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人教A版选修4-5课件4.2 用数学归纳法证明不等式举例

2023-06-27
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二用数学归纳法证明不等式举例 1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.2.会用数学归纳法证明不等式. 1.观察、归纳、猜想、证明的方法剖析:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论. 2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧剖析:在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构. 题型一题型二题型三题型四分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明. 题型一题型二题型三题型四当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=852=25,当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2, 题型一题型二题型三题型四下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设当n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述, 题型一题型二题型三题型四反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向.再用数学归纳法证明结论成立. 题型一题型二题型三题型四(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M. 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…anQn.②若x=0,则Pn=Qn.③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3 查看更多

人教A版选修4-5课件4.2 用数学归纳法证明不等式举例

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