资料简介
第十一章11.3.1平行直线与异面直线
课标要求1.能用平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题.2.理解异面直线的定义,会判断两直线异面.3.理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1平行直线与等角定理1.平行直线(1)过直线外一点条直线与已知直线平行.(2)平行于同一条直线的两条直线互相,也称空间平行线的传递性.2.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别,并且,那么这两个角相等.有且只有一平行对应平行方向相同
名师点睛1.等角定理中要注意:(1)角的两边对应平行;(2)角的方向相同.2.此定理也称空间等角定理.它可以用来证明空间两角相等,它是研究空间两条直线位置关系的基础.3.由这个定理可以推出:如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
过关自诊1.如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,且方向都相反,那么这两个角的大小关系怎样?若方向一个相同一个相反呢?提示如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,那么这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补.
2.已知空间两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°答案D解析∵α与β的两边对应平行,∴α与β相等或互补,故β为60°或120°.
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.关系不确定B
4.如图,AA'是长方体ABCD-A'B'C'D'的一条棱,那么长方体中与AA'平行的棱共有条.答案3解析∵四边形ABB'A',ADD'A'均为长方形,∴AA'∥BB',AA'∥DD'.又四边形BCC'B'为长方形,∴BB'∥CC',∴AA'∥CC'.故与AA'平行的棱共有3条,它们分别是BB',CC',DD'.
知识点2异面直线1.异面直线指的是空间中的直线.2.异面直线的画法为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图所示.3.异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.既不平行也不相交
过关自诊如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线D1D与直线D1C的位置关系是.(2)直线AB与直线B1C的位置关系是.相交异面
知识点3空间四边形空间四边形可以看成由一个四面体的构成的图形.不共面相邻顶点间不相邻4条棱
过关自诊如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明连接BD(图略).因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=BD.同理,FG∥BD,且FG=BD.因此EH∥FG.又EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
重难探究•能力素养全提升
探究点一空间平行线的传递性的应用【例1】如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.证明因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,所以BE∥B'E',且BE=B'E'.所以四边形EBB'E'是平行四边形.所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.所以EE'∥FF'.
变式探究在例1中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.证明如图所示,连接A'C',
探究点二等角定理的应用【例2】已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.
证明如图所示,连接EE1,因为E1,E分别为A1D1,AD的中点,所以四边形E1EBB1是平行四边形,所以E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.
变式训练1空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行,∠A=70°,则∠B=.答案70°或110°解析因为∠A的两边和∠B的两边分别平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.
探究点三异面直线的判断【例3】如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?解由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与直线BA'是异面直线.
规律方法判断两直线是不是为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线.
变式训练2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?分别是哪几对?
解还原的正方体如图所示.有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
学以致用•随堂检测全达标
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案D解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案B解析由直观想象知,它和另一条直线相交或异面.
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有对.答案6解析如图所示,在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有对.3
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:∠BGC=∠FD1E.
证明因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.所以GC∥D1E,GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.
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