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第二章 2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时分层训练1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )A． B．3C．－D．－3解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.故选D.2．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于( )A．－B．－C．D．解析：选A 因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )A．B．－C．D．－解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.故选C．4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P
的坐标为( )A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个解析：选C 设P(x，y)，由||＝2||得，＝2或＝－2，＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)；故(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)．P(3,1)或(1，－1)．故选C．5．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为( )A．π－θB．θ－C．＋θD．θ解析：选A ∵cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ＝cos，∵θ∈，∴π－θ∈，又〈a，b〉∈[0，π]∴〈a，b〉＝π－θ.故选A．6．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________．解析：2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.答案：27．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)×x＝0，解得x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴||＝8.答案：88．(2018·江西上饶中学月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为________．解析：易得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.设c＝(x，y)，∵(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.设a与c的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]∴θ＝120°.答案：120°9．(2019·洛阳期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，实数λ的取值范围为∪(0，＋∞)．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，所以|＋|＝2，|－|＝4.故两条对角线的长分别为2、4.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，故t＝－.1．(2019·山东日照一中期中)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b＝( )A．－B．－C．D．解析：选D a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意，得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.故选D.2．(2018·广东汕头金山中学期末)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )A．B．－C．D．－
解析：选B 由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.故选B.3．(2019·浙江期末)已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )A．B．C．D．(1,0)解析：选B 设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝，由解得即b＝.故选B.4．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：选C 设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C．5．(2018·天津七中期末)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.答案：6．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊕”为m
⊕n＝(ac－bd，ad＋bc)．若已知p＝(1,2)，p⊕q＝(－4，－3)，则q＝________.解析：设q＝(x，y)，则p⊕q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，∴解得∴q＝(－2,1)．答案：(－2,1)7．已知向量＝(1,7)，＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．解析：设M，则＝，＝，∴·＝(1－x)(5－x)＋＝(x－4)2－8，所以当x＝4时，·取得最小值－8.答案：－88．(2019·浙江湖州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(2，－1)，B(3,5)，C(m，3)．(1)若⊥，求实数m的值；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，有＝(1,6)，＝(m－2,4)，由⊥，得·＝0，即(m－2)×1＋4×6＝0，解得m＝－22.(2)若A，B，C三点能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即与不平行，故1×4－6(m－2)≠0，解得m≠，即实数m的取值范围是∪.
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