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5.3.3 古典概型必备知识基础练1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )A.12B.310C.720D.7102.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹,进行三场比赛,每场双方均任意选一匹马参赛,胜两场或两场以上的人获胜,则田忌获胜的概率是( )A.19B.16C.15D.133.在运动会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选2人,则选出火炬手编号相连的概率为 . 4.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 . 5.口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.关键能力提升练6.(多选题)将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子连续抛掷3次,观察底面上的数字,则下列说法正确的是( )A.三次都出现相同数字的概率为164B.没有出现数字1的概率为2764C.至少出现一次数字1的概率为3764
D.三个数字之和为9的概率为5327.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为358.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,12上单调递减的概率是( )A.14B.34C.16D.569.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 . 10.在抛掷一颗骰子(一种正方体玩具,六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样)的试验中,事件A表示“不大于3的奇数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”,则事件A+B的概率为 .
11.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.学科素养创新练12.某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和思想政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:选考方案确定情况物理化学生物历史地理思想政治选考方案确定的有5人552120选考方案待确定的有7人643242选考方案确定的有6人352332选考方案待确定的有2人121011(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.参考答案1.B 设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=620=310.故选B.2.B 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C,设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,每一场双方均任意选一匹马参赛,且每匹马仅参赛一次,胜两场或两场以上者获胜.基本事件有:(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Bc,Ca),(Ab,Ba,Cc),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),共6个,田忌获胜包含的基本事件有(Ac,Ba,Cb),只有1个,∴田忌获胜的概率为P=16.故选B.
3.25 有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手,从中任选2人,基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个;选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4个;所以选出的火炬手的编号相连的概率为410=25.4.18 12 样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=18,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=48=12.5.解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.所以P(A)=525=15.所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为15.(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=1325,乙胜的概率为P(C)=1-1325=1225,因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.6.BCD 由题意知:实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触,共有4×4×4=64种结果;三次都出现相同数字的事件为:111,222,333,444,共4种结果,所以三次都出现相同数字的概率为464=116.故A错误;没有出现数字1,即这3次抛掷出的均为2,3,4中的其中一个,共有27个基本事件,没有出现数字1的概率为2764,故B正确;
至少出现一次数字1的概率为1-2764=3764,故C正确;三个数字之和为9的事件为:441,414,144,333,432,423,234,243,342,324共10种,三个数字之和为9的概率为1064=532,故D正确;故选BCD.7.ABC 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的基本事件为{(3,5,7)},包含1个样本点,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为37,故D错误.8.D 由题意得a>0,ba≥12.∵第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,满足条件的结果共30种情况,∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,∴所求概率为3036=56.9.16 由题意可知,所有可能的情况为(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为16.10.56 依题意,抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果,它们等可能,其中事件A有2个结果,事件B有3个结果.于是有P(A)=26=13,P(B)=36=12,而事件A和B是互斥的,则P(A+B)=P(A)+P(B)=56,所以事件A+B的概率为56.
11.解(1)样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点.记A:取出球的编号之和为6,则A={(1,5),(2,4)},共2个样本点,故所求概率P(A)=215.(2)先后有放回地随机抽取两个球的样本空间共包含36个样本点,记B为“两次取的球的编号之和大于5”,则B={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含26个样本点,故所求概率P(B)=2636=1318.12.解(1)选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学和生物的人数是2.(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.从已确定选考科目的男生中任选2人,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2)},共包含10个样本点.记A:这2名学生选考科目完全相同,则A={(a1,a2),(c1,c2)},共2个样本点.故P(A)=210=15.
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