资料简介
第四章4.5增长速度的比较
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解函数平均变化率的概念.2.会求函数在给定区间上的平均变化率.3.掌握函数的平均变化率与单调性的关系.
基础落实•必备知识全过关
知识点1平均变化率1.平均变化率(1)平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
2.平均变化率的求解步骤(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);(2)求出Δx=x2-x1;(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);名师点睛1.注意自变量与函数值的对应关系,公式中,若Δx=x2-x1,则Δf=f(x2)-f(x1);若Δx=x1-x2,则Δf=f(x1)-f(x2).2.平均变化率可正可负,也可为零.但是,若函数在某区间上的平均变化率为0,并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如,f(x)=x2在区间[-2,2]上的平均变化率为0,但f(x)=x2在[-2,2]上的图象先下降后上升,值域是[0,4].
过关自诊y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2答案C
知识点2增长速度的比较1.几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.
(3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型当x>0,α>0时,幂函数y=xα是增函数,且当x>0时,α越大其函数值的增长速度就越快.
2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xα(α>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的无限增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,在区间(0,+∞)上,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax0).
名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的单调性单调递增,且a越大,增长越快单调递增,且a越小,增长越快单调递增,且α越大增长越快增长速度越来越快越来越慢随α值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着α值的不同而不同
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加1个单位.()(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.()(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.()×√×
2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型答案D
重难探究•能力素养全提升
探究点一函数平均变化率的求解
变式训练1函数f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为.答案-8-2Δx解析Δf=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以=-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
探究点二平均变化率的大小比较【例2】已知函数y1=3x+1,y2=log4x-1,分别计算两个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.
探究点三比较函数的增长情况【例3】三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表:x0510152025y15130505113020053130y2594.4781785.2337336.37×1051.2×107y35305580105130则最可能是关于x呈指数型函数变化的一个变量为.答案y2解析从表格中可以看出,三个变量y1,y2,y3的值随着x的增加都是越来越大,但是增长速度不同,相比之下,变量y2的增长速度最快,画出它们的图象,可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
规律方法判断三种函数模型的方法(1)根据函数的变化量的情况进行判断三种递增函数中,随着自变量的增大,指数函数的增长速度先慢后快;对数函数的增长速度先快后慢;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数的增长速度之间.(2)根据图象进行判断根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的是指数函数的图象,图象趋于平缓的是对数函数图象,介于两者之间的是幂函数的图象.
变式训练2函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示,设两个函数图象的交点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2时,f(x)>g(x).从而f(2020)>g(2020)>g(8)>f(8).
学以致用•随堂检测全达标
1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2答案A解析由图易知f(1)=3,f(3)=1,
2.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为.答案2.9解析因为f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,
3.函数f(x)=x2与g(x)=lnx在区间(1,+∞)上的增长速度较快的是.答案f(x)=x2
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