资料简介
11.1.5 旋转体A级必备知识基础练1.一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面的面积是2S,则它的一个底面的面积是( )A.πS2B.πS4C.SD.πS2.(多选题)以钝角三角形的某条边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体可以是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥3.在长方形ABCD中挖掉半圆O,得到如图所示的图形,则将该图形绕着AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为( )A.一个长方体内部挖去一个球B.一个长方体内部挖去半个球C.一个圆柱体内部挖去一个球D.一个圆柱体内部挖去半个球4.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa25.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( )A.8B.8πC.4πD.2π
6.我国古代数学名著《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺)( )A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺7.下列说法正确的是 .(填序号) ①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面;④圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.8.图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成,若将它绕直线l旋转形成一个组合体,下面说法不正确的是 .(填序号) ①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球;②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点;③该组合体中的球和半球只有一个公共点.9.一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积为 . 10.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的半径.B级关键能力提升练11.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°12.一个四面体各棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.3πB.4πC.33πD.6π13.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1+2π2πB.1+4π4πC.1+2ππD.1+4π2π14.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面图形可能是( )15.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为 cm,表面积为 cm2. 16.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截面图形可能是图中的 .(填序号) 17.定义如图所示的几何体为斜截圆柱(由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到),已知斜截圆柱底面的直径为40cm,母线长最短为50cm、最长为80cm,则斜截圆柱侧面展开图的面积S= cm2. 18.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,且两截面位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
C级学科素养创新练19.如图,已知在直角三角形ABC中,AC⊥BC,BC=2,tan∠ABC=22.(1)若以直线AC为轴,直角三角形ABC旋转一周,试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行的最短距离.参考答案1.A 设底面半径为r,则4r2=2S,故底面面积=πr2=π·S2=πS2.故选A.2.AD 以钝角三角形的最长边所在的直线为轴,旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体,故A正确;以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥,故D正确.故选AD.3.C4.B 长方体的长,宽,高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线就是外接球的直径,所以球的直径长为(2a)2+a2+a2=6a,所以球的半径为62a,所以球的表面积是4π62a2=6πa2,故选B.
5.B 易知2πr=4,则2r=4π,所以轴截面面积=4π×2=8π.故选B.6.C 由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条边(即木棍的高)长24尺,另一条边长5×2=10尺,因此葛藤长242+102=26尺,故选C.7.④ 根据圆柱母线的定义,①错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故②错误;圆锥只有一个底面,故③错误;根据圆锥母线的定义,④正确.8.① 该组合体可以分割成圆锥、球、半球、圆柱、圆台,故①错,②③正确.9.34πa2 由题知,圆锥的底面半径r=a2,母线长l=a,则其表面积为S表=πr(r+l)=π·a2·a2+a=34πa2.10.解如图,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得HA=13·2R=23R,所以OH=R3.因为截面面积为π=π·(HM)2,所以HM=1.在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,所以R2=19R2+HM2=19R2+1,所以R=324,即球O的半径为324.11.C 设圆锥的底面半径是r,
母线长是l.如图所示,2πr=πl,所以2r=l,所以rl=12.所以轴截面对应的等腰三角形的底角为60°.故选C.12.A 把正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,扩展后正方体的棱长为1,所以正方体体对角线的长度就是外接球的直径,体对角线长为12+12+12=3,所以球的半径为32,所以球的表面积为4πR2=4π×322=3π,故选A.13.A 设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).又S侧=h2=4π2r2,∴S全S侧=1+2π2π.故选A.14.ABC 当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D.15.13 216π 如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12cm,BC=8-3=5cm,所以AB=122+52=13(cm).表面积为S=π(32+82+3×13+8×13)=216π(cm2).16.①③ 在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化,截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图形是图①.当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图③.而图②④是不会出现的.
17.2600π 把斜截圆柱补成底面半径20cm,高130cm的圆柱,则侧面展开可得斜截圆柱侧面展开圆面积S=12(50+80)×40π=2600π(cm2).18.解如图,设这两个截面的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球半径为R.则πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.∵R2=r12+d12=r22+d22,∴d12-d22=8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,∴d1+d2=3,解得d1=2,d2=1.∴R=r12+d12=5+4=3.19.解(1)在直角三角形ABC中,由BC=2,tan∠ABC=22,即tan∠ABC=ACBC=22,得AC=42.若三角形ABC以直线AC为轴旋转一周,形成的几何体为以BC=2为半径,高AC=42的圆锥,则AB=22+(42)2=6,其表面积为S=π×22+π×2×6=16π.(2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的距离最短,则沿过点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形,如图所示,所求最短距离就是点B到点B1的距离,∠BAB1=2π×26=2π3,在△ABB1中,由余弦定理得BB1=62+62-2×6×6×cos2π3=63.
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