解集为（ ）
A．（ ，e） B．（0， ） C．（0，e） D．（1，e）
7．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f′（x），对任意的 x∈R，有 f（﹣x）﹣f（x）＝0，且 x∈[0，+∞）时 f
′（x）＞2x，若 f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
8．定义域为 R 的可导函数 y＝f（x）的导函数为 f′（x），且满足 f（x）+f′（x）＜0，则下列关系正确的
是（ ）第 2 页（共 21 页）
A．f（1）＜ ＜ B．f（﹣1）＜ ＜
C． ＜f（1）＜ D． ＜ ＜f（﹣1）
9 ． 函 数 f （ x ） 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 f （ x ） ＝ f （ 4 ﹣ x ） ， 且 （ x ﹣ 2 ） f' （ x ） ＞ 0 ， 若
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
10．已知 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为（ ）
A．[﹣3，6] B．（﹣3，6）
C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
11．若函数 f（x）＝x3+ax2+3x﹣9 在 x＝﹣1 时取得极值，则 a 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设 a∈R，若函数 y＝x+alnx 在区间（ ，e）有极值点，则 a 取值范围为（ ）
A．（ ，e） B．（﹣e，﹣ ）
C．（﹣∞， ）∪（e，+∞） D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣ ，+∞）
13．对任意的 x∈R，函数 f（x）＝x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是（ ）
A．a＝0 或 a＝7 B．a＜0 或 a＞21 C．0≤a≤21 D．a＝0 或 a＝21
14．函数 f（x）的定义域为（a，b），导函数 f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区
间（a，b）内有极值点（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
15．函数 f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x＝1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ）
A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）第 3 页（共 21 页）
C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在
16．若函数 f（x）＝x（x﹣c）2 在 x＝2 处有极大值，则常数 c 为（ ）
A．2 B．6 C．2 或 6 D．﹣2 或﹣6
17．函数 f（x）＝2x3﹣3x2+a 的极大值为 6，那么 a 的值是（ ）
A．5 B．0 C．6 D．1
18．函数 f（x）＝4x﹣lnx 的最小值为（ ）
A．1+2ln2 B．1﹣2ln2 C．1+ln2 D．1﹣ln2
19．函数 f（x）＝ ，x∈[0，4]的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
20．函数 f（x）＝x3﹣3lnx 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．若函数 f（x）＝（2a﹣1）lnx﹣x 在（0，1）上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞ C．a≥1 D．a≤
22．函数 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数 a 的范围是（ ）
A．{1} B．（﹣1，1） C．（0.1） D．{﹣1，1}
23．若函数 f（x）＝lnx﹣ ﹣ax﹣b 在定义域上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B． C．[0+∞） D．[1+∞）
24．若函数 f（x）＝asinx+cosx 在[﹣ ]为增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
25．已知函数 f（x）＝x3﹣ax﹣1，若 f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3
26．定义在（﹣ ）上的奇函数 f（x）的导函数为 f'（x），且 f（1）＝0．当 x＞0 时，f（x）＜tanx第 4 页（共 21 页）
•f'（x）．则不等式 f（x）＜0 的解集为 ．
27．已知定义在实数集 R 的函数 f（x）满足 f（1）＝4 且 f（x）导函数 f′（x）＜3，则不等式 f（lnx）＞
3lnx+1 的解集为 ．
28．函数 f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a+b＝ ．
29．已知函数 f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1 存在极值，则实数 m 的取值范围为 ．
30．已知函数 f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1 在区间（2，3）中至少有一个极值点，则 a 的取值范围为 ．
31．已知函数 f（x）＝x4+ax3+2x2+b，其中 a，b∈R．若函数 f（x）仅在 x＝0 处有极值，则 a 的取值范围是 ．
32．函数 f（x）＝ax4﹣4ax3+b（a＞0），x∈[1，4]，f（x）的最大值为 3，最小值为﹣6，则 ab＝ ．
33．函数 在（0，e2]上的最大值是 ．
34．已知可导函数 f（x）的定义域为 R，f（1）＝2，其导函数 f'（x）满足 f'（x）＞3x2，则不等式 f（2x）＜
8x3+1 的解集为 ．
35．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f'（x），∀x∈R，有 f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜
x，若 f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数 m 的取值范围是 ．
36．若 f（x）＝ex﹣e﹣x，则满足不等式 f（3x﹣1）+f（2）＞0 的 x 的取值范围是 ．
37．已知 f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得 f（2x﹣1）+1＜log25 成立的 x 的取值范围是
38．设函数 f（x）＝lg（1+|x|）﹣ ，则使得 f（2x）＜f（3x﹣2）成立的 x 的取值范围是 ．
39．已知函数 f（x）＝x3+2x2﹣ax+1 在区间（0，1）上不是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ．
40．设 f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣100），则 f′（1）= 。第 5 页（共 21 页）
参考答案与试题解析
1．已知函数 f（x﹣1）＝2x2﹣x，则 f′（x）＝（ ）
A．4x+3 B．4x﹣1 C．4x﹣5 D．4x﹣3
【解答】解：令 x﹣1＝t，则 x＝t+1
所以 f（t）＝2（t+1）2﹣（t+1）＝2t2+3t+1
所以 f（x）＝2x2+3x+1
∴f′（x）＝4x+3
故选：A．
2．定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝4，则不等式 exf（x）＞4（其中 e 为自然
对数的底数）的解集为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞）
【解答】解：令 g（x）＝exf（x），
则 g′（x）＝ex（f（x）+f′（x））＞0，
故 g（x）在 R 递增，
而 g（0）＝f（0）＝4，
故不等式 exf（x）＞4，
即 g（x）＞g（0），
解得：x＞0，
故不等式的解集是（0，+∞），
故选：D．
3．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数 a、b，若 a＜b
，则必有（ ）
A．af（a）＞bf（b） B．bf（a）＞af（b）
C．af（a）＞f（b） D．bf（b）＞f（a）第 6 页（共 21 页）
【解答】解：设 g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，
则 g′（x）＝xf′（x）+f（x）≤0，
∴g（x）在区间 x∈（0，+∞）单调递减或 g（x）为常函数，
∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即 af（a）≥bf（b）．
故选：A．
4．已知偶函数 f（x）在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）内可导，且xf'（x）＜0，设 a＝f（﹣1），
，c＝f（2），则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：x＞0 时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
而 f（x）是偶函数，
故 x＜0 时，f（x）在（﹣∞，0）递增，
故 a＝f（﹣1）＝f（1），
而 ＜1＜2，
故 c＜a＜b，
故选：B．
5．已知定义域为 R 的函数 y＝f（x）关于 x＝1 对称，且（x﹣1）f'（x）＜0，若 ，b＝f（3），c＝
f（4），则 a、b、c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足（x﹣1）f'（x）＜0，
则当 x＜1 时 f'（x）＞0，x＞1 时 f'（x）＜0，
则 f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又 f（x）关于 x＝1 对称，则 f（ ）＝f（ ），
则有 ，
即 c＜b＜a；第 7 页（共 21 页）
故选：A．
6．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，且 f′（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e 为自然对数的底数）
，则不等式 f（2lnx）＜x2 的解集为（ ）
A．（ ，e） B．（0， ） C．（0，e） D．（1，e）
【解答】解：设 g（x）＝ ，f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＝ ＞0，
∴g（x）在 R 上递增，
不等式 f（2lnx）＜x2 即为 ＜1，（x＞0），即 ＜1，x＞0．
∵g（2）＝ ＝1，
∴g（2lnx）＜g（2），
∴2lnx＜2，
∴0＜x＜e，
故选：C．
7．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f′（x），对任意的 x∈R，有 f（﹣x）﹣f（x）＝0，且 x∈[0，+∞）时 f
′（x）＞2x，若 f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
【解答】解：对任意的 x∈R，有 f（﹣x）﹣f（x）＝0，
∴f（x）为偶函数，
设 g（x）＝f（x）﹣x2，
∴g′（x）＝f′（x）﹣2x，
∵x∈[0，+∞）时 f′（x）＞2x，
∴g′（x）＝f′（x）﹣2x＞0，
∴g（x）在∈[0，+∞）为增函数，
∵f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，第 8 页（共 21 页）
∴f（a﹣2）﹣（a﹣2）2≥f（a）﹣a2，
∴g（a﹣2）≥g（a），
∴|a﹣2|≥|a|，
解得 a≤1，
故选：A．
8．定义域为 R 的可导函数 y＝f（x）的导函数为 f′（x），且满足 f（x）+f′（x）＜0，则下列关系正确的
是（ ）
A．f（1）＜ ＜ B．f（﹣1）＜ ＜
C． ＜f（1）＜ D． ＜ ＜f（﹣1）
【解答】解：令 g（x）＝exf（x），
则 g′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]＜0，
g（x）R 递减，
故 g（1）＜g（0）＜g（﹣1），
即 ef（1）＜f（0）＜ ，
故 f（1）＜ ＜ ，
故选：A．
9 ． 函 数 f （ x ） 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 f （ x ） ＝ f （ 4 ﹣ x ） ， 且 （ x ﹣ 2 ） f' （ x ） ＞ 0 ， 若
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【解答】解：由 f（x）＝f（4﹣x）可知，f（x）的图象关于 x＝2 对称，
根据题意又知 x∈（﹣∞，2）时，f'（x）＜0，此时 f（x）为减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
所以 f（3）＝f（1）＜f（ ）＜f（0），即 c＜b＜a，第 9 页（共 21 页）
故选：C．
10．已知 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为（ ）
A．[﹣3，6] B．（﹣3，6）
C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
【解答】解：函数 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，所以 f′（x）＝3x2+2ax+（a+6），
因为函数有极大值和极小值，所以方程 f′（x）＝0 有两个不相等的实数根，
即 3x2+2ax+（a+6）＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3 或 a＞6．
故选：D．
11．若函数 f（x）＝x3+ax2+3x﹣9 在 x＝﹣1 时取得极值，则 a 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵f′（x）＝3x2+2ax+3，f（x）在 x＝﹣1 时取得极值，
∴f′（﹣1）＝6﹣2a＝0
∴a＝3．
故选：C．
12．设 a∈R，若函数 y＝x+alnx 在区间（ ，e）有极值点，则 a 取值范围为（ ）
A．（ ，e） B．（﹣e，﹣ ）
C．（﹣∞， ）∪（e，+∞） D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣ ，+∞）
【解答】解：函数 y＝f（x）＝x+alnx 在区间（ ，e）有极值点⇔y′＝0 在区间（ ，e）有零点．
f′（x）＝1+ ＝ ．（x＞0）．
∴ ，
∴ ，
解得 ．第 10 页（共 21 页）
∴a 取值范围为 ．
故选：B．
13．对任意的 x∈R，函数 f（x）＝x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是（ ）
A．a＝0 或 a＝7 B．a＜0 或 a＞21 C．0≤a≤21 D．a＝0 或 a＝21
【解答】解：∵函数 f（x）＝x3+ax2+7ax（x∈R），
∴f′（x）＝3x2+2ax+7a，
∵函数 f（x）＝x3+ax2+7ax（x∈R）不存在极值，且 f′（x）的图象开口向上，
∴f′（x）≥0 对 x∈R 恒成立，
∴△＝4a2﹣84a≤0，
解得 0≤a≤21，
∴a 的取值范围是 0≤a≤21．
故选：C．
14．函数 f（x）的定义域为（a，b），导函数 f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区
间（a，b）内有极值点（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：从 f′（x）的图象可知 f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为 0，左右两侧异号的点为极值点，
由图可知，在（a，b）内只有 3 个极值点．
故选：C．
15．函数 f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x＝1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ）
A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）
C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在第 11 页（共 21 页）
【解答】解：对函数 f（x）求导得 f′（x）＝3x2﹣2ax﹣b，
又∵在 x＝1 时 f（x）有极值 10，
∴ ，
解得 或 ，
验证知，当 a＝3，b＝﹣3 时，在 x＝1 无极值，
故选：B．
16．若函数 f（x）＝x（x﹣c）2 在 x＝2 处有极大值，则常数 c 为（ ）
A．2 B．6 C．2 或 6 D．﹣2 或﹣6
【解答】解：∵函数 f（x）＝x（x﹣c）2＝x3﹣2cx2+c2x，它的导数为 f′（x）＝3x2﹣4cx+c2，
由题意知，在 x＝2 处的导数值为 12﹣8c+c2＝0，∴c＝6，或 c＝2，
又函数 f（x）＝x（x﹣c）2 在 x＝2 处有极大值，故导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数．
当 c＝2 时，f′（x）＝3x2﹣8x+4＝3（x﹣ ）（x﹣2），不满足导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数．
当 c＝6 时，f′（x）＝3x2﹣24x+36＝3（x2﹣8x+12）＝3（x﹣2）（x﹣6），
满足导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数．故 c＝6．
故选：B．
17．函数 f（x）＝2x3﹣3x2+a 的极大值为 6，那么 a 的值是（ ）
A．5 B．0 C．6 D．1
【解答】解：∵函数 f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数 f′（x）＝6x2﹣6x，令 f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝1，
导数在 x＝0 的左侧大于 0，右侧小于 0，故 f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．
导数在 x＝1 的左侧小于 0，右侧大于 0，故 f（1）为极小值．
故选：C．
18．函数 f（x）＝4x﹣lnx 的最小值为（ ）
A．1+2ln2 B．1﹣2ln2 C．1+ln2 D．1﹣ln2第 12 页（共 21 页）
【解答】解： ，
当 时，f′（x）＜0；
当 时，f′（x）＞0．
故 ，
故选：A．
19．函数 f（x）＝ ，x∈[0，4]的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：f（x）＝ ，x∈[0，4]，
f′（x）＝e﹣x﹣xe﹣x＝e﹣x（1﹣x），
∴当 0≤x≤1 时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
当 1≤x≤4 时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，
∴当 x＝1 时，f（x）max＝f（1）＝ ．
故选：B．
20．函数 f（x）＝x3﹣3lnx 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函数 f（x）＝x3﹣3lnx 的定义域为：（0，+∞）．
可得：f′（x）＝ ＝ ， ＝0，可得 x＝1，
所以 x∈（0，1）上 f′（x）＜0，函数 f（x）是减函数；
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数是增函数，
所以函数的最小值为：f（1）＝1．
故选：B．
21．若函数 f（x）＝（2a﹣1）lnx﹣x 在（0，1）上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）第 13 页（共 21 页）
A．a＜1 B．a＞ C．a≥1 D．a≤
【解答】解：∵f（x）＝（2a﹣1）lnx﹣x，
f′（x）＝ ﹣1＝ ，
若 f（x）在（0，1）上为减函数，
则（2a﹣1）﹣x≤0 在 x∈（0，1）恒成立，
即 a≤（ ）min＝ ，
故选：D．
22．函数 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数 a 的范围是（ ）
A．{1} B．（﹣1，1） C．（0.1） D．{﹣1，1}
【解答】解：∵函数 f（x）在 R 上单调递增．
∴f′（x）＝ex﹣1﹣ax+（a﹣1）≥0 恒成立，
令 g（x）＝ex﹣1﹣ax+（a﹣1），则 g′（x）＝ex﹣1﹣a，
∵g（1）＝0．
∴g（x）必须在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴1 为函数 g（x）的极小值点．
∴g′（1）＝1﹣a＝0，解得 a＝1．
故选：A．
23．若函数 f（x）＝lnx﹣ ﹣ax﹣b 在定义域上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B． C．[0+∞） D．[1+∞）
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
故 f′（x）＝ + ﹣a＝ ，
若 f（x）在（0，+∞）递增，第 14 页（共 21 页）
则﹣ax2+x+1≥0 在（0，+∞）恒成立，
a＝0 时，显然成立，
a≠0，只需 a≤（ + ）min，
而 y＝ + 在（0，+∞）递减，
故 a＜0，
综上，a≤0，
故选：A．
24．若函数 f（x）＝asinx+cosx 在[﹣ ]为增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【解答】解：①当 a＝0 时，函数 f（x）＝asinx+cosx 在[﹣ ， ]上先递增再单调递减，结论不成立．
②当 a≠0 时，f（x）＝asinx+cosx
f′（x）＝acosx﹣sinx，
若 f（x）在[﹣ ]为单调增函数，
则 acosx﹣sinx≥0 在[﹣ ]恒成立，
故 a≥tanx 在[﹣ ]恒成立，
而 y＝tanx 在[﹣ ]的最大值是 1，
故 a≥1，
故选：A．
25．已知函数 f（x）＝x3﹣ax﹣1，若 f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣ax﹣1，
∴f'（x）＝3x2﹣a，第 15 页（共 21 页）
要使 f（x）在（﹣1，1）上单调递减，
则 f′（x）≤0 在 x∈（﹣1，1）上恒成立，
则 3x2﹣a≤0，
即 a≥3x2，在 x∈（﹣1，1）上恒成立，
在 x∈（﹣1，1）上，3x2＜3，
即 a≥3，
故选：A．
26．定义在（﹣ ）上的奇函数 f（x）的导函数为 f'（x），且 f（1）＝0．当 x＞0 时，f（x）＜tanx
•f'（x）．则不等式 f（x）＜0 的解集为 ．
【解答】解：当 x＞0 时，由 f（x）＜tanxf′（x），
f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，得 ＞0，
g（x）＝ 在（0，+∞）递增，
∵g（x）是偶函数，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减，
g（1）＝0＝﹣g（﹣1），
f（x）＜0 等价于 sinxg（x）＜0，
故 或 ，
可得﹣ ＜x＜﹣1 或 0＜x＜1，
故 f（x）＜0 的解集是（﹣ ，﹣1）∪（0，1），
故答案为：（﹣ ，﹣1）∪（0，1）．
27．已知定义在实数集 R 的函数 f（x）满足 f（1）＝4 且 f（x）导函数 f′（x）＜3，则不等式 f（lnx）＞
3lnx+1 的解集为 （0，e） ．第 16 页（共 21 页）
【解答】解：设 t＝lnx，
则不等式 f（lnx）＞3lnx+1 等价为 f（t）＞3t+1，
设 g（x）＝f（x）﹣3x﹣1，
则 g′（x）＝f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数 f′（x）＜3，
∴g′（x）＝f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）＝4，
∴g（1）＝f（1）﹣3﹣1＝0，
则当 x＞1 时，g（x）＜g（1）＝0，
即 g（x）＜0，则此时 g（x）＝f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式 f（x）＞3x+1 的解为 x＜1，
即 f（t）＞3t+1 的解为 t＜1，
由 lnx＜1，解得 0＜x＜e，
即不等式 f（lnx）＞3lnx+1 的解集为（0，e），
故答案为：（0，e）．
28．函数 f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a+b＝ 7 ．
【解答】解：对函数 f（x）求导得 f′（x）＝3x2﹣2ax﹣b，
又∵在 x＝1 时 f（x）有极值 10，
∴ ，
解得： 或 ，
a＝3，b＝﹣3 时：
f′（x）＝3（x﹣1）2≥0（此时无极值，舍）．
a＝﹣4，b＝11 时，符合题意，
∴a+b＝7，第 17 页（共 21 页）
故答案为：7．
29．已知函数 f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1 存在极值，则实数 m 的取值范围为 （﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） ．
【解答】解：∵函数 f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1 存在极值，
∴f′（x）＝3x2+2mx+m+6＝0，它有两个不相等的实根，
∴△＝4m2﹣12（m+6）＞0
解得 m＜﹣3 或 m＞6．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
30．已知函数 f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1 在区间（2，3）中至少有一个极值点，则 a 的取值范围为 （ ， ）
．
【解答】解：∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而 f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程 3x2﹣6ax+3＝0 在其判别式△＞0（即 a＞1 或 a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由 3x2﹣6ax+3＝0 可得 a＝ （x+ ），
令 g（x）＝ （x+ ），求导函数可得 g′（x）＝ （1﹣ ）
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴ ＜ （x+ ）＜ ，
∴ ＜a＜ ，此时满足△＞0，
故 a 的取值范围是 ＜a＜ ．
故答案为：（ ， ）．
31．已知函数 f（x）＝x4+ax3+2x2+b，其中 a，b∈R．若函数 f（x）仅在 x＝0 处有极值，则 a 的取值范围是
．
【解答】解：由题意，f′（x）＝4x3+3ax2+4x＝x（4x2+3ax+4）
要保证函数 f（x）仅在 x＝0 处有极值，必须满足 f′（x）在 x＝0 两侧异号，
所以要 4x2+3ax+4≥0 恒成立，第 18 页（共 21 页）
由判别式有：（3a）2﹣64≤0，∴9a2≤64
∴﹣ ≤a≤
∴a 的取值范围是
故答案为：
32．函数 f（x）＝ax4﹣4ax3+b（a＞0），x∈[1，4]，f（x）的最大值为 3，最小值为﹣6，则 ab＝ 1 ．
【解答】解：∵函数 f（x）＝ax4﹣4ax3+b（a＞0），x∈[1，4]，
∴f′（x）＝4ax3﹣12ax2，令 4ax3﹣12ax2＝0，解得 x＝0 或 x＝3，
f（1）＝b﹣3a；f（3）＝b﹣27a，f（4）＝b，
∵f（x）的最大值为 3，最小值为﹣6，
∵b＝3，b﹣27a＝﹣6，解得 a＝ ，
ab＝1．
故答案为：1．
33．函数 在（0，e2]上的最大值是 ．
【解答】解：函数 ， ，令 f′（x）＝0，解得 x＝e．
因为 0＜e＜e2，函数 f（x）在 x∈（0，e]上单调递增，在 x∈[e，e2]单调递减；
x＝e 时，f（x）取得最大值，f（e）＝ ．
故答案为： ．
34．已知可导函数 f（x）的定义域为 R，f（1）＝2，其导函数 f'（x）满足 f'（x）＞3x2，则不等式 f（2x）＜
8x3+1 的解集为 （﹣∞， ） ．
【解答】解：不等式 f（2x）＜8x3+1，
令 F（x）＝f（x）﹣x3﹣1，则
F'（x）＝f'（x）﹣3x2＞0，第 19 页（共 21 页）
∴函数 F（x）在 R 上单调递增函数，
∵f（x）＜x3+1，
∴f（x）﹣x3﹣1＜f（1），F（ ）＝f（2× ）﹣8×（ ）3﹣1＝0，
f（2x）﹣8x3﹣1＜0，
即 F（x）＜F（ ），
根据函数 F（x）在 R 上单调递增函数可知 x ．
故答案为：（﹣∞， ）．
35．设函数 f（x）在 R 上存在导数 f'（x），∀x∈R，有 f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜
x，若 f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数 m 的取值范围是 [3，+∞） ．
【解答】解：令 g（x）＝f（x）﹣ x2，
∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）﹣ x2+f（﹣x）﹣ x2＝0，
∴函数 g（x）是奇函数，
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，
函数 g（x）在 x∈（0，+∞）递减，
又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，
故函数 g（x）在 R 递减，
故 f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m
＝g（6﹣m）+ （6﹣m）2﹣g（m）﹣ m2﹣18+6m≥0，
即 g（6﹣m）﹣g（m）≥0，
∴g（6﹣m）≥g（m），
∴6﹣m≤m，解得：m≥3，
故答案为：[3，+∞）．
36．若 f（x）＝ex﹣e﹣x，则满足不等式 f（3x﹣1）+f（2）＞0 的 x 的取值范围是 （﹣ ，+∞） ．第 20 页（共 21 页）
【解答】解：根据题意，f（x）＝ex﹣e﹣x，则 f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数 f（x）
为奇函数，
又由 f′（x）＝ex+e﹣x＞0，则函数 f（x）在 R 上为增函数；
则 f（3x﹣1）+f（2）＞0⇒f（3x﹣1）＞﹣f（2）⇒f（3x﹣1）＞f（﹣2）⇒3x﹣1＞﹣2，
解可得 x＞﹣ ，
即 x 的取值范围为（﹣ ，+∞）；
故答案为：（﹣ ，+∞）．
37．已知 f（x）＝log2（4x+1）﹣x，则使得 f（2x﹣1）+1＜log25 成立的 x 的取值范围是 （﹣∞，1）
【解答】解：根据题意，f（x）＝log2（4x+1）﹣x，
其导数 f′（x）＝ ﹣1＝ ＞0，
故 f（x）在 R 递增，
f（1）＝log25﹣1，
故 f（2x﹣1）+1＜log25，
即 f（2x﹣1）＜f（1），
故 2x﹣1＜1，解得：x＜1，
故不等式的解集是（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
38．设函数 f（x）＝lg（1+|x|）﹣ ，则使得 f（2x）＜f（3x﹣2）成立的 x 的取值范围是 （﹣
）∪（2，+∞） ．
【解答】解：函数 f（x）＝lg（1+|x|）﹣ ，
∴f（﹣x）＝f（x），且函数 f（x）在[0，+∞）上单调递增．
∵f（2x）＜f（3x﹣2），第 21 页（共 21 页）
∴|2x|＜|3x﹣2|，
∴（2x）2＜（3x﹣2）2，
化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，
解得：x＞2，或 x＜ ．
∴使得 f（2x）＜f（3x﹣2）成立的 x 的取值范围是 ∪（2，+∞）．
故答案为： ∪（2，+∞）．
39．已知函数 f（x）＝x3+2x2﹣ax+1 在区间（0，1）上不是单调函数，则实数 a 的取值范围是 （0，7） ．
【解答】解：对函数求导可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a
函数 f（x）＝x3+2x2﹣ax+1 在区间（0，1）上不是单调函数，
∴ ，解得：0＜a＜7，
故答案为：（0，7）．
40．设 f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣100），则 f′（1）= 。
【解答】解：∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣100），
∴f′（x）＝（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣100）+（x﹣1）（x﹣3）…（x﹣100）+…，
发现导函数的表达式从第二项求每一项都有（x﹣1）因子
则 f′（1）＝（﹣1）（﹣2）…（﹣99）＝﹣99！；
故答案为﹣99！．
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