资料简介
第11章11.3余弦定理、正弦定理的应用
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题.3.能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路
2.一般步骤(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图.(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型.(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解.(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
过关自诊海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛上望,C岛和B岛成60°的视角,从B岛上望,C岛和A岛成75°的视角,则B,C两岛间的距离是()答案D
重难探究•能力素养全提升
探究点一测量距离问题【例1】如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.
规律方法三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.
变式训练1如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则C处河的宽度为m.答案60
解析过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120m.
探究点二测量角度问题【例2】如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30°,相距10nmile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(参考数据:sin41°≈)?
解如图所示,连接CB.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°.又AC=10,AB=20,得又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°.作CM⊥BA,交BA的延长线于点M,则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.
规律方法解答角度问题的解决策略解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.
变式训练2如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470m;从B到C,方位角是80°,距离是860m;从C到D,方位角是150°,距离是640m,试计算从A到D的方位角和距离.
探究点三余弦定理、正弦定理在力学中的应用【例3】如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12N的灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大小.
规律方法解答力学问题的解决策略解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡的关系,准确进行受力分解.
变式训练3作用在小车A上的两个水平力F1,F2,|F1|=40N,|F2|=20N,夹角为60°,小车的摩擦力大小为20N,则小车在力的作用下能否保持静止?
素养培优函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用【典例】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
分析(1)利用正弦定理求出AB的长.(2)先设出乙出发后所用的时间t,再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.
(2)假设乙出发tmin后,甲、乙两游客距离为d,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,
规律方法与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题获得解决,所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看为未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.函数与方程思想在数学中有着广泛的应用,本章在利用正弦定理、余弦定理求角或边长时,往往渗透着函数与方程思想.
学以致用•随堂检测全达标
1.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于()答案D
答案C
3.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
4.如图,某湖有一半径为1百米的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义:四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”;OC的长为“最远直接监测距离”.设∠AOB=θ.(1)若θ=60°,求“直接监测覆盖区域”的面积;(2)试确定θ的值,使得“最远直接监测距离”最大.
本课结束
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