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4.6 函数的应用(二)必备知识基础练1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只2.今有一组数据如下表所示:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )A.s=2t-3+1B.s=32log2tC.s=12t2-12D.s=2t-23.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)( )A.6B.9C.8D.74.如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.下列说法中正确的是( )A.第5个月时,浮萍面积就会超过50m2B.浮萍面积每月的增长率不相等C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍面积为2m2,3m2,6m2时所对应的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t35.一名体育爱好者为了观看2022年世界杯,从2015年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2022年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )A.a(1+p)7B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)C.a(1+p)8D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为( )7.某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 . 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒. 9.某企业于2021年在其基地投入200万元研发资金,用于养殖业发展,并计划今后7年内,在此基础上每年投入的资金比上一年增长15%.(1)写出第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2022年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元?(参考数据:lg0.15≈-0.824,lg1.5≈0.176,lg0.115≈-0.939,lg1.15≈0.061,lg2≈0.301)
关键能力提升练10.为了给地球减负,提高资源利用率,2021年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2021年全年用于垃圾分类的资金为2000万元,在此基础上,以后每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据:ln6≈1.79,ln5≈1.61)A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年11.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )A.出租车一次行驶4km,乘客需付费9.6元B.出租车一次行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘坐两次出租车,每次均行驶5km,两次的费用超过他一次乘出租车行驶10km的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km12.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.113.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中正确的是 .(填序号)
14.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正实数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求k,b的值;(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.15.某项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明,注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的连续不间断曲线.当t∈(0,12]时,曲线是函数y=10t+4+46的图象的一部分,当t∈(12,18]时,曲线是一次函数图象的一部分,当t∈(18,40]时,曲线是函数y=loga(t-9)+86(a>0且a≠1)图象的一部分,当t=18时,y=84.根据专家研究,当注意力指数不小于83时,听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)一道数学难题,讲解需要25分钟,问老师能否经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成?如果可以,上课多长时间开始讲解合适(取整数分钟)?如果不可以,说明理由.16.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人,甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题:(1)分别出两城市的人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年、20年、30年后两城市分别有多少人口总数(精确到0.1万人);(3)对两城市人口增长情况作出分析.
参考数据:(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430.学科素养创新练17.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么从实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒?参考答案1.A 当x=1时,y=100,得a=100,故当x=7时,y=100log28=300.2.C 画出数据点如图所示.由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图象不是直线,排除选项D;此函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B,经验证,C项符合规律.3.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4.
4.D 根据题意,2=a1⇒a=2,则y=2t.对A,t=5时,y=25=32400,∴1.15x>2,即x>lg2lg1.15,因为lg2lg1.15≈0.3010.061≈4.93,所以x≥5.即该企业从第5年,就是从2026年开始,每年投入的资金数将超过400万元.10.A 设经过n年之后,投入资金为y万元,则y=2000(1+0.2)n,由题意可得y=2000(1+0.2)n>10000,即1.2n>5,
所以nln1.2>ln5,即n>ln5ln1.2=ln5ln65=ln5ln6-ln5≈1.611.79-1.61≈8.94,又因为n∈N*,∴n≥9,即从2030年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选A.11.BCD 出租车一次行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;出租车一次行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;设出租车一次行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.758,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.12.A 两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lgE1E2=25(m2-m1)=25(-1.45+26.7)=10.1,E1E2=1010.1,故选A.13.①③ 由图象可得,当t=2时,y=49,即a2=49,解得a=23.故y=23t.所以当t=4时,有害物质的剩留量为y=234=168125,所以老师能经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成,在上课10分钟开始讲解合适.16.解(1)1年后甲城市人口总数为100+100×1.2%=100×(1+1.2%);2年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;3年后甲城市人口总数为100×(1+1.2%)3;…x年后甲城市人口总数为y1=100×(1+1.2%)x.x年后乙城市人口总数为y2=100+1.3x.
(2)10年、20年、30年后,甲、乙两城市人口总数(单位:万人)如表所示.城市10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113.0126.0139.0(3)甲、乙两城市人口都逐年增长,而甲城市人口增长的速度快些,呈指数增长型,乙城市人口增长缓慢,呈线性增长.从中可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大差异.17.解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y是关于时间t的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),设(0.1,1)为点A,又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=18t-a,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=18t-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y与时间t之间的解析式为y=10t,0≤t≤0.1,18t-0.1,t>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.当t>0.1时,由18t-0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时,病人才能清醒.
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