资料简介
8.1.3 向量数量积的坐标运算A级必备知识基础练1.已知向量a=(0,1),b=(1,3),则a在b上的投影向量为( )A.3aB.34bC.32aD.3b2.已知向量a=(2,0),b=-12,1,则a+2b=( )A.5B.3C.23D.53.已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为( )A.-2B.-1C.1D.24.在等腰直角三角形ABC的斜边AC上有一点D.已知|AB|=1,AC·BD=-13,若BD=mAB+nAC,则m+n=( )A.-23B.-13C.0D.135.(多选题)设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中不正确的是( ) A.|a|=|b|B.a·b=22C.a∥bD.a-b与b垂直6.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= . 7.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 . 8.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
9.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),(1)若a∥b,求x;(2)若a⊥(a-2b),求a与b夹角的余弦值.B级关键能力提升练10.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形11.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使AP·BP有最小值,则点P的坐标是( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)12.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为 . 13.在△ABC中,已知AB=(1,2),AC=(4,m),m>0.(1)若∠ABC=90°,求m的值;(2)若|BC|=32,且BD=2DC,求cos∠ADC的值.14.已知向量a=(2cosx,1),b=-cosx+π3,12,x∈0,π2.(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,若对于任意x1,x2∈0,π2,而|f(x1)-f(x2)|≤λ恒成立,求实数λ的最小值.C级学科素养创新练15.已知向量a=(1,-1),b=(3,2),则sin=( )A.-52626B.-2626C.52626D.2626
16.已知向量a=(4,0),b=(1,2),c=(-3,5).若(a+kb)⊥(b-c),则实数k的值为 . 17.已知向量a=(-1,x)(x∈R),b=(2,4),且a∥b,则|a|= . 18.已知a=(1,2),b=1x,1,若a与b的夹角为锐角,则x的取值范围为 . 19.已知向量a=1,23,b=(t,t+5)(t∈R),a⊥b,则t= . 20.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|ka+b|=3|a-kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b;(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.21.已知向量a=(1,3),b=(-2,0).(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.参考答案1.B 设a与b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cosθ·b|b|=|a|·a·b|a||b|·b|b|=a·b|b|·b|b|=34b.故选B.2.A 因为a=(2,0),b=-12,1,所以a+2b=(2,0)+2-12,1=(1,2),所以|a+2b|=12+22=5.故选A.3.A ∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,
∴(λa+b)·b=0,即[λ(1,2)+(-1,1)]·(-1,1)=0,得(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.4.A 由题意可建立平面直角坐标系,令A(0,1),B(0,0),C(1,0),则AB=(0,-1),AC=(1,-1),BD=m(0,-1)+n(1,-1)=(n,-m-n),所以有AC·BD=m+2n=-13.而AD=AB+BD=(n,-m-n-1),又D在AC上,AD∥AC,所以有-m-1=0.因此m=-1,n=13,则m+n=-23.故选A.5.ABC 因为|a|=1,|b|=22,所以|a|≠|b|.又a·b=1×12+0×12=12≠22;易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.因为a-b=12,-12,且(a-b)·b=12×12+12×-12=0,所以(a-b)⊥b.6.2 10 ∵a·b=2,∴x=2.∵a+b=(3,1),∴|a+b|=10.7.-17 由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-17.8.解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.
由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,所以λ=4,所以a=(4,8).(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).9.解(1)∵a∥b,∴-2-2x=0,可得x=-1.(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,即4-4x+8=0,解得x=3,∴b=(3,-1).设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=55.10.A ∵AB=(1,1),AC=(-3,3),∴AB·AC=1×(-3)+1×3=0.∴AB⊥AC,∴A=90°,故选A.11.C 设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,AP·BP有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.12.82 ∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,∴MN=(y-x,x-y)=(-8,8),∴|MN|=82.13.解(1)若∠ABC=90°,则AB·BC=0,因为BC=AC-AB=(3,m-2),
所以AB·BC=3+2m-4=0,所以m=12.(2)因为|BC|=32,所以9+(m-2)2=32,因为m>0,所以m=5,所以BC=(3,3),因为BD=2DC,所以DC=13BC=(1,1),BD=23BC=(2,2),而AD=AB+BD=(3,4),所以DA=(-3,-4),所以cos∠ADC=DA·DC|DA||DC| =-3×1-4×152=-7210.14.解(1)由a∥b,则a=μb,则(2cosx,1)=μ-cosx+π3,12,2cosx=-μcosx+π3,1=μ2,故2cosx=-2cosx+π3,cosx=-cosx+π3,由于x∈0,π2,所以cosx=-cosx+π3=cosπ-x+π3,所以x=π-x+π3,则x=π3.(2)f(x)=a·b=(2cosx,1)·-cosx+π3,12=-2cosx·cosx+π3+12,f(x)=-2cosx·12cosx-32sinx+12=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6.∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6,sin2x-π6∈-12,1.∵|f(x1)-f(x2)|≤λ恒成立,
∴λ≥|f(x1)-f(x2)|max=1-(-12)=32,从而λ≥32,即λmin=32.15.C ∵向量a=(1,-1),b=(3,2),∴cos=a·b|a||b|=1×3-1×22·32+22=2626,又∵∈[0,π],∴sin=1-(2626) 2=52626.故选C.16.8 由题意,得a+kb=(4,0)+(k,2k)=(4+k,2k),b-c=(1,2)-(-3,5)=(4,-3).因为(a+kb)⊥(b-c),所以4(4+k)-6k=0,解得k=8.17.5 由a∥b有(-1)×4-2x=0,解得x=-2,故|a|=(-1)2+(-2)2=5.18.-∞,-12∪(0,2)∪(2,+∞) 因为a与b的夹角为锐角,所以a·b=1x+2>0,解得x>0或x
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