资料简介
第3章圆3.3垂径定理
1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标
折一折你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．新课引入
问题1：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE；劣弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒理由如下：连结AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE新课讲解垂径定理及其推论1
★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，⌒⌒AC=BC，⌒⌒AD=BD.★推导格式注意垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE新课讲解
垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABODCABOC新课讲解
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索新课讲解如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想新课讲解
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明举例（1）连结AO，BO，则AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.★垂径定理的推论⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直径，AE=BE★推导格式ＤＣＡＢＥＯ归纳总结
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.新课讲解
·OABE解析：连结OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.新课讲解如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.例1
·OABECD解：连结OA.∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，.新课讲解如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.例2
.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒新课讲解已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.⌒⌒例3
总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结
新课讲解垂径定理的实际应用2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.例4
ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.新课讲解
练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm新课讲解
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：★弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·方法归纳
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°，则弦AC=___.103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为____.14cm或2cm随堂即练
4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE为矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四边形ADOE为正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，随堂即练
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE注意解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．随堂即练解：AC＝BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展延伸
垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形课堂总结
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