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第13章第2课时 直线与平面垂直
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解直线与平面垂直的概念及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.借助长方体,通过直观感知,归纳出点面、线面距离,斜线在平面内的射影及线面角的概念.4.理解点到平面的距离的概念,会求简单的点面距离.5.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念,会求简单的线面角.
基础落实•必备知识全过关
知识点1直线与平面垂直定义如果直线a与平面α内的直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直记法有关概念直线a叫作平面α的,平面α叫作直线a的.垂线和平面的交点称为图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条a⊥α垂线垂面垂足
名师点睛直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l与平面α内的所有直线垂直,则l⊥α.()(2)若a⊥b,b⊥α,则a∥α.()2.直线与平面垂直定义中“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”?√×提示定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
知识点2直线与平面垂直的判定定理“两条相交直线”不能改为“两条直线”文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言a⊥m,a⊥n,=A,m⊂α,n⊂α,则a⊥α图形语言m∩n
名师点睛1.要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.2.定理体现了相互转化的数学思想,即由线线垂直转化为线面垂直.
过关自诊1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC答案C解析∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是.(填序号)①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.答案①③解析由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面,对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
知识点3直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线直线与平面垂直的性质定理揭示了与之间的内在联系.根据此性质定理可知,过一点有且只有直线与已知平面垂直,过一点有且只有平面与已知直线垂直.平行a∥b平行垂直一条一个
过关自诊如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?提示垂直.
知识点4点面、线面距离(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.(2)直线到平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离.过关自诊直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为.2
知识点5直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面,但不和这个平面,图中斜足斜线和平面的,图中射影过斜线上斜足以外的一点向平面引,过和的直线叫作斜线在这个平面内的射影,图中斜线段PQ在平面α内的射影为直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角相交垂直直线PQ交点点Q垂线垂足斜足线段QP1
名师点睛1.一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线与平面平行或在平面内,它们所成的角是0°角.2.斜线在平面内的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.3.直线与平面所成的角θ的取值范围是[0,].
过关自诊1.若斜线段AB是它在平面α的射影长的2倍,则直线AB与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.75°答案C解析设直线AB与平面α所成的角为β,根据题意,cosβ=,所以AB与平面α所成的角为60°.
2.若直线l与平面α所成的角是0°角,则必然有l∥α吗?提示不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角,则l∥α或l⊂α.
重难探究•能力素养全提升
探究点一线面垂直概念的理解【例1】下列说法中,正确的序号是.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
答案④⑤解析当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确.故填④⑤.
规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
变式训练1设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m答案B解析对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面.
探究点二直线与平面垂直的判定定理【例2】如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,SD∩AC=D,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.∴BD⊥平面SAC.
规律方法1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
证明由已知得AC⊥BD,AD=CD,因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.所以OH=1,D'H=DH=3,于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EF⊂平面ABCD,所以D'H⊥平面ABCD.
探究点三直线与平面垂直的性质定理【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.
证明因为AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.
规律方法证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.
变式训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
证明如图所示,连接AB1,B1D1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,AC,B1C⊂平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC,B1C⊂平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
探究点四线面垂直的综合题角度1证线面垂直【例4】如图,已知空间四边形ABCD的边AC=BC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.
证明如图,取AB的中点F,连接CF,DF,AE.由AC=BC,知CF⊥AB.由AD=BD,知DF⊥AB,因为CF∩DF=F,CF⊂平面CDF,DF⊂平面CDF,所以AB⊥平面CDF.又CD⊂平面CDF,所以CD⊥AB.又CD⊥BE,BE∩AB=B,BE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,所以CD⊥平面ABE.因为AH⊂平面ABE,所以CD⊥AH.因为AH⊥BE,CD∩BE=E,CD⊂平面BCD,BE⊂平面BCD,所以AH⊥平面BCD.
角度2证线线垂直【例5】如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.
证明(1)∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,∴SA⊥BC.∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,且SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE.又SB⊥AE,且SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC.∵SC⊂平面SBC,∴AE⊥SC.又EF⊥SC,且AE∩EF=E,∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF,∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,DC⊂平面AC,∴SA⊥DC.又AD⊥DC,SA∩AD=A,∴DC⊥平面SAD,而AG⊂平面SAD,∴DC⊥AG.由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF,∴SC⊥AG且SC∩CD=C,∴AG⊥平面SDC,SD⊂平面SDC,∴AG⊥SD.
角度3证线线平行【例6】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
规律方法1.证线面垂直的方法:(1)线线垂直证明线面垂直:①定义法,不常用,但由线面垂直可得出线线垂直;②判定定理,要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论):①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.2.证明垂直的转化途径:线线垂直→线面垂直→线线垂直.
变式训练4在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,边BC上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?为什么?
解∵PA⊥平面ABCD,QD⊂平面ABCD,∴PA⊥QD.若边BC上存在一点Q,使得QD⊥AQ,又PA∩AQ=A,则有QD⊥平面PAQ,又PQ⊂平面PAQ,从而QD⊥PQ.在矩形ABCD中,当AD=a
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