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4.5第1课时利用三角形全等测距离一、选择题（共15小题）1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定答案：C解析：解答：根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C。分析：作一个三角形等于已知的三角形，其根本就是作边与角，属于基本作图。2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角答案：D解析：解答：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D。分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边及夹角作图，用的是ASA判定定理。3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角；B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角答案：A解析：解答：已知作一个直角三角形，就包含着一个条件是直角了。又要使其直角边等于已知线段，恰好是SAS法作三角形，故A。
分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边夹直角作图，用的是SAS判定定理。4．已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线答案：C解析：解答：已知三边作三角形时，用到的三角形的判定方法是SSS定理，而第一条边的作法，需要在射线上截取一条线段等于已知的线段。故C。分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的三边作图，用的是SSS判定定理。5．如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是()FEBACDA．SSSB．ASAC．AASD．SAS答案：B解析：解答：根据题意可得：∠ABC=∠EDC=90°BC=DC（已知）又∠ACB=∠ECD（对顶角相等）∴△ACB≌△ECD（ASA）∴DE=AB故B
分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，此题用的是ASA判定方法。对于三角形全等的判定，必须在三个条件，其中可以包含原题中隐含的条件．6．如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC=AB，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（）A．AO=COB．BO=DOC．AC=BDD．AO=CO且BO=DO答案：D解析：解答：三角形全等，需要三个条件，各选项中，只给出了一个条件，再加上隐含的对顶角相等，才两个条件，故不正确。对于选项D，可得：AO=CO且BO=DO（已知）∠AOB=∠COD（对顶角相等）∴△ACB≌△DCE（SAS）∴DC=AB故D分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行。对于三角形全等的判定，必须在三个条件，其中可以包含原题中隐含的条件．7．山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE。可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长。判定△ABC≌△DEC的理由是()
ABEDCA．SSSB．ASAC．AASD．SAS答案：D解析：解答：由原题可得：CD=CA∠ACB=∠DCECE=CB∴△ACB≌△DCE（SAS）∴DE=AB故D。分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行。8．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSSB．ASAC．AASD．SAS答案：D解析：解答：由原题可得：
AC=DC∠ACB=∠DCBBC=BC∴△ACB≌△DCB（SAS）∴AB=DB故D分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行．9．下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短；B．过一点有一条直线平行于已知直线；C．有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等；D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线答案：D解析：解答：A应为“两点之间，线段最短”；B应为“过直线外一点有且只有一点平行于已知直线”；C应为“有两组边与夹角对应相等的两个三角形全等”，故D．分析：此题考察了多个知识点，每个知识点本身都不难，但是一组合在一起，就容易造成混淆，因此需要认真研究．10．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（）个A．3B．4C．6D．9答案：C解析：解答：根据题意可以作出的三角形如下图所示：
△BAEF≌△ABC△DCB≌△ABC△CFA≌△ABC△ABG≌△ABC△IBC≌△ABC△AHC≌△ABC故选C。分析：此题结合了三角形全等的判定和三角形的作图，是一道较难的数学综合性操作题，需要认真研究才能得出正确答案．11．如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC，AE=FC，AD=BC，点A、E、F、C在同一直线上，其中错误的是（）A．FD∥BEB．∠B=∠DC．AD=CED．∠BEA=∠DFC答案：C解析：解答：∵AE=FC∴AE+EF=EF+FC∴AF=EC∵AD∥BC∴∠A=∠C又∵AD=BC
∴△ADF≌△CBE∴∠B=∠D∠BEC=∠DFA∴FD∥BE∠BEA=∠DFC故选C．分析：此题对于全等三角形的判定与性质进行了综合性考察，较难，既要细心认真才能辨别正确。12．如果两个三角形全等，那么下列结论正确的是（）A．这两个三角形是直角三角形B．这两个三角形都是锐角三角形C．这两个三角形的面积相等D．这两个三角形是钝角三角形答案：C解析：解答：A、B、D是可能的，但不是确定的；只有C是确定的；故选C。分析：此题对于全等三角形的性质进行了考察，内容简单易懂．13．在下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DEC.∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠DD.AB=DE，BC=EF，△ABC的周长等于△DEF的周长答案：D解析：解答：A中不是夹角相等；B中不是夹边相等；C中没有至少一条边；故选D。分析：此题综合考察了三角形全等的判定方法，把常常出错的地方都进行了强化训练，是一道不错的综合性质题目．14．如图1，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2答案：A解析：解答：由折叠知△BDC≌△BDC∴∠C′BD=∠CBD=22.5°∠C′=∠C=90°∴∠C′BC=45°又∵∠ABC=90°∴∠ABE=45°易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°。综上所述共有5个角为45°，判故选A。分析：此题根据翻折得到全等，进而角相等，利用角的和差求出各个角的度数，所用到的知识点比较多，包括矩形的性质，三角形全等的判定，角的计算，三角形的内角和等，是一道不错的综合性质题目。15．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案：B解析：解答：判断可知：（1）正确；（2）错误，对称轴是顶角的平分线所在的直线；（3）错误，应该是“一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的垂线的对称点”；（4）错误，其逆命题正确，但其本身不正确。综上，正确的个数是1个，故选B．二、填空题（共5小题）
16．在证明两个三角形全等时，最容易忽视的是（）和（）答案：公共边|对顶角解析：解答：在进行三角形全等时，常常忽视公共边和对顶角这两个隐含的条件．分析：本题考察了学生常常忽视的而又很常用的两个条件，对于提醒学生扎实掌握全等的判定有着促进作用．17．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是（）度．第13题图答案：120解析：解答：由题意可得：△ABC≌△EBD∴∠E=∠A=30°∠EDB=∠C=60°∵∠EDB+∠ADE=180°∴∠ADE=120°分析：本题充分利用全等的两个三角板解决问题，并考察了以前所学习的邻补角，内容简单．18．如图，△AOD关于直线进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO（2）直线垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是（）．
图2答案：（3）解析：解答：由对称变换可得：△AOD≌△BOC∴∠DAO=∠CBO∠ADO=∠BCOAO=BODO=CO∴直线垂直平分AB、CD（3）不正确分析：本题充分利用对称变换后得到的全等三角形的性质解决问题，步骤虽多，但内容较简单．19．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为（）图3答案：15cm解析：解答：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合∴DA=DB∵AC=5cm，BC=10cm∴△ACD的周长为AC+CD+DA
=AC+CD+DB=AC+CB=5cm+10cm=15cm答：△ACD的周长为15cm分析：本题充分利用线段垂直平分线的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单。20．如图已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm.则AE的长是（）.图12答案：2cm解析：解答：∵AB⊥CD △BCE是等腰三角形∴BC=BE=3cm.∵CD=8cm∴BD=BC－CB=8cm－3cm=5cm∵△ABD是等腰三角形∴AB=BD=5cm∴AE=AB－BE=5cm－3cm=2cm分析：本题充分利用等腰三角形的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单．三、解答题（共5小题）21．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
答案：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：∵AB⊥BFED⊥BF∴∠ABC=∠EDC=90°又∵CD=BC∠ACB=∠ECD∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．解析：解答：答案处有解答过程分析：根据题中垂直可得到一组角相等，再根据对顶角相等，已知一组边相等，得到三角形全等的三个条件，于是根据ASA可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．22．为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；
（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．答案：∵PA=PDPC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35m．解析：解答：答案处有解答过程分析：根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．23．如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．答案：∵AA′，BB′的中点为O∴OA＝OA′，OB＝OB′又∠AOB＝∠A′OB′∴△A′OB′≌△AOB，∴AB=A′B′．解析：解答：答案处有解答过程
分析：根据线段中点的性质，得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等。24．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）答案：AE=CF（OE=OF；DE∥BF等等）（2）说明你的结论的正确性．答案：因为四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠DCF=∠BAF，又∵AE=CF，∴AC-AE=AC-CF，∴AF=CE，∴△DEC≌△BFA解析：解答：答案处有解答过程分析：首先根据矩形的性质得到边相等与角相等，再根据等量减等量差相等，得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．25．在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？一位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。这是为什么呢？
答案：理由是：在△AHB与中，∴解析：解答：在本题中，根据题意可以知道，满足了三个条件：（1）身体高度一定，（2）帽檐处的角度一定，（3）脚下的直角一定，故根据ASA判定方法，可以得到两个三角形全全等，∴距离相等。分析：根据三角形全等的判定方法，得到一些相应线段或角相等，在现实生活中有许多应用的实例．
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