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第八章8.1.1向量数量积的概念
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解向量数量积的含义及其物理意义.2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义.3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1两个向量的夹角给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作,则称内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作.当=时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.[0,π]
名师点睛两向量的方向与夹角关系除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当=0时,a与b同向;当=π时,a与b反向;当=或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×
2.作出向量a与b的夹角:
知识点2向量数量积的定义1.一般地,当a与b都是非零向量时,称为向量a与b的数量积(也称为内积),记作,即a·b=.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.2.数量积的性质如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质.(1)|a·b|≤|a||b|(共线时取等号);(2)a·a=|a|2,即|a|=(3)a⊥b⇔a·b=0;|a||b|cosa·b|a||b|cos实数
名师点睛(1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab.(2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cos决定,即由的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.(3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].
过关自诊若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b=.答案±12
知识点3向量的投影与向量数量积的几何意义1.如图所示,设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量为向量a在直线l上的或.投影向量投影
2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.
3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称为向量a在向量b上的.(1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.(2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.名师点睛(1)如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cos,也可记为a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的.(2)投影的数量是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关.|a|cos投影的数量
过关自诊1.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于()答案A2.一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.
重难探究•能力素养全提升
探究点一与向量数量积有关问题的判断【例1】已知a,b,c是三个非零向量,则下列正确的个数为()①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.A.1B.2C.3D.4
答案C解析①中因为a·b=|a||b|cosθ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故①正确;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cosπ=-|a||b|,且以上各步均可逆,故②正确;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此③正确;④中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等时,则|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故④不正确.
规律方法两向量夹角的关注点两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列说法:①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③a·0=0.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案A解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确.
探究点二求向量的投影的数量或数量积
规律方法1.求向量数量积的步骤(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ.2.求投影的数量的两种方法(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.
变式探究
探究点三向量数量积的性质及应用【例3】(1)E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若=0,则四边形EFGH是()A.梯形B.正方形C.菱形D.矩形(2)已知a,b是两个非零向量.若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求.分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.(2)利用向量数量积的公式求解.
答案(1)D由题画出图.(图略)连接AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解因为a·b=|a||b|cos,所以|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|=6.
规律方法求向量夹角的解题策略
变式训练2
素养培优用数形结合法求向量的夹角求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.
【典例】已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求.
规律方法熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.
变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则是()答案C解析如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,∵|a+b|=|a-b|,∴四边形ABCD为矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
学以致用•随堂检测全达标
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是()A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.|e1·e2|
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