资料简介
第9章9.4向量应用
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.2.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法.3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.
基础落实•必备知识全过关
知识点1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√√
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长为()答案B
知识点2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与位移s的数量积.
过关自诊1.已知力F的大小|F|=10,在F的作用下产生的位移s的大小|s|=14,F与s的夹角为60°,则F做的功为()A.7B.10C.14D.70答案D解析F做的功为F·s=|F||s|cos60°=10×14×=70.
2.如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题?提示力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关,用到平行四边形法则或三角形法则等;力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理,如图所示,一物体在力F的作用下产生的位移为s,那么力F所做的功W=F·s.
重难探究•能力素养全提升
探究点一向量在平面几何中的应用角度1平行或共线问题
规律方法证明三点共线的步骤(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.(2)说明两向量有公共点.(3)下结论,即三点共线.
变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
角度2垂直问题【例2】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
方法二如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
规律方法用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法:①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系;④把计算所得结果转化为几何问题.(2)向量的坐标运算法:①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找到相应关系;④利用向量关系回答几何问题.
角度3平面几何中的长度问题【例3】如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
规律方法向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择一组基底,用基底表示所求向量,再用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式,若a=(x,y),则
变式训练2已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
答案(1)证明以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).
探究点二向量在物理中的应用角度1用向量解决力学问题【例4】如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.
规律方法力的合成与分解的向量解法运用向量解决力的合成与分解,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则.
变式训练3一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,则F1与F3夹角的余弦值是.
角度2用向量解决速度问题【例5】在风速为km/h的西风中,飞机以150km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
解设ω为风速,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,va=vb+ω.如图所示.
规律方法速度问题的向量解法运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形并解决问题.
变式训练4一船以8km/h的速度向东航行,船上的人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北方向来,求风速的大小及方向.
学以致用•随堂检测全达标
答案D
2.某人在无风条件下骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()A.v1-v2B.v1+v2答案B解析由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.故选B.
3.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案A
A.重心B.外心C.内心D.垂心答案D
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