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第五章5.3.2事件之间的关系与运算
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解事件之间的关系与运算.2.了解互斥事件的概率加法公式.3.会用对立事件的特征求概率.4.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力.
基础落实•必备知识全过关
知识点1事件之间的关系事件之间的关系定义表示法图示包含关系一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”)A⊆B(或B⊇A)相等关系如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”A=B
名师点睛1.对包含关系的理解(1)不可能事件记作⌀,任一事件都包含不可能事件,即C⊇⌀(C为任一事件).(2)事件A也包含于事件A,即A⊆A.(3)A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B发生是A发生的必要条件.如果A⊆B,则P(A)≤P(B).2.对相等关系的理解(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生.(2)A=B⇔A⊆B且B⊆A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B).
过关自诊1.试回忆集合间的关系与运算有哪些?提示集合间的关系:包含A⊆B,相等A=B;集合的基本运算:并集A∪B,交集A∩B,补集∁UA.2.掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.解当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A⊆C,B⊆C.
知识点2事件的运算1.和事件与积事件事件定义表示法图示事件的和(并)给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A+B(或A∪B)事件的积(交)给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或A∩B)
名师点睛1.对事件的和(并)的理解(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.(2)不难看出,A⊆(A+B)且B⊆(A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).2.对事件的积(交)的理解(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.互斥事件与对立事件互斥事件定义给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥符号AB=⌀(或A∩B=⌀)图示
对立事件定义给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件表示法A的对立事件一般记作符号B=,A∩B=⌀,且A∪B=Ω图示
3.互斥事件的概率加法公式当A与B互斥(即AB=⌀时),有P(A+B)=P(A)+P(B).推广:一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).4.对立事件公式P(A)+P()=1.
名师点睛1.对互斥事件的理解(1)任意两个基本事件都是互斥的,⌀与任意事件互斥.(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别.2.对对立事件的理解在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.3.互斥事件与对立事件的联系(1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件.
过关自诊1.已知事件A所含的样本点的个数为10,事件B所含的样本点的个数为8.(1)若AB=⌀,则事件A+B所含的样本点的个数为;(2)若事件AB含有6个样本点,则事件A+B所含的样本点的个数为;(3)若A⊇B,则A+B所含的样本点的个数为;(4)若A⊇B,则AB所含的样本点的个数为.答案(1)18(2)12(3)10(4)8
2.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:派出人数≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.
解(1)设派出2人及以下为事件A,派出3人为事件B,派出4人为事件C,派出5人为事件D,派出6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下外出家访,由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
重难探究•能力素养全提升
探究点一互斥事件与对立事件的判定【例1】已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由.(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解(1)是互斥事件,但不是对立事件.理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.(2)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.(4)是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件.
规律方法互斥事件和对立事件的判定方法1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.2.利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.(1)若事件A与B互斥,则集合A∩B=⌀;(2)若事件A与B对立,则集合A∩B=⌀且A∪B=Ω.
变式训练1把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对答案C解析“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,所以是互斥事件,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
探究点二互斥事件的概率【例2】在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率.
解分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.规律方法(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.
变式探究请求出小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率.解小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16.
探究点三对立事件的概率【例3】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B解析设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.规律方法求对立事件概率的关注点当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知P(A),P(B)分别表示随机事件A,B发生的概率,那么1-P(A∪B)是下列哪个事件的概率()A.事件A,B同时发生B.事件A,B至少有一个发生C.事件A,B都不发生D.事件A,B至多有一个发生答案C解析P(A),P(B)分别表示随机事件A,B发生的概率,P(A∪B)表示事件A,B至少有一个发生的概率,故1-P(A∪B)表示事件A,B都不发生的概率.故选C.
2.(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则()
答案CD
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是.(填序号)答案③解析从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
4.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为,摸出的球不是黄球的概率为,摸出的球是黄球或黑球的概率为.答案0.40.820.6解析摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;摸出的球不是黄球的概率为1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为0.18+0.42=0.6.
本课结束
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