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第三章第1课时 函数的概念
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.2.会求一些简单函数的定义域和值域.
基础落实•必备知识全过关
知识点一、函数的概念1.函数的定义初中在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数高中一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域.如果自变量取值a,则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域
名师点睛1.函数有三要素:定义域、值域、对应法则.2.因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.3.要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应法则是否给出;(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.
过关自诊下列式子能否确定y是x的函数?(1)x2+y2=4;
知识点2同一函数一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应法则也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,那么这两个函数就相同.例如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一函数
重难探究•能力素养全提升
探究点一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域:分析本题主要考查函数的定义域.只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.
规律方法函数定义域的求法1.求函数的定义域之前,不能对函数的解析式进行变形,否则可能会引起定义域的变化.2.求函数定义域的基本原则有:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
变式探究在本例(4)条件不变的情况下,求函数y=f(x+1)的定义域.解由1≤x+1≤3,得0≤x≤2,所以函数的定义域为[0,2].
探究点二同一函数的判断【例2】下列各组函数是否表示同一函数?为什么?(4)f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1;分析判断每一对函数的定义域是否相同,对应法则是否相同即可.
解对于(1),在公共定义域R上,f(x)=|x|和φ(t)==|t|的对应关系完全相同,只是表示形式不同;对于(2),前者x∈R,后者x≥0,两者定义域不同;对于(3),前者定义域为[0,+∞),后者定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞);对于(4),尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表示,但它们的定义域相同,对应关系相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为同一函数.故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.规律方法同一函数的判断方法定义域和对应法则,是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时,这两个函数才是同一函数.
变式训练下列函数表示同一函数的是()A.y=2(x+1)与y=2xB.y=x(x∈Z)与y=x答案D
探究点三简单函数值域的求法分析求函数的值域没有统一的方法.如果函数的定义域是有限个值,那么就可将函数值都求出得到值域;如果函数的定义域是无数个值,那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域,如,观察法、配方法、换元法等.
规律方法求函数值域的常用方法1.观察法:通过对函数关系式的简单变形,利用熟知的一些函数的值域,观察求得函数的值域.2.配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量的取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域.3.换元法:通过对函数的关系式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累.
素养培优抽象函数定义域的求法【典例】(1)函数f(x)的定义域为[2,3],求函数f(x-1)的定义域.(2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],求函数f(x)的定义域.解(1)函数f(x)的定义域为[2,3],则函数f(x-1)中,2≤x-1≤3,解得3≤x≤4,即函数f(x-1)的定义域为[3,4].(2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],即2≤x≤3,则1≤x-1≤2,所以函数f(x)的定义域为[1,2].
方法点睛求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则:同在对应法则f下的范围相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)的范围相同.(2)方法:①已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知g(x)∈A,求x的范围;②已知f(g(x))的定义域为A,求f(x)的定义域,其实质是已知x∈A,求g(x)的范围,此范围就是f(x)的定义域.
学以致用•随堂检测全达标
答案B
答案(-∞,1)∪(1,2]
答案[0,1)∪(1,+∞)
5.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1)和f(t)的值.解f(1)=13+2×1+3=6.f(t)=t3+2t+3.
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