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第四讲用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
1.掌握数学归纳法及其证明思路.2.理解数学归纳法的步骤.
1.数学归纳法及其证明思路剖析:归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法.它包括不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法.比如在学习数列的知识时,我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式,这个过程用的就是不完全归纳法,我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的.例如,一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2,容易验证a1=1,a2=1,a3=1,a4=1.但如果由此作出结论——对任何n∈N+,an=(n2-5n+5)2=1都成立,那就是错误的,事实上,a5=25≠1.完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.
2.应用数学归纳法证明问题的条件和n0值的确定剖析:数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如,用数学归纳法证明的单调性就难以实现,一般说来,从k=n到k=n+1时,如果问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法较容易,否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时,要注意起点n并非一定取1,也可能取0,2等,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°,这里面的n应不小于3,即n≥3,第一个值n0=3.
归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键,这也是能否由“n=k”递推到“n=k+1”的关键,在证明过程中,需根据命题的变化或者在步骤的变化中,从数学式子的结构特点上,利用拼凑的方法,凑假设,凑结论,从而使“递推关系”得以顺利进行,命题得以证明.
题型一题型二题型三题型四【例1】用数学归纳法证明(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).分析:证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除,主要是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k),就可证得命题成立.
题型一题型二题型三题型四证明:(1)当n=1时,原式=(3×1+1)×7-1=27,能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,(3k+1)·7k-1能被9整除,则当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=[21(k+1)+7]·7k-1=[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1=[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k.∵[(3k+1)·7k-1]和9(2k+3)·7k都能被9整除,∴[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除,即[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,命题都成立,即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一题型二题型三题型四反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.分析:本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式(x+y)有困难,故可考虑用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,x2k-y2k能被x+y整除,那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k-x2y2k+x2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2).∵x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除,∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除,即n=k+1时,x2k+2-y2k+2能被x+y整除,由(1)(2)可知,对任意正整数n命题均成立.
题型一题型二题型三题型四【例2】已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….(1)求a3;(2)证明:an=an-2+2,n=3,4,5,….分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与当n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.
题型一题型二题型三题型四
题型一题型二题型三题型四(2)证明:用数学归纳法证明:当n=3时,a3=a1+2,等式成立.假设当n=k(k≥3)时,等式成立,即ak=ak-2+2.因为ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),ak=ak-2+2≠0,所以ak+1=ak-1+2.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.综上可知,对所有n≥3,n∈N+,有an=an-2+2,即an=an-2+2,n=3,4,5,….
题型一题型二题型三题型四反思利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述当n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
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题型一题型二题型三题型四那么当n=k+1时,这就是说,当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对任何n(n∈N+)都成立.
题型一题型二题型三题型四【例3】平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).分析:因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明就很容易解决.
题型一题型二题型三题型四证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.则n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.所以当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N+,命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).
题型一题型二题型三题型四反思对于几何问题的证明,可以从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,然后再去证明,也可以用“递推”的办法,比如本题,当n=k+1时的结果已经知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后从有限的情况来理解如何增加的,也就容易理解了.
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题型一题型二题型三题型四易错点用数学归纳法证题时,第二步没有用上假设n=k时结论成立这个重要条件
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题型一题型二题型三题型四错因分析:从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法证明等式成立.在第二步中,证明当n=k+1命题成立时没有用上假设,而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.
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