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11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台A级必备知识基础练1.下列四种说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.下列说法正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱3.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )A.12cmB.13cmC.61cmD.15cm4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别为棱AB,B1B,C1D1的中点,过点M,N,Q作该正方体的截面,则所得截面的形状是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形6.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8cm和18cm,侧棱长为13cm,则其表面积为 . 7.若A={四棱柱},B={平行六面体},C={直平行六面体},D={正方体},E={正四棱柱},F={长方体},则它们之间的包含关系为 . 8.已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为4,则这个棱锥的斜高为 ,高为 . 9.如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 10.若一正四棱台的上底面、下底面边长分别为2,4,其表面积为80,求该四棱台的高.
B级关键能力提升练11.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )12.一个正方体的六个面上分别有字母A,B,C,D,E,F,如下图所示是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是( )图①图②A.BB.EC.FD.E或F13.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )
A.8(6+62+3)B.6(8+82+3)C.8(6+63+2)D.6(8+83+2)14.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有 条. 15.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,则其表面积为 . C级学科素养创新练16.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?参考答案1.A ①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.2.B 对于A,如图①所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故A不正确;对于B,由棱柱的定义可知正确;对于C,分成的两部分不一定是棱柱,故C不正确;对于D,如图②所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱.
图①图②3.C 将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6cm,宽等于5cm,由勾股定理d=62+52=61cm.4.C 设正方体的棱长为a,则三棱锥D1-AB1C的棱长均为2a,∴SD1-AB1C=4×12×(2a)2×sin60°=23a2,S正方体=6a2,SD1-AB1CS正方体=23a26a2=1∶3.故选C.5.D 如图所示,E,F,H分别为棱AD,DD1,B1C1的中点,M,N,Q确定平面α,NH∥MQ且N∈α,故NH⊂α,Q∈α,H∈α,故QH⊂α.同理可得FQ⊂α,EF⊂α,EM⊂α,故截面为六边形.故选D.6.1012cm2 由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=132-18-822=12(cm),
所以S侧=4×12×(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),则正四棱台的表面积为S=624+64+324=1012(cm2).7.D⫋E⫋F⫋C⫋B⫋A8.23 22 如图所示,由题意知,正四棱锥底面边长为4,又侧棱长为4,所以侧面为等边三角形,取G为CD的中点,在等边三角形VCD中,VG=32VC=23,点V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O,在Rt△BCD中,DB=BC2+DC2=42.则DO=12DB=22,所以在Rt△VOD中,VO=VD2-DO2=22.9.13 由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13cm.10.解设该正四棱台的斜高为h',高为h,由题意得,22+42+4×(2+4)h'2=80,解得h'=5.∴h=h'2-(2-1)2=25-1=26.∴该四棱台的高为26.11.A 根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D中都有相同的图案相邻,故选A.12.A 根据两个不同放置的图形,明显可知C的对面不是A,B,D,E,故C的对面是F,则与D相对的面为E或B,若E面与D面相对,则A面与B面相对,这时与图②放置矛盾,故与D面相对的是B面.故选A.13.A 由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,则该几何体的表面积为
S=6×(2+22)2-4×12×2×2+8×12×2×3=8(6+62+3).故选A.14.10 在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.15.3a2 由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S△SBC=12a2sin60°=34a2.因此,四面体S-ABC的表面积S=4×34a2=3a2.16.解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)①不对.只有一条棱着地水面才是矩形;②不对.只有一条棱着地水才是棱柱.
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