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第二章 2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时分层训练1．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于( )A．－a2 B．－a2C．a2D．a2解析：选D 由题意得|BD|＝a，∴·＝||||cos30°＝a·a·＝a2，故选D.2．(2018·湖北武汉期末)给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选C ①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．故选C．3．(2019·湖北期中)已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于( )A．B．C．D．解析：选A 易得|a＋b|2＝19，所以a2＋2a·b＋b2＝19，所以2a·b＝19－4－9＝6，于是|a－b|＝＝＝.故选A．4．(2018·辽宁大连二十中月考)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝
c，则a与b的夹角θ为( )A．150°B．120°C．60°D．30°解析：选B 由|a|＝|b|＝|c|，且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|cosθ＝－|a|2⇒cosθ＝－⇒θ＝120°.故选B.5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )A．－6B．6C．3D．－3解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B.6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|×|b|cos45°＝|b|，又∵|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.答案：37．已知向量⊥，||＝3，则·＝________.解析：因为⊥，||＝3，所以·＝·(＋)＝||2＋·＝||2＝32＝9.答案：98．(2018·四川月考)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．解析：因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形9．已知e1、e2是夹角为120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.(1)求a·b的值；(2)求a＋b与a－b的夹角的大小．解：(1)a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)＝6e－13e1·e2＋6e＝6－13cos120°＋6＝.(2)设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝0，∴a＋b与a－b的夹角为90°.10．(1)已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ；(2)已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．解：(1)∵∴即∴∴cosθ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)∵(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝，且|a＋b|＝＝＝＝1，∴＝，即向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
1．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )A．0B．C．D．解析：选D ∵a·c＝a·＝a·a－·(a·b)＝a·a－a·a＝0.∴a⊥c.故选D.2．(2018·湖南岳阳期末)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )A．2B．4C．6D．12解析：选C ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.故选C．3．在▱ABCD中，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )A．20B．15C．9D．6解析：选C ∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋，又＝2，∴＝＋＝－，于是·＝·＝(4＋3)·(4－3)＝(16||2－9||2)＝9.故选C．4．(2019·湖南临考冲刺)如图，在▱ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A．B．－C．D．－解析：选A 易知EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，则·＝·＝(－)·(＋)＝2－2＝1－2＝，·＝·＝2－2＝1－2＝，因此·＋·＝，故选A．5．(2018·福建月考)在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．解析：易知||2＝||2＋||2，∴C＝90°，∴cosB＝.又〈，〉＝180°－B，∴·＝||||cos(180°－B)＝13×5×＝－25.答案：－256．已知a是单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析：∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]∴0≤|b|≤1.答案：[0,1]7．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝________.
解析：·＝||·||cos(180°－∠BAO)，∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos∠BAO＝－||，∴·＝－||2，同理·＝－||2，·＝－||2，∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.答案：－8．(2019·山东沂水一中期中)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.(1)求|a＋b|的值；(2)当实数x为何值时，xa－b与a＋3b垂直？解：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos60°＝3，所以|a＋b|＝＝＝.(2)因为xa－b与a＋3b垂直，所以(xa－b)·(a＋3b)＝0，即xa2＋(3x－1)a·b－3b2＝13x－30＝0，所以x＝.
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