资料简介
11.2 平面的基本事实与推论A级必备知识基础练1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点2.下列说法正确的是( )A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )A.平面α和平面β只能重合B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线D.以上都不对4.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂αB.如果l⊄α,A∈l,则A∉αC.如果A∈α,A∈l,l⊄α,则l∩α=AD.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点,则下列结论错误的是( )A.A,M,O三点共线B.M,O,A1,A四点共面
C.B,B1,O,M四点共面D.A,O,C,M四点共面6.如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C∉l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对7.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且AB∩l=C,则AB∩β= . 8.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 . 9.下列说法中,不正确的是 .(填序号) ①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;②三条两两垂直的直线共面;③两两相交直线上的三个点确定一个平面;④每两条都相交但不共点的四线共面.10.如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:(1)点C与平面β: . (2)点A与平面α: .
(3)直线AB与平面α: . (4)直线CD与平面α: . (5)平面α与平面β: . 11.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,E,F分别是BB1,B1C1上的点,且C1F=2B1F,BE=2B1E.(1)证明:点F在平面AD1E内;(2)若AA1=2AB=4,求三棱锥D-AD1E的体积.B级关键能力提升练12.(多选题)设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则( )A.一定存在过直线AB的平面β与平面α相交B.在α内一定存在直线l与直线AB平行C.在α内一定存在直线l与直线AB相交D.在α内一定存在直线l与直线AB垂直13.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中真命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈bA.①②B.②③C.①④D.③④14.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.
15.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 .(填序号) 16.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD,AD上,且CG∶GD=AH∶HD=2∶1.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EH与FG交于点P,求证:B,D,P三点共线.17.如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
C级学科素养创新练18.如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.参考答案1.C2.C 共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,则有无数个公共点,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.3.C4.ACD 对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据平面的基本事实2,可得l⊂α,所以A正确;对于B,由l⊄α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A∉α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l⊄α,根据直线与平面位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据平面的基本事实3,可得α∩β=AB,所以D正确.5.C 因为AA1∥CC1,则A,A1,C1,C四点共面.因为M∈A1C,则M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,从而M,O,A1,A四点共面,A,O,C,M四点共面.由长方体性质知,OM,BB1是异面直线,即B,B1,O,M四点不共面.故选C.
6.C7.C 因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l⊂β,所以C∈β,所以AB∩β=C.8.6 如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.9.②③ 三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.10.(1)C∉β (2)A∉α (3)AB∩α=B (4)CD⊂α(5)α∩β=BD11.(1)证明如图,连接BC1,EF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,C1D1∥AB,且C1D1=AB,所以四边形ABC1D1是平行四边形,则AD1∥BC1.因为C1F=2B1F,BE=2B1E,所以B1FB1C1=B1EB1B=13,所以△B1EF∽△B1BC,所以EF∥BC1,所以AD1∥EF,所以A,D1,E,F四点共面,即点F在平面AD1E内.(2)解在长方体中,点E到平面ADD1的距离即点B到平面ADD1的距离,即为BA,所以VD-AD1E=VE-ADD1=13·S△ADD1·BA=13×12×2×4×2=83.12.AD 对于A,若A,B在α两侧,则过直线AB的平面β与平面α必相交;若A,B在α同侧,在平面α内任取一点C,则A,B,C三点所在平面与α相交,故A正确;对于B,当A,B在α两侧,此时直线AB与平面α必相交,α内不存在直线与AB平行,故B错误;
对于C,当AB与α平行时,α内所有直线与AB都没有交点,故C错误;对于D,无论直线AB与平面α平行,还是直线AB与α相交,都存在过直线AB的平面γ与α垂直,此时平面γ与平面α的交线记为m,则平面α内所有与m垂直的直线都与直线AB垂直,故D正确.故选AD.13.D 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错误;a∩β=P时,②错误;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.14.AC 若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.15.①③ 图①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图①正确.分析可知图③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.16.证明(1)连接AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC.在△ADC中,CGGD=AHHD,∴GH∥AC,∴EF∥HG,故E,F,G,H四点共面.(2)∵EH∩FG=P,∴P∈EH.
又EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈FG,FG⊂平面BCD,∴P∈平面BCD,∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.又平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD,即P,B,D三点共线.17.证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.因为PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR.又因为M∈直线CB,CB⊂平面BCD,所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.18.证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,所以AA',BB'在同一平面A'B内.设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.同理,BB',CC'同在平面BB'C'C内,CC',AA'同在平面AA'C'C内.因为P∈AA',AA'C'C⊂平面AA'C'C,所以P∈平面AA'C'C.同理,点P∈平面BB'C'C,所以点P在平面AA'C'C与平面BB'C'C的交线上,而平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
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