资料简介
11.4.1 直线与平面垂直A级必备知识基础练1.如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( ) A.4B.3C.2D.12.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是( )A.5B.25C.35D.453.下列说法中,正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.④垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个4.如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列说法不正确的是( )A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PBD.PC⊥BC5.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于( )A.40°B.50°C.90°D.150°6.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°7.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为 . 8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN= . 9.如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成的角为 . (2)则MN与AD所成的角为 .
10.如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.B级关键能力提升练11.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法中正确的有( )①m⊥α,m⊥n⇒n∥α或n⊂α②n∥m,n⊥α⇒m⊥α③α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n④m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥βA.0个B.1个C.2个D.3个12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是( )
A.EF⊥B1CB.BC1∥平面EFGC.A1C⊥平面EFGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为π414.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A.30°B.45°C.60°D.90°15.如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线A1O垂直的立方体的截面为 .(写出一个即可) 17.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 . 18.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为 . 19.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM⊥平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.20.如图,四边形ABCD是矩形,ED⊥平面ABCD,FB⊥平面ABCD,BC=3,DE=CD=2FB=2.(1)证明:平面ADE∥平面BCF;(2)求三棱锥B-CFD的体积.C级学科素养创新练21.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.(1)证明:BD⊥平面APC;(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;(3)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值.参考答案1.A 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AC,PA⊥AB.又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,共4个.故选A.2.D 由题得PB=PC=82+52=89,则P到BC的距离d=PB2-12BC2,即d=89-9=45.
3.C ②③④⑤正确,①中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.
4.C 因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,故A正确;又C为圆上异于A,B的任一点,AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D均正确.故选C.5.B 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.6.ABC ∵BD∥B1D1,B1D1⊂平面CB1D1,故A正确;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1,∴BD⊥AC1,故B正确;与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直,则AC1⊥平面CB1D1,故C正确;∵B1C∥A1D,∴∠ADA1为异面直线AD与CB1所成的角,且异面直线AD与CB1所成的角为45°,故D错误.故选ABC.7.垂直 如图,取AC的中点E,连接BE,DE.由AB=BC,得AC⊥BE.同理AC⊥DE.因为BE∩DE=E,所以AC⊥平面BED.因此,AC⊥BD.8.π2 因为C1B1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1,MB1⊂平面C1MB1,C1B1⊂平面C1MB1,MB1∩C1B1=B1,所以MN⊥平面C1MB1.又C1M⊂平面C1MB1,所以MN⊥C1M,即∠C1MN=90°.9.(1)60° (2)45° (1)由图易知MN∥AD1,∵△ACD1构成正三角形,
∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.10.证明取AB的中点F,连接CF,DF(图略).∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.11.C 对于①,由m⊥α,m⊥n,可得n∥α或n⊂α,故①正确;对于②,由n∥m,n⊥α,可得m⊥α,故②正确;对于③,由α∥β,m⊂α,n⊂β,可得m∥n或m,n异面,故③错误;对于④,由m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,可得α∥β或α与β相交,故④错误.故四个说法中正确的有2个.故选C.12.D 由AC⊥平面DBB1D1,BE⊂平面DBB1D1知A正确;由EF⊂平面A1B1C1D1,且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=12×1×12=14.VA-BEF=13×22×14=224知C正确;D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.13.ABC 如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1.又BC1⊥B1C,∴EF⊥B1C,故A正确;∵BC1∥EF,EF⊂平面EFG,BC1⊄平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正确;
A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确;∵FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=π3,即异面直线FG,B1C所成角的大小为π3,故D错误.故选ABC.14.C 如图,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=32a,DE=12a.所以tan∠ADE=3.所以∠ADE=60°.15.C ∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴AB⊥PC.∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.∵CH⊂平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.16.GBD(或AFC1H或ED1B1) 如图所示,连接OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面ACC1A1,A1O⊂平面ACC1A1,故BD⊥A1O.设正方体边长为2,则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.17.45° 如图,设C在平面α内的射影为点O,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC=BC=1,则AB=2,∴CM=22,CO=12,∴sin∠CMO=COCM=22,∴∠CMO=45°.18.3cm 如图,设A,B,C在平面α内的射影分别为A',B',C',△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E,G在平面α内的射影分别为E',G',则E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=12(A'A+B'B)=52,CC'=4,CG∶GE=2∶1,在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'的中点H,H',设GG'=x1,HH'=x2,则x1=x2+522,x2=x1+42,解得x1=3,即△ABC的重心到平面α的距离为GG'=3.19.(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AM=MC=MB=12AC=5.在△PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-MC2=132-52=12.∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②
由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB为BP在平面ABC内的射影,∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.在Rt△PMB中,tan∠PBM=PMMB=125.20.(1)证明∵ED⊥平面ABCD,FB⊥平面ABCD,∴FB∥ED.∵DE⊂平面ADE,BF⊄平面ADE,∴BF∥平面ADE.在矩形ABCD中,BC∥AD,且AD⊂平面ADE,BC⊄平面ADE,∴BC∥平面ADE.又BC∩FB=B,∴平面ADE∥平面BCF.(2)解由题知,FB⊥平面ABCD,且点F到平面BCD的距离为FB=1.∵四边形ABCD是矩形,BC=3,CD=2,∴S△BCD=12×3×2=3,∴VB-CFD=VF-BCD=13S△BCD·FB=13×3×1=1.21.(1)证明设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角.由题意得OG=12PA=32.在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,所以∠ABO=12∠ABC=60°,
所以AO=OC=AB·sin60°=3.在Rt△OCD中,OD=CD2-OC2=2.在Rt△OGD中,tan∠OGD=ODOG=433.所以DG与平面APC所成角的正切值为433.(3)解因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.在Rt△PAC中,PC=(3)2+(23)2=15.所以GC=AC·OCPC=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.
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