资料简介
2022-2023学年上学期长沙初中数学九年级期中典型试卷1一、选择题（共12小题）1．（2021•惠州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 A．B．C．D．2．（2019秋•扶风县期中）用配方法解方程，配方正确的是 A．B．C．D．3．（2021秋•岳麓区校级期中）多项式的最小值是 A．B．C．0D．124．（2021秋•宁乡市期中）下列方程中以1，为根的一元二次方程是 A．B．C．D．5．（2020春•雨花区校级期中）若关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则实数的取值范围是 A．B．C．D．6．（2020春•开福区校级期中）某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高，则这种机床每台的售价应定为 A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元7．（2020春•开福区校级期中）已知、、均为实数，且，则方程的根为 A．，0.5B．1，1.5C．，1.5D．1，
8．（2018•安徽模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为 A．B．C．D．9．（2016•新都区模拟）下列方程中，关于的一元二次方程是 A．B．C．D．10．（2016•咸阳二模）若是关于一元二次方程的一个根，则的值是 A．1或4B．1或C．或D．或411．（2015秋•宜兴市校级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A．2，1，3B．2，1，C．2，，3D．2，，12．（2015•潮阳区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为 A．B．C．D．二、填空题（共7小题）
13．（2019秋•沭阳县期末）一元二次方程的根是 ．14．（2020春•天心区校级期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．15．（2020春•天心区校级期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．16．（2015•泗洪县校级模拟）若方程是关于的一元二次方程，求 ．17．（2013•临沂）对于实数，，定义运算“”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ．18．（2010•无锡）方程的解是 ．19．（2009•琼海模拟）方程的解是 ．三、解答题（共10小题）20．（2019秋•滨海县期中）解方程：（1）（2）21．（2021秋•雨花区校级期中）阅读与应用：我们知道，即，所以我们可以得到（当且仅当，．类比学习：若和为实数且，，则必有，当且仅当时取等号；其证明如下：，（当且仅当时，有．例如：求的最小值，则，此时当且仅当，即时，的最小值为2．（1）阅读上面材料，当 时，则代数式的最小值为 ．（2）求的最小值，并求出当取得最小值时的值．
（3）若，求代数式的最大值，并求出此时的值．22．（2021秋•邵阳县期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．（1）求实数的取值范围；（2）若方程的两实根，满足，求的值．23．（2021秋•宁乡市期中）解方程；24．（2021秋•宁乡市期中）抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的解析式．25．（2020春•雨花区校级期中）解方程：（1）（2）26．（2020春•开福区校级期中）已知是方程的一个根，求的值及方程的另一根．27．（2017•平塘县校级四模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出、两点的坐标；（3）求过，，三点的圆的面积．（结果用含的代数式表示）
28．（2016•鄂州）关于的方程．（1）求证：无论为何值，方程总有实数根．（2）设，是方程的两个根，记，的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．29．（2014秋•句容市校级期末）我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格10元每千克在我市收购了6000千克水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题①水果的市场价格每天每千克上涨0.1元②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售③每天的冷藏费用为300元④该水果最多保存110天（1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为 元；（2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？（3）将这批水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？
2022-2023学年上学期长沙初中数学九年级期中典型试卷1参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．（2021•惠州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 A．B．C．D．【答案】【考点】根的判别式【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，△，解得．故选：．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．2．（2019秋•扶风县期中）用配方法解方程，配方正确的是 A．B．C．D．
【考点】：解一元二次方程配方法【分析】将常数项移至方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．（2021秋•岳麓区校级期中）多项式的最小值是 A．B．C．0D．12【考点】：非负数的性质：偶次方；：配方法的应用【专题】11：计算题；512：整式【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：，，，，则多项式的最小值是，
故选：．【点评】本题考查的是配方法分应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．4．（2021秋•宁乡市期中）下列方程中以1，为根的一元二次方程是 A．B．C．D．【考点】：解一元二次方程直接开平方法；：解一元二次方程因式分解法【专题】11：计算题【分析】根据因式分解法解方程对进行判断；根据方程解的定义对进行判断；根据直接开平方法对、进行判断．【解答】解：、或，则，，所以选项错误；、或不满足，所以选项错误；、，则，，所以选项错误；、，则，，所以选项正确．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．（2020春•雨花区校级期中）若关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则实数的取值范围是 A．B．C．D．【答案】
【考点】根的判别式；根与系数的关系【专题】计算题【分析】先利用判别式的意义得到，再根据根与系数的关系，由得到，此时解得，然后写出满足条件的的取值范围．【解答】解：根据题意得△，解得，，，而，，解得，的取值范围为．故选：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．6．（2020春•开福区校级期中）某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高，则这种机床每台的售价应定为 A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元【考点】：一元二次方程的应用【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后解方程即可解答本题．【解答】解：设这种机床每台的售价应定为万元，，
解得，，故选：．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．7．（2020春•开福区校级期中）已知、、均为实数，且，则方程的根为 A．，0.5B．1，1.5C．，1.5D．1，【考点】：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值；：解一元二次方程公式法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据非负数的性质可求出、、的值，代入方程中即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，，原方程为：，，或，故选：．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．（2018•安徽模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为 A．B．C．D．
【答案】【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】其他问题；应用意识【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．【解答】解：全班有名同学，每名同学要送出张；又是互送照片，总共送的张数应该是．故选：．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．9．（2016•新都区模拟）下列方程中，关于的一元二次方程是 A．B．C．D．【考点】：一元二次方程的定义【专题】11：计算题【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：下列方程中，关于的一元二次方程是，故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
10．（2016•咸阳二模）若是关于一元二次方程的一个根，则的值是 A．1或4B．1或C．或D．或4【考点】：一元二次方程的解【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【解答】解：是关于的一元二次方程的一个根，，即，整理，得，解得，．即的值是1或．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．11．（2015秋•宜兴市校级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A．2，1，3B．2，1，C．2，，3D．2，，【考点】：一元二次方程的一般形式【专题】11：计算题【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．【解答】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，，故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，
是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．（2015•潮阳区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为 A．B．C．D．【答案】【考点】一次函数的图象；二次函数的图象【分析】根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象．【解答】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，故选项错误；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故选项错误；当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故选项错误；故选：．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．二、填空题（共7小题）
13．（2019秋•沭阳县期末）一元二次方程的根是 ， ．【考点】：解一元二次方程直接开平方法【专题】11：计算题【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：，，所以，．故答案为，．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．14．（2020春•天心区校级期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 5 ．【考点】：一元二次方程的解【专题】11：计算题【分析】根据一元二次方程的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：是方程的一个根，，，．故答案为5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（2020春•天心区校级期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【专题】一元二次方程及应用【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当时，即，此时满足题意，当时，△，且，，故答案为：【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．16．（2015•泗洪县校级模拟）若方程是关于的一元二次方程，求 3 ．【考点】：一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．【解答】解：是关于的一元二次方程，，，解得：，故答案为：3．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是、、是常数，且．
17．（2013•临沂）对于实数，，定义运算“”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 3或 ．【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】压轴题；新定义【分析】首先解方程，再根据，求出的值即可．【解答】解：，是一元二次方程的两个根，，解得：或2，①当，时，；②当，时，．故答案为：3或．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．18．（2010•无锡）方程的解是 ， ．【考点】：解一元二次方程公式法【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定、、的值，在的前提条件下，代入求根公式进行计算．【解答】解：，，，，；
，．故答案为：，．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．19．（2009•琼海模拟）方程的解是 ．【考点】：解一元二次方程配方法【专题】42：配方法【分析】此题采用因式分解法最简单，解题时首先要观察，然后再选择解题方法．配方法与公式法适用于所用的一元二次方程，因式分解法虽有限制，却最简单．【解答】解：．【点评】此题考查了学生的计算能力，解题时注意选择适宜的解题方法．三、解答题（共10小题）20．（2019秋•滨海县期中）解方程：（1）（2）【考点】：解一元二次方程因式分解法；：解一元二次方程直接开平方法【专题】11：计算题；521：一次方程（组及应用【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义计算即可求出解；（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1），整理得：，开方得：，解得：，；（2）分解因式得：，可得或，解得：，．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2021秋•雨花区校级期中）阅读与应用：我们知道，即，所以我们可以得到（当且仅当，．类比学习：若和为实数且，，则必有，当且仅当时取等号；其证明如下：，（当且仅当时，有．例如：求的最小值，则，此时当且仅当，即时，的最小值为2．（1）阅读上面材料，当 2 时，则代数式的最小值为 ．（2）求的最小值，并求出当取得最小值时的值．（3）若，求代数式的最大值，并求出此时的值．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；估算无理数的大小；配方法的应用；不等式的性质【专题】配方法
【分析】（1）根据材料得到，于是得到结论；（2）把原式变形得到，于是得到结论；（3）由，可得，推出，即可解决问题．【解答】解：（1），当时，则代数式的最小值为4；故答案为：2，4；（2）当，有最小值，，当时，取得最小值8；（3），，，，最大值．【点评】本题考查了配方法的应用，不等式的性质，非负数的性质，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．22．（2021秋•邵阳县期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实根，满足，求的值．【答案】见试题解答内容【考点】根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△，从而求得的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求的值即可．【解答】解：，整理得．（1）方程有两个实数根，．△，解得；（2）由根与系数关系知：，，又，代入得，，，，可化简为：．解得（不合题意，舍去）或，．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程没有实数根．以及根与系数的关系．23．（2021秋•宁乡市期中）解方程；【考点】：解一元二次方程配方法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】先移项得，再把方程两边加上4得到，即，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．【解答】解：，，即，，，；，，或，
，．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．24．（2021秋•宁乡市期中）抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的解析式．【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点代入即可解决，【解答】解：由抛物线的顶点为，且过点，可设抛物线为：，把代入得：，解得：，所以抛物线为：，即，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．（2020春•雨花区校级期中）解方程：（1）（2）【考点】解一元二次方程公式法【专题】一元二次方程及应用【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据公式法即可求出答案．
【解答】解：（1）整理得：，，或；（2）整理可得：，，，，△，；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．26．（2020春•开福区校级期中）已知是方程的一个根，求的值及方程的另一根．【考点】：一元二次方程的解；：解一元二次方程因式分解法【分析】把代入方程求出，把的值代入方程，解一元二次方程求出方程的另一个根即可．【解答】解：由题意得：，解得当时，方程为，解得：所以方程的另一根．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．27．（2017•平塘县校级四模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出、两点的坐标；（3）求过，，三点的圆的面积．（结果用含的代数式表示）【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：抛物线与轴的交点【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出，当时，代入抛物线的解析式可得与轴交点的坐标；（3）根据所对的弦是直径可知：过，，三点的圆的直径是线段，利用勾股定理求的长，代入圆的面积公式可以求得面积．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）对称轴为直线，，，当时，，，（3），是过，，三点的圆的直径，
由题意得：，，由勾股定理得；，，答：过，，三点的圆的面积为．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令时，求抛物线与轴的交点；令时，求抛物线与轴的交点；同时要想求过，，三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．28．（2016•鄂州）关于的方程．（1）求证：无论为何值，方程总有实数根．（2）设，是方程的两个根，记，的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）分两种情况讨论：①当时，方程是一元一次方程，有实数根；②当时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得，，代入到中，可得到关于的方程，判断方程是否有实数根即可．【解答】解：（1）当时，原方程可化为，解得：，此时该方程有实根；当时，方程是一元二次方程，△，无论为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论为何实数，方程总有实数根．（2）的值可以为2，理由如下：由根与系数关系可知，，，若，则，即，将、代入整理得：，解得（舍或，．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．29．（2014秋•句容市校级期末）我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格10元每千克在我市收购了6000千克水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题①水果的市场价格每天每千克上涨0.1元②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售③每天的冷藏费用为300元④该水果最多保存110天（1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为 元；（2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？（3）将这批水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】：二次函数的应用；：一元二次方程的应用【分析】（1）根据等量关系水果的市场价格每天每千克上涨0.1元则可求出则天后这批水果的销售单价，再根据平均每天有10千克的水果损坏则可求出这批水果的销售量；
（2）按照等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出方程求解即可；（3）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最大值．【解答】解：（1）；（2），解得：，或，，将这批水果存放80天后一次性出售所得利润为9600元；（3）设利润为，由题意得，，，抛物线开口方向向下，时，，当时，利润有最大值．将这批水果存放100天后一次性出售可获得最大利润为10000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法和二次函数的最值求法等知识，注意二次函数的增减性的应用是解题关键．
考点卡片1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．4．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．5．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．7．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．8．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．
9．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．10．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．11．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．12．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．14．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．15．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．16．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．17．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．18．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②
一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．19．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．20．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，
y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．21．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．22．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．23．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于
x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．24．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题
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