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第十章测评一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(1+2i)(2+i)=( )A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i2.(2021全国乙)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( )A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i3.(2021全国甲)已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )A.-1-32iB.-1+32iC.-32+iD.-32-i4.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限5.复数4cos-π2+isin-π2化成代数形式,正确的是( )A.4B.-4C.4iD.-4i6.4(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=( )A.63+6iB.63-6iC.-63+6iD.-63-6i7.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=18.若复数z满足|z+3-4i|=2,则zz的最大值为( )A.9B.81C.7D.49二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是( )A.3+7i4B.3-7i4C.-3±7i4D.3±7i410.已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )A.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若z12+z22=0,则z1=z2=0D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数11.已知z=12+32i,则以下关系成立的有( )A.z3=-1B.z2=-zC.1z=12D.z2-z+1=012.复数z的共轭复数记为z,复数z,z在复平面内分别对应点Z,Z.设A是一些复数在复平面内对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有Z∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有( )A.{(x,y)|y=log2x}B.{(x,y)|y2=x}C.(x,y)x22-y2=1D.{(x,y)|y=2x}
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知i为虚数单位,若复数m+2i1-i为纯虚数,则实数m= . 14.(2020全国Ⅱ)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|= . 15.若复数z在复平面内对应的点在第二象限,|z|=5,z对应点在直线y=43x上,则z= . 16.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,e4π3i在复平面内对应的点位于第 象限,|eix-2|的最大值为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|;(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性.18.(12分)已知复数z使得z+2i∈R,z2-i∈R,其中i是虚数单位.(1)求复数z的共轭复数z;(2)若复数(z+mi)2在复平面内对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.(1)求z;(2)在复平面内,O为坐标原点,向量OA,OB对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.20.(12分)若z∈C,4z+2z=33+i,ω=sinθ-icosθ(θ为实数),i为虚数单位.(1)求复数z;(2)求|z-ω|的取值范围.21.(12分)在①|z|=2,且z2的虚部是2;②z=(1-i)2+3(1+i)2-i;③z=21+i三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作出解答.
已知i为虚数单位,复数z满足 ,设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 22.(12分)已知复数z=12-32i2是关于x的实系数一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.参考答案1.B (1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i.2.C 设z=x+yi(x,y∈R),则z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.3.B 由题意得z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=-1+32i.4.B 设z=x+yi(x,y∈R),则|x+yi-1|=|x+yi+1|,即(x-1)2+y2=(x+1)2+y2,解得x=0,所以z=yi,它对应的点在虚轴上.故选B.5.D 4cos-π2+isin-π2=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.6.D 4(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]=12(cos210°+isin210°)=12-32-12i=-63-6i.故选D.7.C 由题意可得z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,则|z-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.
8.D 由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合组成的图形如图,∴|z|max=7,则zz=|z|2的最大值为49.故选D.9.AB 根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=3±-72×2=3±7i24.故选AB.10.BD 对于A,a-bi=3+2i,则a=3,-b=2,即a=3,b=-2,故A错误;对于B,∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;对于C,取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1≠z2,故C错误;对于D,当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.11.ABD 因为z=12+32i,所以z2=12+32i2=14+2×12×32i+34i2=-12+32i,所以z3=-12+32i12+32i=32i2-14=-1,A正确;因为z=12-32i,所以z2=-z,B正确;1z=12-32i(12+32i)(12-32i)=12-32i,C不正确;z2-z+1=-12+32i-12+32i+1=0,D正确.12.BC 复数z的共轭复数记为z,复数z,z分别对应点Z,Z.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有Z∈A,就称A为“共轭点集”.即z,z表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,A,D中的集合不满足.
13.2 ∵m+2i1-i=(m+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=m-22+2+m2i是纯虚数,∴m-2=0,2+m≠0,解得m=2.14.23 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=23.15.-3+4i 设z=3t+4ti(t∈R),则z=3t-4ti,∵|z|=5,∴9t2+16t2=25,∴t2=1.∵z在复平面内对应的点在第二象限,∴t0,8(m-2)
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