资料简介
第十一章11.1.1空间几何体与斜二测画法
课标要求1.了解常见的空间几何体,能将物体抽象出的几何体画出来.2.理解斜二测画法的概念.3.会用斜二测画法作出一些简单平面图形和立体图形的直观图.4.理解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1空间几何体概念定义空间几何体生活中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑一个物体占有的和,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体空间形状大小
过关自诊观察如下各图所示的物体或建筑物,将它们可抽象出的几何体画出来.提示
知识点2斜二测画法1.立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的.2.一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下.(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°).(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.直观图
3.一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下.(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度.连接有关线段.(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成(或擦除).zx'不变虚线
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)相等的角,在直观图中仍相等.()(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.()××
2.(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变为原来的C.在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同答案ABD解析在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°,也可以是135°.C不正确.
3.长方形的直观图可能为下图中的()A.①②B.①②③C.②D.③④答案C解析斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为②.
4.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'=.答案45°或135°解析由斜二测画法,∠A'=45°或∠A'=135°
重难探究•能力素养全提升
探究点一水平放置的平面图形的直观图【例1】按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.解画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取
(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去作图过程中的辅助线,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
规律方法1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和等边三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.
解画法:(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O(如图①),画相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°(如图②).(2)在图②中,以O'为中点,在x'轴上截取A'B'=AB;分别过A',B'作y'轴的平行(3)连接E'D',D'C',C'E',并擦去作图过程中的辅助线,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
探究点二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).
变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
解(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',A'A,B'B,C'C,D'D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.
探究点三直观图的还原与计算【例3】如图所示,水平放置的平面图形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.解如图所示,因为A'D'∥B'C',所以AD∥BC.因为∠A'B'C'=45°,所以∠ABC=90°,所以AB⊥BC,即四边形ABCD是直角梯形,
规律方法由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积的.
变式探究如图所示的直角梯形A'B'C'D'为某一平面图形的直观图,∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1,C'D'⊥B'C',求原平面图形的面积.
解在斜二测直观图中(如图①所示),作A'H⊥x轴交于点H.∵A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',∠A'B'C'=45°,
变式训练3已知等边三角形ABC的边长为1,那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析图①②分别为实际图形和直观图.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是()A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直直线的直观图仍互相垂直答案B解析斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条相交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°或135°的两条相交直线,故选项D错误.
2.一水平放置的△ABC的直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是.答案10解析易知AC⊥BC,且AC=6,BC=8,AB为Rt△ABC的斜边,故
3.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是.
4.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的直观图,将其恢复成原图形.解画法:(1)如图②,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A'.(2)在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在图②中,在x轴上取OD=O'D',过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'.(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'原来的图形,如图②.
本课结束
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