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章末质量检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( )A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D.∥就是所在的直线平行于所在的直线解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．故选C．2．(2019·高三摸底)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b反向共线D．存在正实数λ，使得a＝λb解析：选D 由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D.3．(2019·泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )A．a－2b与－a＋2b B．3a－5b与6a－10bC．a－2b与5a＋7bD．2a－3b与a－b解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以作为一组基底．故选C．4．(2019·福州期末)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝( )
A．B．3C．D．解析：选B ∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴c＝2a－b＝(3,3)，∴|c|＝＝3，故选B.5．(2019·天津六校期中联考)已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )A．－1B．－2C．－3D．－4解析：选C ∵a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，∴b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a＋b＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3.故选C．6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )A．2B．C．2D．4解析：选A 因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.故选A．7．(2018·茂名二模)已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝( )A．2B．3C．4D．5解析：选B ∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2.又∵|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝|a||a－b|cos，∴a2－a·b＝2×1×＝1，∴a·b＝3.故选B.8．(2019·南充一诊)已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·b
＝－1，则(3a－b＋5c)·b＝( )A．－1B．1C．6D．－6解析：选D 因为向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·b＝－1，所以(3a－b＋5c)·b＝0－b2＋5c·b＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.9．(2018·福建月考)如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )A．20B．C．2D．解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2，故选C．10．(2019·月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝( )A．B．3C．D．2解析：选B 因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，则·＝||·||cos∠ACB＝3.故选B.11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(－2)·(3＋4)＝( )A．－B．－
C．－6－D．－6＋解析：选B (－2)·(3＋4)＝3·－62＋4·－8·＝3||·||·cos120°－6||2＋4||·||cos120°－8||·||·cos120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故选B.12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为( )A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选D 由·＝0，得BC垂直于角A的平分线，则△ABC为等腰三角形，AB，AC为腰．由·＝，得A＝60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.解析：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)14．已知向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________.解析：因为a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0得2|a|－|b
|＝0，所以|b|＝2|a|，所以＝2，解得m＝±2.答案：±215.(2019·北京四中期中)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且＝－，则·＝________.解析：根据题意得·＝·(－)＝·－×16＋×4－·＝－·－＝－×4×2×cos120°－＝－4.答案：－416.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知e1，e2是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若
a与b是共线向量，求实数k的值．解：∵a与b是共线向量，∴存在实数λ使a＝λb(λ≠0)，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)，∴(2－λk)e1＋(－1－λ)e2＝0.又e1，e2不共线，∴2－λk＝0，－1－λ＝0，∴k＝－2.故实数k的值为－2.18．(12分)如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且＝，设＝a，＝b.(1)在图中画出向量分别在a，b方向上的分向量；(2)试用a，b表示向量.解：(1)如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB，交BC于点F，向量在a方向上的分向量是；在b方向上的分向量是.(2)因为＝，所以＝，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝a＋(－a＋b)＝a＋b.
19．(12分)已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ.解：∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0.①∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0.②①－②，整理得2a·b＝b2.③将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.20．(12分)(2019·湖南期中)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.解：(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x.①又|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．(2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]所以a与c的夹角θ＝.21．(12分)如图，已知O为坐标原点，向量＝(3cosx,3sinx)，＝(3cosx，sinx)，＝(，0)，x∈.
(1)求证：(－)⊥；(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．解：(1)证明：∵－＝(0,2sinx)，∴(－)·＝0×＋2sinx×0＝0，∴(－)⊥.(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，∴(2sinx)2＝(3cosx－)2＋sin2x，即2cos2x－cosx＝0，解得cosx＝0或cosx＝，∵x∈，∴cosx＝，∴x＝.22．(12分)(2018·湖北襄阳四中期中)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ.解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝.
(2)由(1)知a·b＝＝.由函数的单调性，可知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝＝，θ∈[0，π]∴a与b的夹角θ＝.
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