资料简介
第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是( )①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向是确定的;③单位向量都是同方向的;④任意向量与零向量都共线.A.①②B.②③C.②④D.①④2.已知空间四边形ABCD中,AB=a,CB=b,AD=c,则CD等于( )A.a+b-cB.-a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c3.如图,在△ABC中,AN=NC,P是BN上的一点,BP=3PN,若AP=14AB+mAC,则实数m的值为( )A.14B.38C.34D.974.已知△ABC中,点M是线段BC上靠近B的三等分点,N是线段AC的中点,则BN=( )A.12AM+MNB.13AM+MNC.12AM+2MND.13AM+2MN5.点P是△ABC所在平面上一点,若AP=23AB+13AC,则△ABP与△ACP的面积之比是( )A.3B.2C.13D.126.已知平面内两个不共线向量i,j,且a=ki+3j,b=2i+(k-1)j,若向量a与b共线,则k=( )A.3或-2B.1或-6
C.-3或2D.-1或67.如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一动点,若AF=xAE+yDC(x>0,y>0),则2-3x4y2+1的最大值为( )A.12B.34C.1D.28.一条河的宽度为d,一只船从A处出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为( )A.v12-v22B.|v1|2-|v2|2C.v12+v22D.|v1|2-|v2|2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若向量a=(λ,-1)与b=(3,1)共线,则( )A.λ=-3B.|a-b|=2C.λ=3D.|a-b|=21010.下列各组向量中,可以作为基底的是( )A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)11.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,不正确的是( )A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b12.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若AP=λAB+μAE,则下列判断正确的是( )A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B.满足λ+μ=1的点P有两个C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个D.满足λ+μ=32的点P有两个三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则AB+2BC= . 14.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μAN,则λ+μ= . 15.已知向量a=(1,3),b=2,-12,若单位向量c与a-2b平行,则c= . 16.若OA=a,OB=b,则∠AOB平分线上的向量OM可以表示为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设a,b是两个不共线的向量,AB=2a-b,BC=a+b,CD=a-2b,求证:A,B,D三点共线.18.(12分)计算:(1)13(a+2b)+14(3a-2b)-12(a-b);(2)12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b+76a.19.(12分)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若OC=λOE+μOF,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
20.(12分)平面内给定三个向量a=(3,9),b=(2,1),c=(-1,7).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+c)∥(b+kc),求实数k.21.(12分)设向量a,b不共线,若AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,求实数p的值.22.(12分)设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3).(1)当m=8时,将OC用OA和OB表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.参考答案1.D ①长度为0的向量都是零向量,正确;②零向量的方向是不确定的,故错误;③单位向量只是模长都为1的向量,方向不一定相同,故错误;④任意向量与零向量都共线,正确.故选D.2.C 由向量的运算法则,可得CD=CB+BA+AD=CB-AB+AD=-a+b+c.故选C.3.B 因为BP=3PN,所以AP=AB+34BN=AB+34(AN-AB)=34AN+14AB,因为AN=NC,所以AN=12AC,所以AP=38AC+14AB,又AP=14AB+mAC,所以m=38,故选B.4.C 不妨设△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线AO为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设AC=32,故B(-3,0),N32,32,故BN=92,32,M(-1,0),A(0,3),故AM=(-1,-3),MN=52,32,设BN=xAM+yMN,则92=-x+52y,32=-3x+32y,解得x=12,y=2,故BN=12AM+2MN,故选C.5.D 点P是△ABC所在平面上一点,过P作PE∥AC,PF∥AB,如图所示:由AP=23AB+13AC=AE+AF,故AE∶EB=2∶1=PC∶PB,所以△ABP与△ACP的面积之比为BP∶PC=1∶2,故选D.6.A ∵向量a与b共线,∴∃实数λ,使得a=λb,∴ki+3j=λ[2i+(k-1)j],化为(k-2λ)i+(3-λk+λ)j=0.∵i,j是同一平面内两个不共线的向量,∴k-2λ=0,3-λk+λ=0,解得λ=32,k=3或λ=-1,k=-2.故选A.7.A 设BD,AE交于O,因为DE∥AB,所以△AOB∽△EOD,所以AOOE=ABDE=2,所以AO=2OE,则AE=32AO,所以AF=xAE+yDC=32xAO+yAB,因为O,F,B三点共线,所以32x+y=1,即2-3x=2y,所以2-3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y,
因为x>0,y>0,所以4y+1y≥24y·1y=4,当且仅当4y=1y,即y=12时等号成立,此时x=13,所以2-3x4y2+1=24y+1y≤24=12,故选A.8.D 如图所示,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得船行驶的速度大小为|v1|2-|v2|2.故选D.9.AD 因为a∥b,所以λ×1=-1×3,即λ=-3.因为a-b=(-6,-2),所以|a-b|=36+4=210.故选AD.10.ABC 由两向量共线的坐标表示知,ABC中的向量均不共线.对于D,a=(-3,2),b=(6,-4),即a=-12b,所以共线.故选ABC.11.ABC 由a∥b,得x2=-9,无实数解,故A错误;a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a,得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,故B错误;ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a,得(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,故C错误;由(ma+b)∥b,得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D正确.故选ABC.12.BCD 如图建系,取AB=1,∵AE=AD+DE=AD-AB,∴AP=λAB+μAE=(λ-μ)AB+μAD=(λ-μ)(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).
动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1,当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3,当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3,当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2,综上,0≤λ+μ≤3,选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时AP=AB+AE=AD,因此点P不一定是BC的中点,故A错误;选项B,当点P取B点或AD的中点时,均满足λ+μ=1,此时点P有两个,故B正确;选项C,当点P取C点时,λ-μ=1且μ=1,解得λ=2,λ+μ为3,故C正确;选项D,当点P为0,34或1,14时,均满足λ+μ=32,此时点P有两个,故D正确.故选BCD.13.(-4,9) 因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以AB=(2,3),BC=(-3,3),则AB+2BC=(-4,9).14.43 由题意画出图形,如图所示:由题意可得AC=λAM+μAN=λ(AB+BM)+μ(AD+DN)=λAB+12BC+μAD+12DC=λAB+12AD+μAD+12AB=λ+μ2AB+μ+λ2AD,又AC=AB+AD,所以λ+μ2=1,μ+λ2=1,从而32(λ+μ)=2,即λ+μ=43.15.-35,45或35,-45 由题意a-2b=(1,3)-(4,-1)=(-3,4),∴|a-2b|=(-3)2+42=5,
又a-2b|a-2b|=-35,45,∴c=-35,45或35,-45.16.λa|a|+b|b|,λ∈R ∵OA=a,OB=b,∴OA|OA|=a|a|,OB|OB|=b|b|,∴以OA|OA|,OB|OB|为邻边作平行四边形OACB则为菱形,∴OC平分∠AOB,∴根据向量加法的平行四边形法则可得OC=OA|OA|+OB|OB|=a|a|+b|b|.∵OM,OC共线,∴由共线定理可得存在唯一的实数λ使得OM=λOC=λa|a|+b|b|.故答案为λa|a|+b|b|,λ∈R.17.证明∵BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=BC+CD=2a-b,∴AB=BD.又AB,BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.18.解(1)13(a+2b)+14(3a-2b)-12(a-b)=13a+23b+34a-12b-12a+12b=13+34-12a+23-12+12b=712a+23b.(2)12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b+76a=1273a+b-76a+37b=76a+12b-76a-12b=0.19.解在矩形OACB中,OC=OA+OB,又OC=λOE+μOF=λ(OA+AE)+μ(OB+BF)=λOA+13OB+μOB+13OA=3λ+μ3OA+3μ+λ3OB,所以3λ+μ3=1,3μ+λ3=1,所以λ=μ=34.20.解(1)由题意得(3,9)=m(2,1)+n(-1,7),∴2m-n=3,m+7n=9,解得m=2,n=1.(2)a+c=(2,16),b+kc=(2-k,1+7k).∵(a+c)∥(b+kc),∴2(1+7k)-16(2-k)=0.解得k=1.21.解由a,b不共线且A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得AB=λBD.又BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=2a-b,
∴2a+pb=λ(2a-b),∴2=2λ,p=-λ,则λ=1,p=-1.故答案为p=-1.22.解(1)当m=8时,OC=(8,3).设OC=xOA+yOB,则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).∴2x+3y=8,-x=3,∴x=-3,y=143,∴OC=-3OA+143OB.(2)∵A,B,C三点能构成三角形,∴AB,AC不共线,又AB=(1,1),AC=(m-2,4),∴1×4-1×(m-2)≠0,∴m≠6.
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