资料简介
第13章13.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.2.理解柱体、锥体、台体之间的关系.3.理解简单组合体的概念和基本形式.4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征.
基础落实•必备知识全过关
知识点1圆柱、圆锥、圆台将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的、、所在的直线旋转一周,形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台,这条直线叫作,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作,无论旋转到什么位置,这条边都叫作(如图(1)(2)(3)所示),分别记作圆柱OO'、圆锥SO和圆台OO'.一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线
名师点睛1.圆柱的性质(1)圆柱的底面是两个半径相等的圆面,两圆面所在平面互相平行.(2)通过轴的各个截面叫作轴截面,轴截面是全等的矩形.(3)母线平行且相等,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高.
2.圆锥的性质(1)圆锥的底面是一个圆面,圆面的半径就是直角边OA的长,底面和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆面.(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰三角形,如△SAB.(4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形,如等腰三角形SAC.(5)母线都过顶点且相等,各母线与轴的夹角相等.
3.圆台的性质(1)圆台的底面是两个半径不等的圆面,两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆面.(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰梯形,如梯形ABB1A1.(4)任意两条母线确定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形,如梯形ACC1A.(5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.()(2)过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.()(3)圆台有无数条母线,且它们相等,但延长后不相交于一点.()(4)过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.()√××√2.圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗?提示不一定.圆柱的母线与轴是平行的.
知识点2球面、球体半圆绕着所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面,围成的空间图形叫作球体,简称球,如图所示,记作球O.球是一个几何体,包括表面及其内部它的直径球面
过关自诊1.用一个平面去截球,得到的是一个圆吗?提示不是,得到的是一个圆面.
2.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案D解析圆锥的母线长与底面直径无联系;圆柱的母线与轴平行;圆台的母线与轴不平行.
3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截,不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形,故选D.
知识点3旋转面、旋转体一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线所形成的曲面叫作旋转面,封闭的围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.过关自诊半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么?旋转旋转面提示半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.
重难探究•能力素养全提升
探究点一旋转体的结构特征【例1】给出下列叙述:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.②④答案D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误.
规律方法1.准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.2.解题时要注意两个明确:(1)明确由哪个平面图形旋转而成;(2)明确旋转轴是哪条直线.
变式训练1下列说法正确的是.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内;⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
答案④⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥,故①错误;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台,故②错误;③它们的底面为圆面,故③错误;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义,知⑥正确.
探究点二组合体的结构特征【例2】描述下列几何体的结构特征.解图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
规律方法判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
探究点三旋转体的有关计算角度1圆锥、圆台中的截面问题【例3】圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面的面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.
解将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,
角度2球中的截面问题【例4】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
素养培优转化与化归思想在求空间几何体表面上两点间最短距离中的应用【典例】如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?分析将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
解把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图,连接AB',则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AB=A'B'=2,AA'为底面圆的周长,且AA'=2π×1=2π,规律方法求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
学以致用•随堂检测全达标
1.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱答案B
2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是()A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个共底面的圆锥答案D
3.我国古代数学名著《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺)()A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺
答案C
4.如图是由哪个平面图形旋转得到的()答案A解析题图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中旋转轴旋转360°得到.
5.若一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为cm.
本课结束
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