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11.4.2 平面与平面垂直A级必备知识基础练1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b( )A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ和l⊥mB.α∥γ和m∥βC.m∥β和l⊥mD.α∥β和α⊥γ3.下列说法正确的是( )①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.①③B.②③C.②③④D.④4.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有( )A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD5.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )A.53B.52C.35D.256.已知在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为AB的中点,沿着DE将△ADE翻折到△PDE,使平面PDE⊥平面EBCD,则PC的长为( )A.23B.22C.4D.67.下列说法:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②8.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)当满足条件 时,有m∥β; (2)当满足条件 时,有m⊥β.(填序号). 9.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C1-BD-C的大小为 . 11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.B级关键能力提升练12.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为( )A.123B.122C.63D.6613.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC14.如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=( )A.3B.2C.5D.115.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下列四个结论正确的是( )A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD16.(多选题)如图所示,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,则下列四个结论正确的是( )A.动点A'在平面ABC内的射影在AF上B.恒有平面A'GF⊥平面BCEDC.三棱锥A'-FED的体积有最大值D.直线A'E与BD不可能垂直
17.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= . 18.三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC⊥平面ABC,则AC= ;若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切,则球O的半径为 . 19.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 . C级学科素养创新练20.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.参考答案1.B 若a∥l,b∥l,则a∥b.假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l于点M,则PM⊥β,所以PM⊥b.又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.2.A 由m⊥γ,l⊂γ,可得m⊥l.由m⊂α,m⊥γ,可得α⊥γ.3.D 过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,故①错误;若α⊥β,a⊥α,则a⊂β或a∥β,故②错误;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,故③错误;④正确.
4.B 因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD⊥圆柱的底面,即AD⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.5.B ∵三个平面两两垂直,∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,∴OP即为该长方体的体对角线,∴OP=32+42+52=50=52.6.A 如图,画出矩形ABCD沿着DE折叠后的几何图形,因为四边形ABCD是矩形,AB=2BC=4,E为AB的中点,所以DE=DA2+AE2=22,EC=EB2+BC2=22.因为DE2+CE2=DC2,所以CE⊥DE.因为平面PDE⊥平面EBCD,平面PDE∩平面EBCD=DE,所以CE⊥平面PDE,所以CE⊥PE.因为PE就是AE,AE=12AB=2,所以PE=2,PC=PE2+EC2=23.7.B 对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为所作射线不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的.故选B.8.(1)③⑤ (2)②⑤9.直角 设P在平面ABC上的射影为O,∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
10.30° 连接AC交BD于点O,连接C1O,图略,∵C1D=C1B,O为BD中点,∴C1O⊥BD.∵AC⊥BD,∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角.在Rt△C1CO中,C1C=2,则C1O=22,∴sin∠C1OC=C1CC1O=12,∴∠C1OC=30°.11.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,PA,PB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC,即DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.
12.D 如图,连接AC交BD于点O,则PA⊥BD,AO⊥BD.所以BD⊥平面PAO.所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.在Rt△AOP中,PA=12,AO=62.所以PO=66.13.D 在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=45°.因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.又因为∠BCD=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.在题图②中,此关系仍成立.因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因为BA⊂平面ADB,所以CD⊥AB.因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.因为BA⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.14.B 取AB的中点E,连接DE,CE(图略).因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在Rt△DEC中,CD=DE2+CE2=2.15.ABD ∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,则BC∥平面AGF,故A正确;∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF.∵EG∥CD,∴EG⊥平面ABF,故B正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF.∵CD⊂平面BCD,∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,由平面AEF∩平面BCD=EF,CD⊂平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为60°矛盾,故C错误.故选ABD.16.ABC 对于A选项,在等边三角形ABC中,F为BC的中点,则AF⊥BC.∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,则DE⊥AF,翻折后,对应地有DE⊥AF,DE⊥A'G.∵AF∩A'G=G,∴DE⊥平面A'GF.∵DE⊂平面BCED,∴平面A'GF⊥平面BCED,且平面A'GF⊥平面BCED=AF,由面面垂直的性质定理可知,动点A'在平面ABC内的射影在AF上,故A,B正确;由于△DEF的面积为定值,当三棱锥A'-FED的高取得最大值时,即当平面A'DE⊥平面BCED时,三棱锥A'-FED的体积有最大值,故C正确;在翻折的过程中,∠A'EF有可能为直角,∵E,F分别为AC,BC的中点,则EF∥AB,即EF∥BD,∴异面直线A'E与BD所成的角为∠A'EF或其补角,则直线A'E与BD可能垂直,故D错误.17.7 取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=27,PE=PA2-AE2=6,CE=BE2+BC2=43,PC=PE2+CE2=7.18.2 2-1 如图,
设M为AC的中点,因为PA=PC,所以PM⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,所以由面面垂直的性质定理得PM⊥平面ABC,所以PM⊥MB.因为PC2-MC2=BC2-MC2,所以PM=MB,从而可得PM=22,AC=2.设O1,O2分别为对应面的内心,分别过O1,O2作MP,MB的平行线,交于点O,即O为所求的球心,易知OO1MO2是正方形,设Rt△PAC内切圆的半径为r,球O的半径为R,由图可知OM=R=2r,而r=2-22,所以R=2-1.19.12,1 如图,过点D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK.∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.∴t的取值范围是12,1.20.(1)证明如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°,可知△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,所以∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.
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