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第二章 2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例课时分层训练1．(2019·浙江月考)已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )A．(－2，－2) B．(2，－2)C．(－1,2)D．(－2,2)解析：选D 由物理知识，知物体平衡，则所受合力为0，所以f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(－2，2)，故选D.2．(2018·福建省泉州市检测)已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O( )A．在与边AB垂直的直线上B．在角A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D．以上选项都不对解析：选A 设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝OA－＝a－c，又||2＋||2＝||2＋||2，∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·OC,\s\up6(→))＝0，∴⊥，AB⊥OC，故选A．3．(2019·陕西省西安市检测)已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5NB．5NC．10ND．5N解析：选B 画出图形，如图，由题意|F1＋F2|＝10，所以|F1|＝|F1＋F2|cos60°＝5N．故选B.4．(2018·湖北月考)平面上有四个互不相同的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定解析：选B 由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－)]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0.所以||2－||2＝0，所以||＝||，故△ABC是等腰三角形．故选B.5．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s解析：选B 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．故选B.6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：107．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为
v2，如图所示，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5m/s.答案：58．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.解析：|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.答案：29．(2019·华中师大附中模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证：AF⊥BE.证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴⊥，即·＝0.又DE⊥AC，∴·＝0.∵F是DE的中点，∴＝－.∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＋·＝(＋)·＋·＋·＝·＋·＋·＋·＝·－·－·＝·－·＝·(－)＝·＝0.∴AF⊥BE.
10．(2018·湖北部分重点中学联考)飞机在离地面810m的高度，以2.52×102km/h的速度水平飞行．为了使从飞机上投下的炸弹落在指定的轰炸目标上，应该在离轰炸目标水平距离多远的地方投弹？并求炸弹击中目标时的速度大小．(g＝9.8m/s)解：设距离目标的水平位移为|s|m时投弹，炸弹做平抛运动，击中目标时水平速度为vx，竖直速度为vy，所用时间为t.依题意有|s|＝|vx|t＝×＝900(m)，|vy|＝9.8×＝126(m/s)，所以|v|＝|vx＋vy|＝＝144(m/s)．即飞机应在离轰炸目标水平距离900m的地方投弹，炸弹击中目标时的速度大小约为144m/s.1．(2019·湖北月考)已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A．40NB．10NC．20ND．40N解析：选B 如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20N，所以|F1|＝|F2|＝10N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10N.2．(2019·安徽江淮十校联考)在△ABC中，有下列命题：①－＝；②＋＋＝0；③若·>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的命题有( )A．①②B．①③C．②D．①②③解析：选C －＝＝－≠，∴①错误；＋＋＝＋＝
－＝0，∴②正确；·>0⇒cos〈，〉>0，即cosA>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴③错误．故选C．3．(2018·天津红桥二模)质点m在三个力F1，F2，F3的共同作用下，从点A(10，－20)移动到点B(30,10)(位移的单位为米)，若以x轴正向上的单位向量i及y轴正向上的单位向量j表示各自方向上1牛顿的力，F1＝5i＋20j，F2＝－20i＋30j，F3＝30i－10j，则F1，F2，F3的合力对质点m所做的功为( )A．6000焦耳B．1500焦耳C．－500焦耳D．－3000焦耳解析：选B 由已知得F1，F2，F3的合力为F＝(15,40)，s＝＝(20,30)，根据功的计算公式，知合力对质点m所做的功W＝F·s＝F·＝1500(焦耳)，故选B.4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )A．－2B．－C．－D．－1解析：选B 如图，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值－.故选B.5．已知A(3,2)，B(－1，－1)，若点P在线段AB的中垂线上，则x
＝________.解析：设AB的中点为M，则M，＝(x－1，－1)，由题意可知＝(－4，－3)，⊥，则·＝0，所以－4(x－1)＋(－1)×(－3)＝0，解得x＝.答案：
6.如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J(g＝9.8m/s2)．解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．答案：0 987．(2019·黑龙江开学考试)已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，如果＝x＋y，其中x，y满足x＋2y＝1且xy≠0，则cos∠BAC＝________.解析：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.则＝，＝，∴·＝(＋)·＝·＋·＝2＝2，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝.∵＝x＋y，∴·＝x2＋y·＝4x＋6ycos∠BAC＝2，·＝x·＋y2＝9y＋6xcos∠BAC＝.∵x＋2y＝1且xy≠0，
∴x＝－，y＝，cos∠BAC＝.答案：8．(2018·陕西西安曲江一中期中)已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，一动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|e1＋e2|m/s.另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3e1＋2e2|m/s，设P，Q在t＝0s时分别在P0，Q0处，问当⊥时，所需的时间t为多少？解：由题可知，e1＋e2＝(1,1)，其一个单位向量为，|e1＋e2|＝；3e1＋2e2＝(3,2)，其一个单位向量为，|3e1＋2e2|＝.根据题意，画出P，Q的运动示意图，如图所示．依题意，||＝t，||＝t，∴＝||＝(t，t)，＝||＝(3t,2t)．由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．∵⊥，∴·＝0，即1－2t＋9－3t＝0，解得t＝2，
∴当⊥时，所需的时间为2s.
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