资料简介
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积A级必备知识基础练1.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( )A.3B.4C.5D.62.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )A.1B.12C.32D.343.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π44.如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为( )A.8273πB.4273πC.16273πD.32273π5.圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积为( )A.2853πB.28πC.285πD.2873π6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )A.1B.2C.3D.4
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是( )A.AC⊥平面BEFB.AE,BF始终在同一个平面内C.EF∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF的体积为定值8.若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形,则这个圆柱的表面积为 ,体积为 . 9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 . 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,BC=BB1=2,在该长方体内放置一个球,则最大球的体积为 . 11.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=5,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.B级关键能力提升练12.已知某圆锥的母线长为2,其轴截面为直角三角形,则圆锥的体积为( ) A.223πB.22πC.2πD.23π13.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是( )14.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5π∶6B.6π∶2C.π∶2D.5π∶12
15.有64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )A.V甲>V乙且S甲>S乙B.V甲r),则由题意得4π3R3+4π3r3=12π,2πR+2πr=6π,解得R=2,r=1.故R-r=1.故选A.7.ACD 由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,故A正确;∵EF∥BD,BD⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,得EF∥平面ABCD,故C正确;∵S△BEF=12×22×1=24,设AC,BD交于点O,AO⊥平面BB1D1D,AO=22,∴VA-BEF=13×24×22=112,故D正确;∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,故B错误.故选ACD.8.2π+4π2 2π2 由题知,圆柱体的底面周长、高均为2π.设底面半径为r,则2πr=2π,解得r=1.所以圆柱体表面积S=2π×12+4π2=2π+4π2,体积V=π×12×2π=2π2.
9.10 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120.因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12CD·BC·CE=13×12AB·BC·12CC1=112×120=10.10.π6 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=BB1=2,则长方体内最大球只能与平面ADD1A1和BCC1B1相切,此时球的直径为1,所以长方体内放置的球的体积最大值为V=4π3×123=π6.11.解(1)连接OM,则OM⊥AB,设OM=r,则OB=5-r,在△BMO中,sin∠MBO=r5-r=12,解得r=53,∴空心球的表面积为S=4πr2=209π.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=5,∴AC=153,∴所得旋转体的体积V=V圆锥-V球=13π×AC2×BC-43πr3=13π×553-43π×5527=25581π.12.A 由题意知圆锥轴截面为等腰直角三角形,则圆锥的底面半径r=2,圆锥的高h=4-2=2,所以圆锥的体积V=13·πr2·h=22π3.故选A.13.A V=13S△AMC·NO=1312×3x×sin30°·(8-2x)=-12(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.14.B 作出过正方体的对角面的截面,如图所示,
设球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=2a2,在Rt△C'CO中,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+2a22=R2,解得R=62a,所以半球的体积为V1=12×43πR3=23π×62a3=62πa3,正方体的体积为V2=a3,所以半球与正方体的体积比为62πa3∶a3=6π∶2,故选B.15.C 计算得V甲=16πa3,S甲=4πa2,V乙=16πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.故选C.16.CD 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,A错误;圆锥的母线长为(2R)2+R2=5R,故圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2,B错误;球的表面积为4πR2,等于圆柱的侧面积,C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2,D正确.17.29 设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.18.26 2-1 由题图②可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=2×22x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.19.解①如图所示,
由题意知OA=OB=OC=OD=15.设H为△BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.∵HB=HC=HD=23×32×123=12,∴OH=OB2-HB2=9.∴正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.又S△BCD=12×32×(123)2=1083,∴VA-BCD=13×1083×24=8643.②如图所示,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,S△BCD=1083,∴VA-BCD=13×1083×6=2163.综上,正三棱锥A-BCD的体积为8643或2163.20.解(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V球=43πR3=43π·27=36π(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36π+12π104=48π104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×48π104=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).
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